Основы расчета абсолютного твердого тела как модели механического объекта

Оглавление

Предисловие.............................................................................................................8

Раздел 1.

Основы расчета абсолютного твердого тела как модели механического объекта

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ СТАТИКИ...............................................9

1.1. Общие сведения..........................................................................................9

1.2. Аксиомы статики......................................................................................10

1.3. Связи и их реакции...................................................................................11

Глава 2. Плоская система сходящихся сил...................................14

2.1. Сложение плоской системы сходящихся сил. Геометрическое
условие равновесия...................................................................................14

2.2. Определение равнодействующей системы сходящихся сил
методом проекций. Аналитическое условие равновесия.....................15

Глава 3. Теория пар сил на плоскости................................................17

3.1. Пара сил. Эквивалентность пар сил........................................................17

3.2. Сложение пар сил. Условие равновесия пар..........................................18

3.3. Момент пары относительно точки...........................................................18

Глава 4. Плоская система произвольно расположенных
сил.........................................................................................................................19

4.1. Приведение силы к точке.........................................................................19

4.2. Приведение к точке плоской системы произвольно расположенных сил..............................................................................................................20

4.3. Теорема Вариньона...................................................................................22

4.4. Уравнения равновесия и их различные формы......................................22

4.5. Балочные системы. Разновидности опор и виды нагрузок...................24

4.6. Реальные связи. Трение скольжения и его законы................................25

Глава 5. Пространственная система сил..........................................27

5.1. Сложение пространственной системы сходящихся сил. Условие равновесия.................................................................................................27

5.2. Момент силы относительно оси..............................................................28

5.3. Пространственная система произвольно расположенных сил.
Условие равновесия..................................................................................30

Глава 6. Кинематика точки........................................................................31

6.1. Основные понятия кинематики................................................................31

6.2. Способы задания движения точки...........................................................33

6.3. Определение скорости точки при естественном способе задания ее движения....................................................................................................35

6.4. Определение ускорения точки при естественном способе задания ее движения....................................................................................................35

6.5. Частные случаи движения точки.............................................................36

Глава 7. Простейшие движения твердого тела..............................38

7.1. Поступательное движение........................................................................38

7.2. Вращательное движение. Угловая скорость, угловое ускорение.........40

7.3. Частные случаи вращательного движения.............................................41

7.4. Скорости и ускорения различных точек вращающегося тела..............43

7.5. Способы передачи вращательного движения.........................................45

Глава 8. Сложное движение.......................................................................45

8.1. Сложное движение точки.........................................................................45

8.2. Плоскопараллельное движение тела.......................................................47

8.3. Определение скорости любой точки тела при плоскопараллельном движении...................................................................................................48

Глава 9. Движение несвободной материальной точки............50

9.1. Основные понятия и аксиомы динамики................................................50

9.2. Свободная и несвободная точки..............................................................51

9.3. Силы инерции............................................................................................52

9.4. Принцип Даламбера..................................................................................53

Глава 10. Работа и мощность....................................................................53

10.1. Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении...............53

10.2. Работа равнодействующей силы............................................................55

10.3. Работа переменной силы на криволинейном пути...............................55

10.4. Мощность.................................................................................................56

10.5. Механический коэффициент полезного действия...............................57

10.6. Работа сил на наклонной плоскости......................................................57

10.7. Работа и мощность при вращательном движении тел.........................59

10.8. Трение качения. Работа при качении тел..............................................60

Глава 11. Общие теоремы динамики.....................................................61

11.1. Импульс силы. Количество движения. Кинетическая энергия...........61

11.2. Теорема об изменении количества движения точки............................61

11.3. Теорема об изменении кинетической энергии точки..........................62

11.4. Понятие о механической системе..........................................................62

11.5. Основное уравнение динамики вращающегося тела...........................63

11.6. Кинетическая энергия тела. Кинетический момент.............................64

Раздел 2.

Основы построения и исследования механизмов

Глава 12. Структура механизмов...........................................................66

12.1. Основные понятия...................................................................................66

12.2. Классификация кинематических пар. Кинематические цепи.............67

12.3. Структурный синтез и анализ механизмов...........................................68

12.4. Конструктивно-функциональная классификация механизмов...........70

12.5. Передаточное отношение.......................................................................71

Глава 13. Основы расчета и проектирования механизмов....72

13.1. Общие сведения о передачах. Основные виды зубчатых передач.....72

13.2. Общие сведения о методах изготовления зубчатых колес..................74

13.3. Кинематика зубчатых механизмов с неподвижными осями
вращения.................................................................................................75

13.4. Кинематика зубчатых механизмов с подвижными осями
вращения.................................................................................................76

Глава 14. Основы кинематического анализа механизмов...77

14.1. Задачи и методы кинематического анализа механизмов.
Масштабные коэффициенты.................................................................77

14.2. Построение положений рычажных механизмов методом засечек.....78

14.3. Определение скоростей и ускорений рычажных механизмов
методом планов......................................................................................79

Глава 15. Методические указания к решению задач.................81

15.1. Кинематика зубчатых механизмов с неподвижными осями
вращения.................................................................................................81

15.2. Кинематика зубчатых механизмов с подвижными осями
вращения.................................................................................................84

Раздел 3.

Раздел 4.

Предисловие

Это пособие предназначено для студентов, изучающих курс механики по программе, утвержденной Министерством образования Республики Беларусь для высших учебных заведений.

В пособии изложение материала, в основном, соответствует традиционной программе механики, исходя из того, что она является комплексной общепрофессиональной дисциплиной по немашиностроительным специальностям.

Пособие включает в себя основные положения курсов «Теоретическая механика», «Сопротивление материалов», «Теория механизмов и машин», «Детали машин». Необходимым явилось включение в курс механики в том или ином объеме положений курса «Расчет и конструирование изделий отрасли».

Цель пособия – дать студенту знания и навыки по выполнению расчетов и конструированию, необходимые при последующем изучении специальных дисциплин, а также в его профессиональной деятельности.

В силу компактности и комплексного характера курса механики, на лекциях требуется лаконичность изложения материала с достаточно полным изложением лишь принципиальных вопросов.

Автор использует данный материал при прочтении лекций по механике.

Настоящее пособие рекомендуется всем тем, кто изучает, преподает и просто интересуется элементарной механикой.

Пособие предназначено для изучения, повторения и углубления курса механики, а часто и для быстрого нахождения, беглого прочтения и восстановлении в памяти необходимой информации.

Пособие может быть использовано для самостоятельной работы студентов.

Автор считает своей обязанностью выразить благодарность А.Т.Скойбеде, оказавшему помощь в подготовке книги. Автор будет также благодарен всем товарищам, которые не откажутся в дальнейшем высказать свои замечания об этом пособии.

Раздел 1.

Основы расчета абсолютного твердого тела
как модели механического объекта

 

Общие сведения

Материальной точкой называют геометрическую точку, обладающую массой.

Абсолютно твердым телом называют такое материальное тело, в котором расстояние между любыми двумя точками всегда остается неизменным.

Способность тел сопротивляться изменению их формы и размеров называется жесткостью.

Мера механического действия одного материального тела на дру­гое называется силой. Сила - величина векторная. Она определяет­ся, во-первых, числовым значением (модулем), во-вторых, точкой приложения (местом контакта взаимодействующих тел), в-третьих, направлением действия.

В Международной системе единиц (СИ) сила выражается в ньюто­нах (сокращенное обозначение Н). 1Н – небольшая сила, поэтому часто употребляют кратные единицы – килоньютон (1 кН = 10³ Н) и меганьютон (1 МН = 10⁶ Н).

Как всякий вектор, силу можно изобразить графически в виде направленного отрезка.

Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз.

Несколько сил, действующих на какое-либо одно твердое тело, называется системой сил.

Силы, действующие на твердое тело со стороны других тел, на­зываются внешними. Силы, действующие на материальные точки твер­дого тела со стороны других точек того же тела, называются внутренними.

 

Аксиомы статики

 

Аксиома 1 (принцип инерции). Всякая изолированная ма­териальная точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут ее из этого состояния.

Состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения точки называют равновесием.

Аксиома 2 (условие равновесия двух сил). Две силы, приложенные к твердому телу, образуют уравновешенную систему только тогда, когда они равны по модулю и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны.

Аксиома 3 (принцип присоединения и исключения уравновешенных сил). Действие данной системы сил на твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.

Следствие 1. Силу, приложенную к твердому телу, мож­но переносить вдоль линии ее действия в любую другую точку, действие силы на тело при этом не нарушится.

Свойство вектора силы справедливо только в теоретической ме­ханике (механике абсолютно твердого тела).

Аксиома 4 (правило параллелограмма). Две приложенные к точке тела силы имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и равную диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.

Две силы и приложены к разным точкам тела, но линии их действия лежат в одной плоскости.

Аксиома 5 (закон действия и противодействия). Силы взаимодействия двух твердых тел друг на друга равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Аксиома 6 (принцип отвердевания). Если деформируемое тело находится в равновесии, то равновесие этого тела не нарушится, если, не изменяя формы, размеров, положения в пространстве, оно превратится в абсолютно твердое тело, т.е. затвердеет.

 

Связи и их реакции

 

Твердое тело называется свободным, если оно может перемещаться в пространстве в любом направлении. В качестве примера свободного тела приведем летящий воздушный шар или ракету в космосе. Твердое тело называется несвободным, если его перемещение в пространстве ограничено какими-либо другими телами.

Все тела, которые, так или иначе ограничивают перемещение данного тела, называются его связями.

Задача определения реакций связей – одна из основных задач статики.

Некоторые разновидности связей и правила определения их реакций.

1. Свободное опирание тела о связь. Тело изображено в виде бруска, а связь заштрихована.

2. Гибкая связь. Реакции нитей или цепей всегда направлены вдоль самих связей в сторону от тела к связи.

3. Стержневая связь. Реакции стержневых связей направлены вдоль прямой, проходящей через оси концевых шарниров.

4. Шарнирно-подвижная опора представляет собой видоизменение свободного опирания.

5. Шарнирно-неподвижная опора дает возможность телу свободно поворачиваться около шарнира, но препятствует поступательному перемещению тела в любом направлении, перпендикулярном оси шарнира.

6. Глухая заделка (жесткое защемление). Исключает любое перемещение тела.

 

 

Приведение силы к точке

 

Теорема о параллельном переносе силы в любую заданную или выбранную точку

Пусть дана сила , приложенная к точке А твердого тела, и ее требуется перенести в точку 0. Приложим к телу в точке 0 уравновешенную систему сил , параллельных и равных ей по модулю (т.е. ). Теперь, кроме силы , приложенной к точке 0, образовались пара сил с моментом и момент данной силы относительно точки 0: т.е. .

Таким образом, всякую силу , приложенную к телу в точке А, можно переносить параллельно линии действия в любую точку О, присоединив пару сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки ее приложения.

Операция такого переноса силы называется приведением силы к точке, а появляющаяся при этом пара с моментом – присоединенной парой.

Операция приведения силы к точке имеет глубокий физический смысл.

 

Теорема Вариньона

 

Непосредственно из равенства () вытекает важная зависимость между моментом равнодействующей и моментами составляющих сил, известная в механике как теорема Вариньона. Перепишем предыдущее равенство в таком виде:

Из последнего рисунка следует, что – момент равнодействующей относительно любой точки, а по формуле , поэтому последнее равенство можно переписать в виде

,

т.е. момент равнодействующей ПСПРС относительно любой точки равен алгебраической сумме моментов сил системы, взятых относительно той же точки.

 

Равномерно распределены.

Равномерно распределенная нагрузка задается двумя параметрами – интенсивностью q, т.е. числом единиц силы (Н или кН), приходящихся на единицу длины (м), и длиной l. В задачах статики, где рассматриваются абсолютно недеформируемые (твердые) балки, равномерно распределенную нагрузку можно заменять равнодействующей сосредоточенной силой .

 

Основные законы трения

1. Сила трения действует в касательной плоскости к поверхностям соприкасающихся тел и при движении направлена против относительного скольжения тела.

2. Статическая сила трения пропорциональна нормальной реакции,

3. Статическая сила трения не зависит от размеров трущихся поверхностей.

4. Статический коэффициент трения ()зависит от материала соприкасающихся тел, физического состояния (влажности, температуры, степени загрязнения и т.д.) и качества обработки. (Законы трения относятся к числу не очень точных. Обычно наблюдаются от них значительные отклонения. Например, при увеличении продолжительности неподвижного контакта соприкасающихся тел статический коэффициент трения возрастает, так как в месте контакта постепенно происходит пластическое изменение

поверхностей обоих тел и площади их соприкосновения увеличиваются. Следовательно, размеры трущихся поверхностей влияют на статический коэффициент трения, а значит и на силу трения).

После начала скольжения тела коэффициент трения несколько уменьшается и принимает значение динамического коэффициента трения f

Следовательно,

где – сила трения скольжения.

 

Условие равновесия

Ранее подробно изложен процесс приведения сил к точке и доказано, что любая плоская система сил приводится к силе – главному вектору и паре, момент которой называется главным моментом, причем эквивалентные данной системе сил сила и пара действуют в той же плоскости, что и заданная система. Значит, если главный момент изобразить в виде вектора, то главный вектор и главный момент плоской системы сил всегда перпендикулярны друг другу.

Рассуждая аналогично, можно последовательно привести к точке силы пространственной системы. Но теперь главный вектор есть замыкающий вектор пространственного (а не плоского) силового многоугольника; главный момент уже нельзя получить алгебраическим сложением моментов данных сил относительно точки приведения. При приведении к точке пространственной системы сил, присоединенные пары действуют в различных плоскостях и их моменты целесообразно представлять в виде векторов и складывать геометрически. Поэтому полученные в результате приведения пространственной системы сил главный вектор (геометрическая сумма сил системы) и главный момент (геометрическая сумма моментов сил относительно точки приведения), вообще говоря, не перпендикулярны друг другу.

Векторные равенства и выражают необходимое и достаточное условие равновесия пространственной системы произ­вольно расположенных сил.

Если главный вектор равен нулю, то его проекции на три взаим­но перпендикулярные оси также равны нулю. Если главный момент равен нулю, то равны нулю и три его составляющие на те же оси.

Значит, произвольная пространственная система сил статически определима лишь в том случае, когда число неизвестных не превышает шести.

Среди задач статики часто встречаются такие, в которых на тело действует пространственная система параллельных друг другу сил.

В пространственной системе параллельных сил неизвестных должно быть не больше трех, иначе задача становится статически неопределимой.

 

Глава 6. Кинематика точки

Основные понятия кинематики

 

Раздел механики, занимающийся изучением движения материальных тел без учета их масс и действующих на них сил, называется кинематикой.

Движение – основная форма существования всего материального мира, покой и равновесие – частные случаи.

Всякое движение, и механическое в том числе, происходит в пространстве и во времени.

Все тела состоят из материальных точек. Чтобы получить правильное представление о движении тел, начинать изучение нужно с движения точки. Перемещение точки в пространстве выражается в метрах, а также в дольных (см, мм) или кратных (км) единицах длины, время – в секундах. В практике или жизненных ситуациях время часто выражают в минутах или часах. Отсчет времени при рассмотрении того или иного движения точки ведут от определенно­го, заранее обусловленного начального момента (t = 0).

Геометрическое место положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета называется траекторией. По виду траектории движение точки делится на прямолинейное и криволинейное. Траектория точки может быть определена и задана заранее. Так, например, траектории искусственных спутников Земли и межпланетных станций вычисляют заранее, или если принять движущиеся по городу автобусы за материальные точки, то их траектории (маршруты) также известны. В подобных случаях положение точки в каждый момент времени определяется расстоянием (дуговой коорди­натой) S, т.е. длиной участка траектории, отсчитанной от неко­торой ее неподвижной точки, принятой за начало отсчета. Отсчет расстояний от начала траектории можно вести в обе стороны, по­этому отсчет в одну какую-либо сторону условно принимают за положительный, а в

противоположную – за отрицательный, т.е. рас­стояние S – величина алгебраическая. Она может быть положитель­ной (S > 0) или отрицательной (S<0).

При движении точка за определенный промежуток времени прохо­дит некоторый путь L, который измеряется вдоль траектории в направлении движения.

.

Если точка стала двигаться не из начала отсчета O, а из поло­жения, находящегося на начальном расстоянии S_o то

Векторная величина, характеризующая в каждый данный момент времени направление и быстроту движения точки, называется скоростью.

Скорость точки в любой момент ее движения направлена по каса­тельной к траектории.

Отметим, что это векторное равенство характеризует лишь положение , а модуль средней скорости за время :

где – путь, пройденный точкой за время .

Модуль средней скорости равен частному от деления пройденного пути на время, в течение которого этот путь пройден.

Векторная величина, характеризующая быстроту изменения направ­ления и числового значения скорости, называется ускорением.

При равномерном движении по криволинейной траектории точка тоже имеет ускорение, так как и в этом случае изменяется направление скорости.

За единицу ускорения принимают обычно .

 

6.2. Способы задания движения точки

 

Существует три способа: естественный, координатный, векторный.

Естественный способ задания движения точки. Если кроме траектории, на которой отмечено начало отсчета O, задана зависимость

между расстоянием S и временем t, это уравнение называется законом движения точки по заданной траектории.

Пример:

Пусть, например, задана некоторая траектория, движение точки по которой определяется уравнением . Тогда в момент времени , т.е. точка находится в начале отсчета O; в момент времени точка находится на расстоянии ; в момент времени точка находится на расстоянии от начала отсчета O.

Координатный способ задания дви­жения точки. Когда траектория точки заранее не известна, положение точки в пространстве определяется тремя координатами: абсциссой X, ординатой Yи аппликатой Z.

или , исключив время.

Эти уравнения выражают закон движения точки в прямоугольной системе координат (OXYZ).

В частном случае, если точка движется в плоскости, закон движения точки выражается двумя уравнениями: или .

Например. Движение точки в плоской системе координат задано уравнениями и (X и Y – см, t – с). Тогда в момент времени и , т.е. точка находится в начале координат; в момент времени координаты точки , ; в момент времени координаты точки , и т.д.

Зная закон движения точки в прямоугольной системе координат, можно определить уравнение траектории точки.

Например, исключив время t из заданных выше уравнений и , получим уравнение траектории . Как видим, в этом случае точка движется по прямой, проходящей через начало координат.

6.3. Определение скорости точки при естественном способе
задания ее движения

Пусть движение точки А по заданной траектории происходит согласно уравнению , требуется определить скорость точки в момент времени t.

За промежуток времени точка прошла путь , значение средней скорости на этом пути

,

но оно отличается от значения скорости в момент времени t. Скорость в заданный момент t

,

т.е. значение скорости точки, движение которой задано естественным способом, в любой момент времени равно первой производной от расстояния (дуговой координаты) по времени.

Направление скорости, как отмечалось выше, известно заранее.

6.4. Определение ускорения точки при естественном способе
задания ее движения

 

Вектор – ускорение точки в данный момент – есть геометри­ческая сумма касательного и нормального ускорений:

Вектор в любой момент времени направлен по касательной, поэтому вектор называется касательным, или тангенциальным ускорением. Модуль касательного ускорения

,

равный производной от скорости в данный момент по времени или, иначе, второй производной от расстояния по времени, характеризует быстроту изменения значения скорости.

Доказано, что вектор в любой момент времени перпендикулярен касательной, поэтому он называется нормальным ускорением.

Значит, модуль нормального ускорения пропорционален второй степени модуля скорости в данный момент, обратно пропорционален радиусу кривизны траектории в данной точке и характеризует быстроту изменения направления скорости.

Модуль ускорения

,

а направление a (угол ) находим с помощью тригонометрических функций по одной из следующих формул:

.

Если векторы и направлены в одну и ту же сторону, то движение точки называется ускоренным. При этом зна­чения и имеют одинаковые знаки ( или ). Если же векторы и направлены в противоположные стороны, то движение точки называется замедленным. В этом случае знаки и разные ( или ).

 

Поступательное движение

 

Движение твердого тела, при котором любой выбранный в теле отрезок прямой перемещается, оставаясь параллельным своему пер­воначальному положению, называется поступательным.

Рассмотрим две точки А и В, соединенные отрезком АВ. Очевид­но, что при перемещении отрезка АВ параллельно первоначальному положению () точки A и В движутся по одинаковым траекториям, т.е. если траекторию совместить с траекторией , то они совпадут. Если вместе с точкой A рассмотреть дви­жение точки C, то при движении тела отрезок АС также остается

параллельным своему первоначальному положению () и траектория точки C (кривая ) одинакова с траекториями и .

или , или

или , или

Как видим, поступательное движение твердого тела полностью характеризуется движением любой его точки. Обычно поступательное движение тела задается движением его центра тяжести, иначе гово­ря, при поступательном движении тело можно считать материальной точкой.

Примерами поступательного движения тел могут служить какой-либо ползун 1, движущийся в прямолинейных направляющих 2, или прямолинейно движущийся автомобиль (вернее, не весь автомобиль, а его шасси с кузовом). Иногда криволинейное движение на поворо­тах дорог автомобилей или поездов условно принимают за поступа­тельное. В подобных случаях говорят, что автомобиль или поезд движется с такой-то скоростью или с таким-то ускорением.

Примерами криволинейного поступательного движения служат дви­жение вагончика (люльки) подвесной канатной дороги или движение спарника, соединяющего два параллельных кривошипа. В последнем случае каждая точка спарника движется по окружности.

Глава 8. Сложное движение

Сложное движение точки

Примером сложного движения точки может служить:

а) лодка (если ее принять за материальную точку), плывущая от одного берега реки к другому;

б) шагающий по ступенькам движущегося эскалатора в метро че­ловек также совершает сложное движение относительно неподвижного свода туннеля.

Таким образом, при сложном движении точка, двигаясь относи­тельно некоторой подвижной материальной среды, которую условимся называть подвижной системой отсчета, одновременно передвигается вместе с этой системой отсчета относительно второй системы от­счета, условно принимаемой за неподвижную.

Движение некоторой точки М по отношению к подвижной системе отсчета называется относительным. Движение подвижной системы от­счета вместе со всеми связанными с ней точками материальной сре­ды по отношению к неподвижной системе отсчета называется для точки М переносным. Движение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета называется сложным, или абсолютным.

Для того чтобы видеть сложное (абсолютное) движение точки, наблюдатель должен сам быть связан с неподвижной системой отсче­та. Если же наблюдатель находится в подвижной системе отсчета, то он видит лишь относительную часть сложного движения.

Представим, что точка М переместилась за некоторое время от­носительно подвижной системы координат из начального по­ложения M₀ в положение М₁ по траектории M₀М₁ (траектории относительного движения точки). За это же время подвижная система координат O₁X₁Y₁ вместе со всеми неизменно связанными с ней точ­ками, а значит, и вместе с траекторией относительного движения точки М переместилась в неподвижной системе координат ОХУ в но­вое положение.

Разделим обе части этого равенства на вр