Средние показатели в рядах динамики и методы их исчисления

 

Каждый ряд динамики можно рассматривать как некую совокупность m меняющих­ся во времени показателей, которые можно обобщать в виде средних величин. Для обоб­щения данных по рядам динамики рассчитываются: средний уровень ряда; средний абсо­лютный прирост; средний темп роста и прироста.

Средний уровень ряда динамики (у¯) рассчитывается по средней хронологической. Средней хронологической называется средняя, исчисленная из значений, изменяющихся во времени. Такие средние обобщают хронологическую вариацию. В хронологической средней отражается совокупность тех условий, в которых развивалось изучаемое явление в данном промежутке времени.

Средний уровень ряда определяется по-разному для моментных и интервальных рядов.

• Для интервальных равноотстоящих рядов средней уровень находится по формуле
простой средней арифметической:

(9.14.)

где n - число уровней или длина ряда.

• Для интервальных неравноотстоящих рядов средний уровень находится по форму­ле взвешенной средней арифметической:

 

(9.15.)

где t_i — продолжительность интервалов времени между уровнями (число периодов време­ни, при которых значение уровня не изменяется).

 

Пример. В таблице 9.7. приведен интервальный ряд динамики с равноотстоящими уровнями. По этим данным можно рассчитать среднегодовой уровень числа проданных квартир за 2000-2004 гг. Он будет равен 347 тыс.ед. (у¯ = 1735/5), то есть в среднем ежегод­но число проданных квартир в регионе за 2000-2004 гг. составило полученное значение.

• Средний уровень моментного равноотстоящего ряда динамики находится по фор­муле средней хронологической простой:

(9.16.)

• Средний уровень моментных рядов динамики с неравноотстоящими уровнями оп­ределяется по формуле средней хронологической взвешенной:

(9.17.)

где t - продолжительность интервала времени между соседними уровнями.

Пример. Покажем расчет среднего уровня моментного ряда динамики с равноот­стоящими уровнями по данным о численности работников фирмы на 1-е число каждого месяца 2004 г. (чел.):

1/I 1/II 1/III 1/IV

347 350 349 351

Среднемесячная численность работников фирмы за 1 квартал (по формуле 9.16) составит:

 

Пример. Известна списочная численность рабочих организаций на некоторые даты 2004 г. (чел.)- Ряд динамики имеет не равноотстоящие уровни во времени:

 

1/I 1/III 1/VI 1/IX 1/I-1995

530 570 520 430 550

 

Среднегодовая численность работников за 1994 г. (по формуле 9.17) составит:

Обобщающим показателем абсолютной скорости изменения явления во времени является средний абсолютный прирост за весь период, ограничивающий ряд динамики. Скоростью в данном случае будем называть прирост (уменьшение) в единицу времени. Для его определения используется формула средней арифметической простой:

(9.18.)

Подставив в числитель выражение для цепных абсолютных приростов, получим более удобную форму записи для среднего абсолютного прироста:

(9.19.)

где у_n и y₁ - соответственно конечный и начальный уровни ряда динамики.

Пример. По данным таблицы 9.7 определим средний абсолютный прирост числа проданных квартир за период 2000-2004 гг. Он будет равен 1,0 тыс.ед. [(112-108): 4].

Сводной обобщающей характеристикой интенсивности изменения уровней ряда динамики служит средний темп роста. Он показывает, сколько в среднем процентов по­следующий уровень составляет от предыдущего в течение всего периода наблюдения.

Средний темп (коэффициент) роста рассчитывается по формуле средней геометри­ческой из цепных коэффициентов роста:

(9.20.)

Выразив цепные коэффициенты (темпы) роста через соответствующие уровни ря­да, получим:

(9.21.)

Пример. По данным таблицы 9.7 рассчитаем средний темп роста числа проданных квартир за период 2000-2004 гг. по формуле 9.21:

или по формуле:

Когда приходится производить расчет средних темпов роста по периодам различной продолжительности (не равноотстоящие уровни), то используют среднюю геометри­ческую, взвешенную по продолжительности периодов. Формула средней геометрической взвешенной будет иметь вид:

(9.22.)

где t - интервал времени, в течение которого сохраняется данный темп роста.

Средний темп прироста не может быть определен непосредственно на основании последовательных темпов прироста или показателей среднего абсолютного прироста. Для его вычисления необходимо сначала найти средний темп роста, а затем его уменьшить на единицу или на 100%:

(9.23.)

Пример. По данным таблицы 9.7 был рассчитан средний темп роста числа продан­ных квартир за 2000-2004 гг. равный 100,9%, отсюда средний темп прироста будет равен:

 

 

9.5. Методы анализа основной тенденции (тренда) в рядах динамики

Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение ос­новной тенденции развития, присущей тому или иному ряду динамики.

Под основной тенденцией развития ряда динамики понимают изменение, опреде­ляющее общее направление развития. Это — систематическая составляющая долговремен­ного действия. В некоторых случаях общая тенденция ясно прослеживается в динамике рассматриваемого показателя, в других случаях она может не просматриваться из-за ощу­тимых случайных колебаний. Например, в отдельные моменты времени сильные колеба­ния розничных цен могут заслонить наличие тенденции к росту или снижению этого пока­зателя. Поэтому для выявления основной тенденции развития в статистике применяются 2 группы методов:

• сглаживание или механическое выравнивание отдельных уровней ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней;

• выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными уровнями

таким образом, чтобы она отражала тенденцию, присущую ряду и одновременно

освободила его от незначительных колебаний.

Рассмотрим методы каждой группы.

Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов времени, к ко­торым относятся уровни. Например, ряд недельных данных можно преобразовать в ряд помесячной динамики, ряд квартальных данных заменить годовыми уровнями. Уровни нового ряда могут быть получены путем суммирования уровней исходного ряда, либо мо­гут представлять средние уровни.

Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является сглажи­вание ряда динамики. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактиче­ских уровней ряда расчетными уровнями, которые в меньшей степени подвержены коле­баниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Метод простой скользящей средней. Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенно­го числа первых по порядку уровней ряда, затем средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее - начиная с третьего и т.д. Таким образом, при расчете средних уровней они как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень вначале и добавляя один следующий. Отсюда название - скользящая средняя.

Каждое звено скользящей средней - это средний уровень за соответствующий пе­риод, который относится к середине выбранного периода, если число уровней ряда ди­намики нечетное.

Нахождение скользящей средней по четному числу членов рядов динамики не­сколько сложнее, так как средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами, находящимся в середине интервала сглаживания. Например, средняя, найденная для четырех уровней, относится к середине между вторым и третьим, третьим и четвер­тым уровнями и так далее. Чтобы ликвидировать такой сдвиг, применяют так называемый способ центрирования. Центрирование заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих средних для отнесения полученного уровня к определенной дате. При центрировании необходимо находить скользящие суммы, скользящие средние нецентрированные по этим, суммам и средние из двух смежных нецентрированных скользящих средних.

Пример. Покажем расчет скользящей средней за 3 и 4 месяца по данным, пред­ставленным в таблице 9.6.

Таблица 9.6.