Основное уравнение динамики вращающегося тела

Пусть твердое тело под действием внешних сил (эти силы на рисунке не показаны) вращается около оси OZ с угловым ускорением . Алгебраическая сумма моментов всех сил (активных сил и сил сопротивления) относительно оси OZ,

называется вращающим моментом.

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разобьем его на множество материальных точек с массами . Каждая из этих точек движется по окружности радиуса , с ускорением , которое разложим на касательное . и нормальное ускоре­ния.

Приложим к каждой материальной точке элементарные силы инер­ции: касательную и нормальную . Согласно принципу Даламбера, активные силы, силы реакции связей и силы инерции образуют уравновешенную систему. Поэтому алгебра­ическая сумма моментов всех этих сил относительно оси OZ должна быть равна нулю, т.е.

(моменты сил относительно оси OZ равны нулю, т. к. линии действия этих сил пересекают ось).

У любой точки вращающегося тела числовое значение касательно­го ускорения , поэтому значение , где – угловое ускорение тела.

.

Величина равная сумме произведений масс всех точек тела на квадраты их расстояний от оси вращения, называется моментом инерции тела (системы) относительно этой оси.

Основное уравнение динамики вращающегося тела:

В СИ момент инерции тела выражается в .

Кинетическая энергия тела. Кинетический момент

Кинетическая энергия тела складывается из кинетических энер­гий его отдельных точек.

1. При поступательном движении тела скорости всех его точек равны

между собой и равны – скорости центра масс тела. Поэтому легко понять, что кинетическая энергия тела при поступательном движении

,

где m – масса тела; – значение скорости центра масс.

2. При вращательном движении тела с некоторой угловой скоростью

все его точки движутся по окружностям различных радиу­сов и имеют скорости . Определив кинетическую энер­гию каждой точки и сложив ее по всему объему тела, получим:

А так как – момент инерции тела относительно оси Z, находим для кинетической энергии такое выражение:

Кинетическая энергия тела при сложном его движении (при плоскопараллельном, в частности) складывается из кинетической энер­гии поступательного движения со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через центр масс, т.е.

.

Кроме кинетической энергии мерой вращательного движения тела является величина , называемая кинетическим моментом вращающегося тела. Кинетический момент в СИ выражается в .