Момент силы относительно оси

Обозначив момент силы относительно осей , и , можем записать:

где , и модули проекций сил на плоскости, перпендикулярные той оси, относительно которой определяется момент; l – плечи, равные длинам

перпендикуляров от точки пересечения оси с плоскостью до проекции или ее продолжения; знак «плюс» или «минус» ставится в зависимости от того, в какую сторону поворачивается плечо l вектором проекции, если смотреть на плоскость проекции со стороны положительного направления оси; при стремлении вектора проекции повернуть плечо против хода часовой стрелки момент условимся считать положительным, и наоборот.

Следовательно, моментом силы относительно оси называется алгебраическая (скалярная) величина, равная моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Предыдущий рисунок иллюстрирует последовательность определения момента силы относительно оси Z. Если задана сила и выбрана (или задана) ось, то: а) перпендикулярно оси выбирают плоскость (плоскость ХОУ); б) силу F проецируют на эту плоскость и определяют модуль этой проекции; в) из точки 0 пересечения оси с плоскостью опускают перпендикуляр ОС к проекции и определяют плечо l = ОС; г) глядя на плоскость ХОУ со стороны положительного направления оси Z (т.е. в данном случае сверху), видим, что ОС поворачивается вектором против хода стрелки ча­сов, значит

Момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости: а) сила пересекает ось (в этом случае l = 0);

б) сила параллельна оси ();

в) сила действует вдоль оси (l =0 и ).

Пространственная система произвольно расположенных сил.

Условие равновесия

Ранее подробно изложен процесс приведения сил к точке и доказано, что любая плоская система сил приводится к силе – главному вектору и паре, момент которой называется главным моментом, причем эквивалентные данной системе сил сила и пара действуют в той же плоскости, что и заданная система. Значит, если главный момент изобразить в виде вектора, то главный вектор и главный момент плоской системы сил всегда перпендикулярны друг другу.

Рассуждая аналогично, можно последовательно привести к точке силы пространственной системы. Но теперь главный вектор есть замыкающий вектор пространственного (а не плоского) силового многоугольника; главный момент уже нельзя получить алгебраическим сложением моментов данных сил относительно точки приведения. При приведении к точке пространственной системы сил, присоединенные пары действуют в различных плоскостях и их моменты целесообразно представлять в виде векторов и складывать геометрически. Поэтому полученные в результате приведения пространственной системы сил главный вектор (геометрическая сумма сил системы) и главный момент (геометрическая сумма моментов сил относительно точки приведения), вообще говоря, не перпендикулярны друг другу.

Векторные равенства и выражают необходимое и достаточное условие равновесия пространственной системы произ­вольно расположенных сил.

Если главный вектор равен нулю, то его проекции на три взаим­но перпендикулярные оси также равны нулю. Если главный момент равен нулю, то равны нулю и три его составляющие на те же оси.

Значит, произвольная пространственная система сил статически определима лишь в том случае, когда число неизвестных не превышает шести.

Среди задач статики часто встречаются такие, в которых на тело действует пространственная система параллельных друг другу сил.

В пространственной системе параллельных сил неизвестных должно быть не больше трех, иначе задача становится статически неопределимой.

 

Глава 6. Кинематика точки

Основные понятия кинематики

 

Раздел механики, занимающийся изучением движения материальных тел без учета их масс и действующих на них сил, называется кинематикой.

Движение – основная форма существования всего материального мира, покой и равновесие – частные случаи.

Всякое движение, и механическое в том числе, происходит в пространстве и во времени.

Все тела состоят из материальных точек. Чтобы получить правильное представление о движении тел, начинать изучение нужно с движения точки. Перемещение точки в пространстве выражается в метрах, а также в дольных (см, мм) или кратных (км) единицах длины, время – в секундах. В практике или жизненных ситуациях время часто выражают в минутах или часах. Отсчет времени при рассмотрении того или иного движения точки ведут от определенно­го, заранее обусловленного начального момента (t = 0).

Геометрическое место положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета называется траекторией. По виду траектории движение точки делится на прямолинейное и криволинейное. Траектория точки может быть определена и задана заранее. Так, например, траектории искусственных спутников Земли и межпланетных станций вычисляют заранее, или если принять движущиеся по городу автобусы за материальные точки, то их траектории (маршруты) также известны. В подобных случаях положение точки в каждый момент времени определяется расстоянием (дуговой коорди­натой) S, т.е. длиной участка траектории, отсчитанной от неко­торой ее неподвижной точки, принятой за начало отсчета. Отсчет расстояний от начала траектории можно вести в обе стороны, по­этому отсчет в одну какую-либо сторону условно принимают за положительный, а в

противоположную – за отрицательный, т.е. рас­стояние S – величина алгебраическая. Она может быть положитель­ной (S > 0) или отрицательной (S<0).

При движении точка за определенный промежуток времени прохо­дит некоторый путь L, который измеряется вдоль траектории в направлении движения.

.

Если точка стала двигаться не из начала отсчета O, а из поло­жения, находящегося на начальном расстоянии S_o то

Векторная величина, характеризующая в каждый данный момент времени направление и быстроту движения точки, называется скоростью.

Скорость точки в любой момент ее движения направлена по каса­тельной к траектории.

Отметим, что это векторное равенство характеризует лишь положение , а модуль средней скорости за время :

где – путь, пройденный точкой за время .

Модуль средней скорости равен частному от деления пройденного пути на время, в течение которого этот путь пройден.

Векторная величина, характеризующая быстроту изменения направ­ления и числового значения скорости, называется ускорением.

При равномерном движении по криволинейной траектории точка тоже имеет ускорение, так как и в этом случае изменяется направление скорости.

За единицу ускорения принимают обычно .

 

6.2. Способы задания движения точки

 

Существует три способа: естественный, координатный, векторный.

Естественный способ задания движения точки. Если кроме траектории, на которой отмечено начало отсчета O, задана зависимость

между расстоянием S и временем t, это уравнение называется законом движения точки по заданной траектории.

Пример:

Пусть, например, задана некоторая траектория, движение точки по которой определяется уравнением . Тогда в момент времени , т.е. точка находится в начале отсчета O; в момент времени точка находится на расстоянии ; в момент времени точка находится на расстоянии от начала отсчета O.

Координатный способ задания дви­жения точки. Когда траектория точки заранее не известна, положение точки в пространстве определяется тремя координатами: абсциссой X, ординатой Yи аппликатой Z.

или , исключив время.

Эти уравнения выражают закон движения точки в прямоугольной системе координат (OXYZ).

В частном случае, если точка движется в плоскости, закон движения точки выражается двумя уравнениями: или .

Например. Движение точки в плоской системе координат задано уравнениями и (X и Y – см, t – с). Тогда в момент времени и , т.е. точка находится в начале координат; в момент времени координаты точки , ; в момент времени координаты точки , и т.д.

Зная закон движения точки в прямоугольной системе координат, можно определить уравнение траектории точки.

Например, исключив время t из заданных выше уравнений и , получим уравнение траектории . Как видим, в этом случае точка движется по прямой, проходящей через начало координат.

6.3. Определение скорости точки при естественном способе
задания ее движения

Пусть движение точки А по заданной траектории происходит согласно уравнению , требуется определить скорость точки в момент времени t.

За промежуток времени точка прошла путь , значение средней скорости на этом пути

,

но оно отличается от значения скорости в момент времени t. Скорость в заданный момент t

,

т.е. значение скорости точки, движение которой задано естественным способом, в любой момент времени равно первой производной от расстояния (дуговой координаты) по времени.

Направление скорости, как отмечалось выше, известно заранее.

6.4. Определение ускорения точки при естественном способе
задания ее движения

 

Вектор – ускорение точки в данный момент – есть геометри­ческая сумма касательного и нормального ускорений:

Вектор в любой момент времени направлен по касательной, поэтому вектор называется касательным, или тангенциальным ускорением. Модуль касательного ускорения

,

равный производной от скорости в данный момент по времени или, иначе, второй производной от расстояния по времени, характеризует быстроту изменения значения скорости.

Доказано, что вектор в любой момент времени перпендикулярен касательной, поэтому он называется нормальным ускорением.

Значит, модуль нормального ускорения пропорционален второй степени модуля скорости в данный момент, обратно пропорционален радиусу кривизны траектории в данной точке и характеризует быстроту изменения направления скорости.

Модуль ускорения

,

а направление a (угол ) находим с помощью тригонометрических функций по одной из следующих формул:

.

Если векторы и направлены в одну и ту же сторону, то движение точки называется ускоренным. При этом зна­чения и имеют одинаковые знаки ( или ). Если же векторы и направлены в противоположные стороны, то движение точки называется замедленным. В этом случае знаки и разные ( или ).