Теорема 1. Для подобных явлений можно составить безразмерные сочетания параметров, имеющих одинаковые значения в сравниваемых явлениях.

Эти сочетания параметров называются критериями подобия.

Теорема 2 (π -теорема). Всякое уравне-ние, описывающее какой-либо физический процесс и записанное размерным образом в определенной системе единиц, можно преобразовать в безразмерное уравнение, состоящее из критериев подобия π.

Пусть в уравнение входит m величин и пусть k из них независимы друг от друга. Тогда полученное уравнение для независимых критериев будет иметь вид f(π₁, π₂, …. π_m-k) = 0. Если его разрешить относительно критерия π₁ = Ф(π₂, π₃,…. π_m-k), то отсюда видно, что из всевозможно составленных критериев подобия независимыми будут только m – k – 1 критериев.

Теорема 3. Подобие процессов осуществляется при пропорциональности всех сходственных в них параметров и при равенстве m – k – 1 критериев подобия, определенных согласно теореме 2.

Если в рассматриваемых физических явлениях или системах существует равенство не всех, а лишь некоторых независимых критериев подобия, то говорят о неполном, или частичном, подобии. При этом важно, чтобы влияние критериев, равенство которых не соблюдается, было незначительно или малосущественно на протекание рассматриваемых физических процессов. – (См. Моделирование, Критерии подобия).

Теплоёмкость – количество теплоты, поглощаемой телом при нагревании на 1 градус (1˚ С или 1К). Теплоёмкость единицы массы вещества называется удельной теплоёмкостью (единица измерения Дж/(кг∙К)), теплоёмкость 1 моля вещества называется молярной (единица измерения Дж/(моль∙К)). Количество теплоты, поглощаемой телом при нагревании, и теплоёмкость тела зависят от способа нагревания. Различают теплоёмкость при постоянном объёме и теплоёмкость при постоянном давлении , если в процессе нагревания поддерживаются постоянными соответственно объём тела или давление. Для идеальных газов разность молярных теплоёмкостей где =8,31 Дж/(моль∙К) – универсальная газовая постоянная. У жидкостей и твёрдых тел разница между и сравнительно мала. Молярная теплоёмкость идеального газа где – число степеней свободы молекулы.

Теплообмен – самопроизвольный необратимый процесс переноса теплоты, обусловленный градиентом температуры. Различают следующие виды теплообмена: теплопроводность, конвекция, лучистый теплообмен, теплообмен при фазовых превращениях.

Теплопроводность – один из видов переноса теплоты от более нагретых частей тела к менее нагретым, приводящий к выравниванию температуры. При теплопроводности перенос энергии осуществляется в результате непосредственной передачи энергии от частиц (молекул, атомов), обладающих большей энергией, частицам с меньшей энергией. Основной закон теплопроводности – закон Фурье: плотность теплового потока (количество теплоты, которое переносится в единицу времени через единицу площади) прямо пропорциональна градиенту температуры : , где – коэффициент теплопроводности. зависит от агрегатного состояния вещества, его атомно-молекулярного строения, температуры, давления и т.д. Для идеального газа где – плотность газа, – удельная теплоёмкость при постоянном объёме, – средняя арифметическая скорость движения молекул, – средняя длина свободного пробега.

Теплота - форма проявления внутренней энергии тела без совершения работы. Теплота может быть преобразована в другие виды энергии.

Теплота фазового перехода – количество теплоты, которое нужно сообщить веществу (или отвести от него) при равновесном изобарно-изотермическом переходе вещества из одной фазы в другую (фазовом переходе 1-го рода - кипении, плавлении, кристаллизации, полиморфном превращении и т.п.). Существование теплоты фазового перехода физически обусловлено различием энергии связи вещества в соответствующих фазах. Различают удельную и молярную теплоту фазового перехода, отнесённые соответственно к 1 кг и 1 молю вещества. Для фазовых переходов 2-го рода теплота фазового перехода равна нулю.

Термодинамика – наука о наиболее общих свойствах макроскопических тел. В термодинамике изучаются макроскопические системы, состоящие из большого числа частиц, причём исследуются наиболее общие свойства таких систем, для описания которых не требуется привлечения микроскопических характеристик системы. Равновесное состояние термодинамической системы однозначно определяется несколькими термодинамическими параметрами (См. Параметры состояния). Три начала термодинамики являются основой, на которой строится её теоретический аппарат (См. Первое начало термодинамики, Второе начало термодинамики, теорема Нёрнста).

Термодинамическая система - совокупность физических тел, которые могут взаимодействовать между собой и с другими телами (внешней средой) - обмениваться с ними энергией и веществом. Термодинамическая система состоит из столь большого числа структурных частиц (атомов, молекул), что ее состояние можно характеризовать макроскопическими параметрами: давлением, плотностью, концентрацией веществ, образующих термодинамическую систему и др. Термодинамическая система находится в равновесии, если параметры системы с течением времени не меняются и в системе нет каких-либо стационарных потоков (вещества, теплоты и др.). Для равновесных систем вводится понятие температуры как параметра состояния, имеющего одинаковое значение для всех макроскопических частей системы. Число независимых параметров состояния равно числу степеней свободы термодинамической системы, остальные параметры могут быть выражены через независимые с помощью уравнения состояния. В термодинамике рассматривают следующие виды термодинамических систем: закрытые – не обмениваются веществом с другими системами; открытые – обмениваются веществом и энергией с другими системами; адиабатные – отсутствует теплообмен с другими системами; изолированные – не обмениваются с другими системами ни энергией, ни веществом. Для термодинамических систем выполняются законы термодинамики.

Термодинамические параметры (параметры состояния) - температура, плотность, давление, объем, удельное электрическое сопротивление и другие физические величины:

- однозначно определяющие термодинамическое состояние системы;

- не учитывающие молекулярное строение тел;
- описывающие их макроскопическое строение.

Термодинамические потенциалы – функции определённого набора термодинамических параметров (температуры , объёма , давления энтропии и др.), характеризующих состояние макроскопической термодинамической системы, позволяющие найти все термодинамические характеристики системы как функции этих параметров. К потенциалам термодинамическим относятся внутренняя энергия (изохорно-изоэнтропийный потенциал), энтальпия (изобарно-изоэнтропийный потенциал), Гельмгольца энергия (изохорно-изотермический потенциал), Гиббса энергия (изобарно-изотермический потенциал). Все термодинамические потенциалы связаны между собой соотношениями: Зная термодинамические потенциалы как функции указанных параметров, по любому из них с помощью дифференцирования по его параметрам можно найти все остальные параметры, характеризующие систему:

;

Термодинамический процесс - всякое изменение, происходящее в термодинамической системе и связанное с изменением хотя бы одного ее параметра состояния.

Термодинамическое равновесие термодина-мической системы (тепловое равновесие) – состояние термодинамической системы, в которое она самопроизвольно приходит через достаточно большой промежуток времени в условиях изоляции от окружающей среды. При термодинамическом равновесии в системе прекращаются все необратимые процессы, связанные с диссипацией энергии: теплопроводность, диффузия и др. В состоянии термодинамического равновесия макроскопические параметры системы с течением времени не меняются. При этом внутри равновесной системы продолжаются микроскопические процессы: изменяются положения молекул и их скорости при столкновениях. В состоянии термодинамического равновесия энтропия системы максимальна.

Термодинамическое состояние – равновесное макроскопическое состояние термодинамической системы, которое фиксируется заданием параметров состояния, представляющих собойизмеряемые макроскопическими приборами средние величины определенного набора характеристик системы. Конкретный набор этих параметров определяется тем, каким способом рассматриваемая равновесная система выделяется из среды окружающих её тел и других систем.

Техническая атмосфера – внесистемная единица давления: равна 1 кгс/см² = 9,80665 Н/см².

1 ат = 98066,5 Па.

Техническая атмосфера – внесистемная единица давления: равна 1 кгс/см² = 9,80665 Н/см².

1ат = 98066,5 Па.

Толщина вытеснения δ ^* – величина, используемая в современной теории пограничного слоя для характеристики его толщины, которая вычисляется более точно, чем физическая толщина пограничного слоя δ:

δ * = ,

где - скорость жидкости в сечении пограничного слоя, - скорость внешнего потока.

Толщина вытеснения представляет собой отклонение линий тока вязкой жидкости от линий тока идеальной жидкости, которое вызвано образованием пограничного слоя.

Толщина потери импульса δ ** – величина, характеризующая толщину пограничного слоя, определяется уравнением:

δ ** =

где - скорость жидкости в сечении пограничного слоя, - скорость внешнего потока.

Траектория – кривая, которую описывает радиус – вектор r = r (t) координат жидкой частицы с течением времени. Уравнение траектории можно записать в координатной форме: Принимая во внимание, что скорость жидкой частицы направлена по касатетельной к траектории, элементарное перемещение жидкой частицы d r за время dt равно dr = c dt. Поэтому уравнение траектории можно представить в следующем виде: где – проекции d r на оси координат, а – проекции вектора скорости c на оси координат. При установившееся течении жидкости траектории совпадают с линиями тока.

Трубка Вентури (расходомер Вентури) – устройство для замера расхода или скорости жидкостей и газов в трубопроводах. Представляет собой плавное сужение на трубопроводе, где скорость возрастает, а давление соответственно уменьшается. За сужением трубопровод снова плавно расширяется, образуя диффузор, где происходит обратный переход кинетической энергии потока в энергию давления. Обозначим через и диаметр, давление и среднюю скорость соответственно во входном 1 и в самом узком 2 сечениях трубки Вентури. Тогда для несжимаемой жидкости плотностью разность давлений определяется соотношением По измеренной разности давлений и размерам трубки Вентури из последнего равенства можно найти среднюю скорость потока в сечении 1, а следовательно, и расход , где – площадь поперечного сечения трубопровода, – коэффициент расхода трубки Вентури. Трубки Вентури применяют для измерения расхода жидкостей и газов в трубопроводах.

Трубка Пито – прибор для измерения динамического (полного) давления текущей жидкости, представляющий собой Г-образно изогнутую трубку, отверстие которой расположено перпендикулярно линиям тока жидкости, а противоположное колено ориентировано вертикально. Полное давление реализуется при изоэнтропическом торможении потока до нулевой скорости. Высота столба жидкости в вертикальном колене прямо пропорциональна динамическому напору.

Трубка Пито – Прандтля – комбинированная трубка для измерения полного (динамического) и статического давлений в потоке. От трубки Пито отличается наличием отверстий на боковой поверхности трубки для измерения статического давления в потоке Зная и , можно вычислить скорость потока в данной точке на основании уравнения Бернулли: где – плотность жидкости.

Трубка тока – поверхность, образованная линиями тока, проходящими через все точки замкнутого контура, не являющегося линией тока, внутри движущейся жидкости. Касательные к линиям тока совпадают с направлением скоростей движения частиц жидкости, находящихся на этих линиях. При неустановившемся движении жидкости линии тока меняются от момента к моменту, поэтому трубка тока тоже меняет свою форму. При установившемся движении жидкости линии тока совпадают с траекториями частиц и остаются неизменными; в этом случае трубка тока сходна с трубкой с твердыми стенками, внутри которой происходит течение жидкости с постоянным расходом через сечение трубки.

Трубопровод – устройство или сооружение из плотно соединенных труб, предназначенное для транс-портировки жидких, газообразных или сыпучих веществ.

В зависимости от транспортируемой среды для трубопроводов используются термины: водопроводы, газопроводы, паропроводы, нефтепроводы, воздухопроводы, маслопроводы, молокопровод и т.д.

Турбулентное течение ( от лат. Turbulentus - беспорядочный) - течение жидкости или газа, при котором вследствие наличия в течении многочисленных вихрей различных размеров жидкие частицы совершают неупорядоченные, хаотические, неустановившиеся движения по сложным траекториям, а скорость, температура, давление и плотность среды испытывают хаотические изменения.

Турбулентное течение отличается от ламинарного течения интенсивным перемешиванием, распределением осреднённой скорости по сечению потока, зависимостью коэффициента сопротивления от числа , гораздо большей интенсивностью тепло- и массообмена.

Турбулентное течение наблюдается при достаточно больших числах Рейнольдса в трубах, каналах, пограничных слоях при обтекнии поверхностей твёрдых тел, в следах за обтекаемыми телами, струях, зонах перемешивания между потоками с разными скоростями, в каналах энергетических машин, в разнообрахных природных условиях.

Мгновенные скорости, давления, плотности среды при турбулентных режимах испытавают с течением времени хаотические изменения, пульсируют. Поэтому для описания турбулентного течения используют усреднённые по времени скорости и давления. Местная усреднённая скорость где – мгновенная местная скорость, – период усреднения, – произвольный момент времени. Интервал должен быть достаточно большим по сравнению с максимальным периодом пульсаций. При этом предполагается, что операция повторного усреднения не изменяет результата: Проекции вектора усреднённой скорости на оси координат:

.

Разность векторов и называют пульсационной скоростью или пульсацией:

Аналогичным образом производится усреднение давлений: Если усреднённые параметры от времени не зависят, турбулентное течение называют усреднённо установившимся или просто установившимся.

Для описания усреднённо установившегося турбулентного течения несжимаемой жидкости используются уравнения Рейнольдса, которые получаются из уравнений Навье – Стокса, все члены которых усредняют по времени.

Турбулентное течение в круглых трубах:

Расчет турбулентного течения в трубах относится к широко распространенным инженерным задачам. Для турбулентного течения характерно перемешивание жидкости, пульсации скоростей и давлений. Линии тока в прямолинейной трубе при турбулентном течении не являются прямыми. Турбулентное течение всегда является неустойчивым, т.к. значения скоростей и давлений меняются с течением времени. Если осредненные значения скоростей и давлений с течением времени не изменяются, то течение можно считать установившимся.

 

Рис.4.

Профили скоростей при ламинарном и тубулентном течении в трубе: Re₁ ≤ Re₂ ≤ Re₃

 

Распределение осредненных по времени скоростей по сечению в турбулентном потоке отличается от ламинарного. Профиль скоростей для турбулентного потока более наполненный, чем для ламинарного, т.е. распределение скоростей по сечению более равномерное, что объясняется выравнивающим действием турбулентного перемешивания (Рис. 4).

Важным элементом расчета является нахождение закона распределения осредненных скоростей в поперечном сечении трубы. Наиболее распространенной является эмпирическая степенная зависимость вида

(1)

где ─ скорость на оси трубы, - координата, отсчитанная от стенки трубы в направлении оси. С ростом числа показатель n убывает. В диапазоне изменения чисел от 4∙10³ до 3∙10⁶ показатель степени изменяется в пределах от 1/6 до 1/10. Среднее значение показателя степени n, соответствующее гладкостенному режиму течения, равно 1/7 (закон корня седьмой степени). Основное достоинство формулы (1) – простота. Недостатки:

- зависимость показателя степени от числа ;

- ограниченный диапазон изменения числа , в котором она применима;

- дает неверные значения градиента скорости у стенки и на оси трубы (производная от скорости на оси трубы не равна нулю).

Для приближенного расчета турбулентного течения в трубе можно использовать двухслойную модель течения, состоящую из тонкого вязкого ламинарного подслоя и центральной части потока – турбулентного ядра, в котором преобладают турбулентные напряжения, т.е. _т. Воспользовавшись полуэмпирической теорией Прандтля, можно рассчитать профиль осредненных скоростей в турбулентном ядре потока. По формуле Прандтля турбулентные напряжения

(2)

где - длина пути перемешивания. По Прандтлю,

(3)

Подставив (3) в (2) и интегрируя, получим для основной части турбулентного потока логарифмический закон распределения скоростей

 

, (4)

где ─ касательные напряжения на стенке трубы. При турбулентном течении в трубе касательные напряжения распределяются по линейному закону

(5)

Касательные напряжения на стенке

 

(6)

где ─ гидравлический уклон.

Для расчета гидравлических потерь при турбулентном течении в трубах необходимы данные о зависимости коэффициента гидравлического трения от числа Re и относительной шероховатости.

Используя полуэмпирическую теорию, для гладкостенного режима течения при 4000 ≤ Re ≤ 20

Никурадзе был получен следующий закон распределения скоростей

(7)

Положив в этой формуле можно получить значение максимальной скорости на оси трубы .

Используя логарифмический закон распределения скоростей (7), Никурадзе для гладких труб была получена следующая зависимость для гидравлического коэффициента трения (формула Никурадзе для гладких труб):

(8)

Преимуществами этой формулы являются ее теоретическая обоснованность, однозначная зависимость коэффициента гидравлического трения от числа Re, хорошее совпадение с экспериментом. Недостаток формулы – неявное выражение λ в функции Re.

В технических расчетах чаще используют другие полуэмпирические и эмпирические формулы. Для зоны гладкостенного течения применяют формулу Блязиуса

(9)

и формулу Конакова

 

(10)

Для зоны квадратичного сопротивления при Re>

Никурадзе на основе полуэмпирической теории была получена формула (формула Никурадзе для шероховатых труб)

(11)

Для зоны квадратичного сопротивления часто применяют формулу Шифринсона

(12)

А.Д.Альтшуль рассматривал турбулентное течение как единое целое, не выделяя в нем вязкий подслой и учитывая не только турбулентные, но и вязкостные напряжения. Им для коэффициента гидравлического трения получена формула, применяемая для всех трех зон турбулентного течения

(13)

Недостаток формулы – неявное выражение λ в функции Re. Из формулы Альтшуля как частные случаи получаются формулы Никурадзе.

 

 

Используя некоторые допущения, Альтшуль получил приближенную формулу, дающую достаточно точные результаты во всех трех зонах турбулентного течения

(14)

Если трубы достаточно гладкие, т.е. << то (14) совпадает с формулой Блязиуса (9).

Если трубы шероховатые, т.е. >> и число Re достаточно велико, то формула Альтшуля (14) совпадает с формулой Шифринсона (12).

 

Рис. 5.

Зависимость потерь на трение от режима течения

 

В турбулентном потоке при Re › Re_кр потери энергии на трение по длине значительно больше, чем в ламинарном (Рис. 5). При ламинарном течении потери на трение пропорциональны скорости в первой степени, а при переходе к турбулентному течению заметен скачок сопротивления и более крутое нарастание величины h_тр по кривой, близкой к параболе.

Турбулентность – сложное, неупорядоченное во времени и пространстве поведение диссипативной среды, детали которого не могут быть воспроизведены на больших интервалах времени при сколь угодно точном задании начальных и граничных условий. Такая невоспроизводимость есть следствие собственной сложной динамики среды, определяемая неустойчивостью индивидуальных движений частиц.

У

Угловая скорость вращения частицы жидкости ω – векторная величина, характеризующая быстроту вращения частицы жидкости вокруг оси, проходящей через её полюс:

где – скорость частицы жидкости, – проекции скорости на оси координат, – единичные векторы. В случае потенциального течения жидкости

Угол атаки – угол между направлением скорости поступательно движущегося тела и каким-нибудь характерным направлением, связанным с телом (у крыла самолета – с хордой крыла; у снаряда, ракеты – с их осью симметрии).

Ударная адиабата (адиабата Гюгонио) - кривая, изображающая уравнение Гюгонио.

Ударная волна (скачок уплотнения) – распространяющаяся со сверхзвуковой скоростью поверхность разрыва непрерывности скорости течения, давления, плотности и других величин (тонкая переходная область, в которой происходит резкое увеличение плотности, давления и скорости вещества). Ударные волны возникают при взрывах, детонации, мощных электрических разрядах, при сверхзвуковых движениях тел. Толщина фронта ударной волны имеет порядок длины свободного пробега молекулы, однако при многих теоретических исследованиях с большой точностью заменяют фронт ударной волны поверхностью разрыва, считая, что при прохождении через неё параметры меняются скачком. Неподвижную ударную волну называют скачком уплотнения.

Пусть ударная волна возникает в цилиндрической трубе постоянного сечения. При переходе потока через ударную волну должны выполняться законы сохранения массы, импульса и энергии. Поэтому параметры потока перед (обозначены индексом 1) и за ударной волной (обозначены индексом 2) связаны между собой соотношениями Ренкина - Гюгонио:

– закон сохранения массы;

– закон сохранения импульса;

– закон сохранения энергии, где давление, – плотность, – скорость, – отношение удельных теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме. Кроме того, при переходе через скачок уплотнения не изменяется газовая постоянная:

где - температура, - газовая постоянная. Уравнение Гюгонио устанавливает связь между давлением и плотностью по обе стороны скачка уплотнения. (См. также Ударная адиабата).

Удельный объем – объем, занимаемый единицей массы вещества; величина, обратная плотности: v=1/ρ.

Уравнение Бернулли(интеграл Бернулли) – одно из основных уравнений гидромеханики. При установившемся движении несжимаемой идеальной жидкости в однородном поле силы тяжести имеет вид:

gh + p/ρ + c²/2=const,

где с – скорость жидкости, p – давление в ней, ρ – ее плотность, h – высота частицы над некоторой горизонтальной плоскостью, g – ускорение свободного падения. Уравнение Бернулли выражает для движущейся жидкости закон сохранения механической энергии и устанавливает зависимость между c, p и h.

Уравнение Ван-дер-Ваальса - уравнение состояния реального газа, учитывающее взаимодействие между молекулами газа и собственный объем молекул. Для газа, содержащего молей, уравнение Ван-дер-Ваальса имеет вид:

где – давление; - объем; – универсальная газовая постоянная; – температура; и - экспериментальные константы, учитывающие притяжение и отталкивание молекул. Член учитывает притяжение молекул газа в результате межмолекулярного взаимодействия, константа – поправка на собственный объем молекул, учитывающая отталкивание молекул на близких расстояниях. При низких давлениях и относительно высоких температурах уравнение Ван-дер-Ваальса переходит в уравнение состояния идеального газа – уравнение Менделеева-Клапейрона.

Уравнение Громеки–Лэмба – уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости – одна из форм уравнения Навье–Стокса:

где - скорость течения, – напряжение массовых сил, - плотность жидкости, – давление в жидкости, – коэффициент кинематической вязкости, Если массовые силы обладают потенциалом, то где - потенциал массовых сил. В этом случае уравнение Громеки–Лэмба приводится к виду:

где – удельная энергия единицы объема жидкости. С учетом этого уравнение Громеки–Лэмба принимает вид:

Уравнение Гюгонио 2 (P.H.Hugoniot) – устанавливает связь между давлением и плотностью газа по обе стороны скачка уплотнения:

где – давление газа до и после скачка уплотнения; – плотность газа до и после скачка уплотнения, – отношение теплоёмкостей при постоянном давлении и постоянном объёме. Уравнение Гюгонио представляет собой адиабату, отличную от изоэнтропической адиабаты Пуассона; эту адиабату называют ударной адиабатой или адиабатой Гюгонио. Уравнение Гюгонио можно представить и в таком виде: