Распределение сотрудников предприятия по возрасту

Возраст (лет)	Число сотрудников (чел.)
До 25 25 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 и более
Итого:

 

Для определения среднего возраста персонала найдем середины возрастных интер­валов. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно прирав­ниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего). С учетом этого середины интервалов будут следующими:

22,5 27,5 35,0 45,0 55,0 65,0

Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим средний возраст ра­ботников данного предприятия:

Свойства средней арифметической. Средняя арифметическая обладает некото­рыми математическими свойствами, более полно раскрывающими ее сущность и в ряде случаев используемыми при ее расчете. Рассмотрим эти свойства:

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных
вариантов на соответствующие им частоты:

(5.6.)

Действительно, если мы обратимся к приведенному выше примеру расчета средне­го курса продажи акций (табл. 5.1.), то получим следующее равенство (за счет округления среднего курса правая и левая части равенства в данном случае будут несколько отличаться):

417,03 х 1850 = 420x700 + 440x200 + 410x950

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметиче­ской равна нулю:

(5.7.)

Для нашего примера:

 

(420-417,03) х 700 + (440-417,03) х 200 + (410-417,03) х 950 ≈ 0

Математическое доказательство данного свойства сводится к следующему:

3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней
арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С:

 

(5.8.)

 

Следовательно, сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от произвольной величины С больше суммы квадратов их отклонений от своей средней на величину

 

 

На использовании этого свойства базируется расчет центральных моментов, пред­ставляющих собой характеристики вариационного ряда при С = х: ¹

 

 

где k определяет порядок момента (центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию).

4. Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же вели­
чину:

(5.9.)

Так, если все курсы продажи акций увеличить на 15 руб., то средний курс также увеличится на 15 руб.:

5. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то
средняя также соответственно увеличится или уменьшится в А раз:

(5.10.)

¹ При С=0 получают начальные моменты (начальный момент 1-го порядка - средняя арифметическая и т.д.).

Предположим, курс продажи в каждом случае возрастет в 2 раза. Тогда и средний курс также увеличится на 100%:

6. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:

(5.11.)

Так, в нашем примере удобнее было бы рассчитывать среднюю, предварительно поделив все веса на 100:

Исходя из данного свойства, можно заключить, что если все веса равны между со­бой, то расчеты по средней арифметической взвешенной и средней арифметической не-взвешенной приведут к одному и тому же результату.

Кроме средней арифметической при расчете статистических показателей могут использоваться и другие виды средних. Однако в каждом конкретном случае, в зависимо­сти от характера имеющихся данных, существует только одно истинное среднее значение показателя, являющееся следствием реализации его исходного соотношения.

Средняя гармоническая взвешенная используется, когда известен числитель ис­ходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель. Рассмотрим расчет средней урожайности, являющейся одним из основных показателей эффективности производства в агробизнесе:

Таблица 5.6.

 

Валовой сбор и урожайность сельскохозяйственной культуры «Y»

По районам области

Район	Валовый сбор, тыс. тонн	Урожайность, ц/га
А Б В Г Д

 

Средняя урожайность любой сельскохозяйственной культуры в среднем по не­скольким территориям, агрофирмам, фермерским хозяйствам и т.п. может быть определе­на только на основе следующего исходного соотношения:

 

 

Общий валовой сбор мы получим простым суммированием валового сбора по рай­онам. Данные же о посевной площади отсутствуют, но их можно получить, разделив ва­ловой сбор каждого района на урожайность. С учетом этого определим искомую сред­нюю, предварительно переведя для сопоставимости тонны в центнеры:

Таким образом, общая посевная площадь данной культуры в целом по области со­ставляла 215,2 тыс.га, асредняя урожайность - 10,0 ц с одного гектара.

В данном случае расчет произведен по формуле средней гармонической взвешен­ной:

(5.12.)

Данная формула используется для расчета средних показателей не только в стати­ке, но и в динамике, когда известны индивидуальные значения признака и веса W за ряд временных интервалов.

Средняя гармоническая невзвешенная. Эта форма средней, используемая значи­тельно реже, имеет следующий вид:

(5.13.)

Для иллюстрации области се применения воспользуемся упрощенным условным примером. Предположим, в фирме, специализирующейся на торговле по почте на основе предварительных заказов, упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 5 мин., второй - 15 мин. Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?

На первый взгляд, ответ на этот вопрос заключается в осреднении индивидуальных значений затрат времени на 1 заказ, т.е. (5+15):2=10, мин. Проверим обоснованность тако­го подхода на примере одного часа работы. За этот час первый работник обрабатывает 12 заказов (60:5), второй - 4 заказа (60:15), что в сумме составляет 16 заказов. Если же заме­нить индивидуальные значения их предполагаемым средним значением, то общее число обработанных обоими работниками заказов в данном случае уменьшится:

Подойдем к решению через исходное соотношение средней. Для определения средних затрат времени необходимо общие затраты времени за любой интервал (на­пример, за час) разделить на общее число обработанных за этот интервал двумя ра­ботниками заказов:

 

 

Если теперь мы заменим индивидуальные значения их средней величиной, то об­щее количество обработанных за час заказов не изменится:

 

 

Подведем итог: средняя гармоническая невзвешенная может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения Wi для единиц совокупности равны (в рассмот­ренном примере рабочий день у сотрудников одинаковый).

Средняя геометрическая. Еще одной формулой, по которой может осуществлять­ся расчет среднего показателя, является средняя геометрическая:

 

- невзвешенная

(5-14.)

- взвешенная

 

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста, что будет рассмотрено в соответствующей главе.

Средняя квадратическая. В основе вычислений ряда сводных расчетных показа­телей лежит средняя квадратическая:

- невзвешенная

(5.15.)

- взвешенная

 

Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.

В статистическом анализе также применяются степенные средние 3-го порядка и более высоких порядков.

 

Структурные средние

 

Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными средними являются мода и медиана. Мода представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой. Медианой называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:

 

 

Рассмотрим определение моды и медианы по несгруппированным данным.

Предположим, что 9 торговых фирм города реализуют товар А по следующим оп­товым ценам (тыс. руб.).

4,4 4,3 4,4 4,5 4,3 4,3 4,6 4,2 4,6

Так как чаще всего встречается цена 4,3 тыс.руб., то она и будет модальной. Для определения медианы необходимо провести ранжирование:

4,2 4,3 4,3 4,3 4,4 4,4 4,5 4,6 4,6

Центральной в этом ряду является цена 4,4 тыс.руб., следовательно, данная цена и будет медианой. Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана оп­ределяется как средняя из двух центральных значений.

Если мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения при­знака, то медиана практически выполняет функции средней для неоднородной, не подчи­няющейся нормальном закону распределения совокупности. Она также используется в тех случаях, когда средняя не позволяет объективно оцепить исследуемую совокупность вследствие сильного влияния максимальных и минимальных значений. Проиллюстрируем познавательное значение медианы следующим примером.

Допустим, нам необходимо дать характеристику среднего дохода группы людей, насчитывающей 100 человек, из которых 99 имеют доходы в интервале от 100 до 1000 долл. в месяц, а месячные доходы последнего составляют 50000 долл.:

№п/п 1 2 3 4... 50 51... 99 100

Доход 100 104 104 107... 162 164... 200 50000

(долл.)

Если мы воспользуемся средней арифметической, то получим средний доход, рав­ный примерно 600-700 долл., который не только в несколько раз меньше дохода 100-го человека, но и имеет мало общего с доходами остальной части группы. Медиана же, рав­ная в данном случае 163 долл., позволит дать объективную характеристику уровня дохо­дов 99% данной совокупности людей.

Рассмотрим определение моды и медианы по сгруппированным данным (рядам распределения).

Предположим, распределение торговых предприятий города по уровню розничных цен на товар А имеет следующий вид:

Цена, руб.	Число торговых предприятий
Всего

Определение моды по дискретному вариационному ряду не составляет большого труда - наибольшую частоту (60 предп.) имеет цена 55 руб., следовательно она и является модальной.

Для определения медианного значения признака по следующей формуле находят номер медианной единицы ряда:

 

(5.16.)

 

где n - объем совокупности.

 

В нашем случае

 

Полученное дробное значение, всегда имеющее место при четном числе единиц в совокупности, указывает, что точная середина находится между 95 и 96 предприятиями. Необходимо определить, в какой группе находятся предприятия с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Очевидно, что магазинов с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 12 торговых предприятий, нет их и во второй группе (12+48=60). 95-ое и 96-ое предприятия находятся в третьей группе (12+48+56=116) и, следовательно, медианой является цена 54 руб.

В отличие от дискретных вариационных рядов определение моды и медианы по интервальным рядам требует проведения определенных расчетов на основе следующих формул:

 

(5.17.)

 

где Хо - нижняя граница модального интервала (модальным назы­вается интервал, имеющий наибольшую частоту);

i - величина модального интервала;

f_Mo - частота модального интервала;

f_Mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mo+1 - частота интервала, следующего за модальным.

 

и

(5.18.)

где Хо - нижняя граница медианного интервала (медианным назы­вается первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

i - величина медианного интервала:

Sme-1 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

f_Me - частота медианного интервала.

Проиллюстрируем применение этих формул, используя данные таблицы 5.7.

Информация, подобная представленной в этой таблице, необходима для получения четкого представления о покупательной способности населения страны или региона, для оценки эластичности спроса и, в конечном итоге, для выбора того или иного метода цено­образования и обоснования окончательной цены на товар.

 

Таблица 5.7.