Напряженное состояние в точке. Закон парности касательных напряжений. Главные площадки и главные напряжения. Классификация напряженных состояний.

Напряженное состояние в данной точке тела характеризуется совокупностью нормальных и касательных напряжений, возникающих на бесчисленном множестве различно ориентированных в простран­стве площадок, которые можно провести через эту точку.

Предположим, что в окрестности исследуемой точки выделен бесконечно малый элемент, имеющий форму прямоугольного паралле­лепипеда, и напряжения, возникающие на его гранях, известны.

Девять величин называют компонентами (рис. 17.1) напряженного состояния в данной точке.

Из условия равновесия выделенного элемента следует, что составляющие каса­тельных напряжений, возникающих на любых двух взаимно перпендикулярных площадках, перпендикулярные общему ребру этих площадок, равны по абсолютному значению, т.е.

Это положение называют законом парности касательных напряжений. Следовательно, из девяти компонентов напряженного состояния независимы лишь шесть.

Первое положение теории напряженного состояния может быть сформулировано следующим образом:

напряженное состояние в точке тела задано, если известны напряжения на любых, трех проходящих через нее взаимно перпен­дикулярных площадках.

Среди бесчисленного множества площадок, которые можно провести через исследуемую точку, имеются три взаимно перпендикулярные площадки, касательные напряже­ния на которых отсутствуют. Эти площадки и возникающие на них нормальные напряжения называют главными.

Классификацию видов напряженного состояния ведут по главным напряжениям. Если все три главных напряжения отличны от нуля, напряженное состояние называют объемным, пространственным, или трехосным. В случае если дно из главных напряжений равно нулю,

напряжен­ное состояние называют плоским или, двухосным, наконец, если лишь одно из главных напряжений отлично от нуля, напряженное состояние линейное, или одноосное.

–объемное;

– плоское;

– линейное.

Элементы, выделенные главными площадками, для различных частных случаев напряженного состояния показаны на рис. 17.2: а – трехосное растяжение; б – трехосное сжатие; в – трехосное смешанное напряженное состояние; г – двухосное растяжение; д – двухосное сжатие; е – частный случай двухосного смешанного напряженного состояния – чистый сдвиг; ж – одноосное растяжение; з – одноосное сжатие. Площадки, свободные от напряжений, так называемые нулевые главные площадки, покрыты точками.

17.2. Однородное растяжение бруса как пример реализации одноосного напряженного состояния материала.

При растяжении (сжатии) прямого бру­са в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила, обозначаемая или N.

Прямые брусья, работающие на растяжение или сжатие, часто называют стержнями.

Продольные силы, соответствующие деформации растяжения, условимся считать положительными, а сжатия – отрицательными. При растяжении продольная сила на­правлена от сечения (рис. 17.4 б), а при сжатии – к сечению (рис. 17.3 б).

Модуль и направление (знак) продольной силы определяются из уравнения равновесия, составленного для отсеченной (оставленной после проведения сечения) части бруса:

откуда

Продольной силой в поперечном сечении бруса называется равнодействующая внутренних нормальных сил, возникающих в этом сечении.

В тех случаях, когда продольные силы в различных попереч­ных сечениях бруса неодинаковы, закон их изменения по длине бруса удобно представить в виде графика, называемого эпюрой продольных сил.

Эпюра продольных сил – это график функции .

Эпюру продольных сил строят в первую очередь для того, чтобы использовать ее при расчете бруса на прочность.

Напряжения

При растяжении (сжатии) бруса в его поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения.

(17.1)

При растяжении считают напряжения положительными в местах резкого изменения формы и размеров поперечного сечения бруса также возникают местные напряжения. Это явление называют концентрацией на­пряжений.

В тех случаях, когда нормальные напряжения в различных поперечных сечениях бруса неодинаковы, целесообразно показывать закон их изменения по длине бруса в виде графика – эпюры нормальных напряжений.