Моделирование невырожденного многомерного нормального распределения

Случайный вектор ξ=(ξ1…ξm) имеет невырожденное m-мерное нормальное распределение, если его плотность распределения имеет вид

 

µ = (µ1…µm)^T – мат. ожидание ξ µ=Мξ

R=[ρ_ij] – заданная симметрич. положительно определенная матрица порядка «m»:

(x-µ)^TR^-1(x-µ) квадратичная форма переменных y=x-µ с матрицей B=R^-1

R=M(ξ-µ)(ξ-µ)^T – корреляционная матрица вектора ξ

B=R^-1 – матрица точности.

Распределение полностью описывается двумя параметрами вектором µ и матрицей R.

Обозначим ξ ~ N(µ,R)

Если м. о. равно нулю, а корреляционная матрица R равна единичной I_m, т.е. ε~N(0,I_m), то распределение называется стандартным нормальным распределением. Стандартное распределение легко моделируется. Для этого нужно положить все компоненты ξ равными независимым реализациям СВ ε ~ N(0,1).

В общем случае многомерное нормальное распределение моделируется с помощью линейного преобразования

ξ=Aε+µ ε ~ N(0,I_m).

Здесь матрица A=[a_ij] порядка «m» определяется условием R=A*A^T (метод Холецкого)

8. АНАЛИЗ МЕТОДОВ ИМИТАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (ОДНОМЕРНЫЙ И МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАИ)

Имитация СВ с заданным законом распределения. Общая схема:

 

2. ИМИТАЦИЯ РЕДКИХ СОБЫТИЙ

Имитация случайных величин, подчиненныхзакону распределения Пуассона.

Дискретная случайная величина х, принимающая целочисленные значения, распределена по закону Пуассона, если:

 

---- > закон редких событий

𝜆 – параметр распределения

Если M[ ] = D[ ] = λ в заданном интервале с заданной точностью, то можно говорить, что это закон Пуассона. Распределение Пуассона является предельным для биномиального, когда (n→∞) и (p→∞) так, что np = 𝜆 = const

Основное утверждение, на котором базируется имитация редких событий, гласит следующее:
Если длина интервала между последовательными событиями имеет экспоненциальное распределение, то количество событий до величины

подчинено распределению Пуассона.

1) P0(t) – вероятность того, что на интервале [0, t] не произойдет ни одного события.
λdt – вероятность того, что некоторое событие произойдет на интервале [t, t+dt]
P0(t+dt) - вероятность того, что на интервале [t, t+dt] не произойдет ни одного события

P0(t+dt)= P0(t)(1- λdt)

2)

 

 

T – случайная величина, равная длине временного интервала между последовательными событиями.

Таким образом, для генерирования случайных величин, подчиненных з-ну Пуассона, сначала генерируются экспоненциально распределенные моменты {t_ij} наступления событий с м.о. I, которые потом суммируются до тех пор, пока итог не превысит

величину 𝜆.Как показал опыт, для большего быстродействия, можно применять следующее модифицированное выражение (λ=1 из экспоненциального закона)

 

12. ОЦЕНКА КОЛИЧЕСТВА РЕАЛИЗАЦИЙ, НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ ДОСТИЖЕНИЯ ТРЕБУЕМОЙ ТОЧНОСТИ В МЕТОДЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ

 

- неравенство Чебышева (устанавливает верхнюю границу вероятности)

D[ ] – дисперсия оценки а

 

Пусть ξ случайная величина с математическим ожиданием :
Дисперсия оценки:

Обозначим

 

При реализации метода Монте-Карло общее число реализаций велико, поэтому среднее арифметическое как СВ, подчиняется нормальному закону распределения с м.о. М[]=a и дисперсией D[]=σ²/N. В этом случае формула для погрешности принимает вид: , где - находится из таблицы нормального распределения.

 

 

Для уменьшения ε возможны два варианта:
* уменьшить дисперсию(

); *увеличить число реализаций (N)

 

5. МЕТОД МОНТЕ – КАРЛО И ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - методология исследования и моделирования сложных систем – глобальное моделирование. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - это метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику.

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО – метод решения математических задач с помощью моделирования случайных величин. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО - это численный метод, моделирующий на ЭВМ псевдослучайные числовые последовательности с заданными вероятностными характеристиками.

ОСОБЕННОСТИ МЕТОДА МОНТЕ –КАРЛО:

1) Универсальность

2) Простота реализации

3) Погрешность:

 

 

e - погрешность
В – константа, зависящая от дисперсии оценки
N – число реализаций (испытаний)

«-» медленная сходимость (сходимость

по вероятности)