Теоретическая часть. Построение имитационной модели геологического разреза

Построение геологического разреза с использованием принципов имитационного моделирования включает три основных этапа:

- на первом этапе проводится преобразование исходной матрицы частот в матрицу переходных вероятностей на основании программы преобразования;

- на второй этапе проводится анализ полученной информации. Здесь проверяется, обладают ли исходные последовательности Марковским свойством. Наличие марковского свойства определяет представление исходной информации в виде матрицы переходных вероятностей;

- на третьем этапе с помощью методов генерирования случайных величин с заданным законом распределения проводится имитация геологического разреза.

Рассмотрим более подробно все три этапа.

Первый этап. Во многих природных процессах, которые рассматриваются как случайные, наблюдается некоторое влияние предшествующих событий на последующие. Эти процессы, называемые марковскими, характеризуются тем, что для них вероятность находиться в данном состоянии в заданный момент времени может быть выведена из сведений о непосредственно предшествующем состоянии. Итак, основная характеристика цепей Маркова - марковское свойство (марковость) представляет собой зависимость вероятности каждого перехода от непосредственно предшествующего состояния. Марковское свойство проявляется во многих геологических процессах.

Пусть в результате геологических исследований была получена информация о залегающих породах. Если допустить существование только трех литологических типов пород (состояний), то по имеющимся данным можно подсчитать частоты перехода из одного состояния в другое и представить их с помощью матрицы частот. Нетрудно видеть, что данные, приведенные в матрице частот, можно представить в виде вероятностей путем деления каждого числа на сумму по соответствующей строке. Эти вероятности называются марковскими переходными вероятностями и образуют матрицу переходных вероятностей, в которой число строк равно числу столбцов и соответствует числу возможных состояний.

Матрицы вероятностей перехода являются средством сжато­го описанья поведения марковской цепи. Каждый элемент этой матрицы представляет собой вероятность перехода из заданного состояния (этому состоянию в матрице соответствует строка) в следующее состояние, которому соответствует столбец. Если обозначить через А песчаники, через В - сланцы, через С - из­вестняки, то значения, образующие первую строку матрицы пе­реходных вероятностей, будут характеризовать правдоподобие перехода от песчаника к песчанику, от песчаника к сланцу, от песчаника к известняку. Сумма вероятностей в каждой строке равна I, что свидетельствует о том, что все возможные вариан­ты переходов от одного литологического типа к другому учтены.

Второй этап. Как уже отмечалось выше, важным свойством марковских цепей является марковское свойство (или марковость), которое представляет собой зависимость вероятности каждого перехода от непосредственно предшествующего состояния. Статистический критерий для проверки наличия марковского свойства весьма важен в моделировании. При этом проверяемая (или нулевая) гипотеза заключается в том, что события, образующие последовательность, независимы, а альтернатива в том, что они зависимы. Если верна альтернатива, то последовательность событий может быть представлена марковской цепью.

Для проверки нулевой гипотезы нужно вычислить величину

(1)

Если проверяемая гипотеза верна, то величина -2ln(λ) будет распределена асимптотически, как χ ² с (N-I)² степенями свободы. Выражение (1) эквивалентно более удобной для вычислений формуле

(2)

Р_ij— вероятность, соответствующая строке с номером j и столбцу с номером j матрицы переходных вероятностей.

- безусловная вероятность, соответствующая J--му столбцу; n_ij - частота переходов для i-й строки и j-го столбца;

N - общее число состояний.

Если вычисленное значение -2lnλ превышает критическое значение χ², определяемое по специальным таблицам, то нулевую гипотезу можно отклонить и принять альтернативу, согласно которой переходы обладают марковским свойством, что позволяет полученную информацию использовать для построения искусственной стратиграфической последовательности.

Для определения табличного значения χ² необходимо знать число степеней свободы ν и уровень значимости α. В данной работе число степеней свободы равно

ν = (N-1)² = (3-1)² =4

при условии, что число рассматриваемых типов пород остается неизменным.

Вероятности переходов, полученные в результате преобразования частот залегания пород, можно использовать для построения искусственной стратиграфической последовательности.

Третий этап. На этом этапе с помощью метода Монте-Карло проводится имитация геологического разреза.

В данном алгоритме матрица переходных вероятностей представленна в кумулятивной форме.

Здесь 0.97- 0.74+ 0.23, 1.00 = 0.74 + 0.23+ 0.03 и т.д.

Исходное состояние разыгрывается с использованием безусловных вероятностей..

С помощью выборочной кумулятивной матрицы вероятностей переходов генерируются последующие состояния. Чтобы выбрать состояние в момент времени t, используется строка матрицы, соответствующая состоянию, выбранному в момент t-1. Выбор производится с помощью генерации псевдослучайных чисел Z в интервале [О,1]. Затем Z последовательно сравнивается с каждым элементом строки кумулятивной матрицы. Сравнение продолжается до тех пор, пока очередное число не будет равно или превысит Z.

После этих операций получается последовательность заданного объема, значения которой меняются от I до N. Это слои стратиграфической последовательности.

Учитывая естественный порядок образования пород, полученный разрез должен быть представлен в обратной последовательности.

Возможно увеличить число рассматриваемых литологических типов пород. Если необходимо рассмотрение большего числа пород, то необходимо увеличить размерность матрицы частот, матрицы переходных вероятностей, кумулятивной матрицы до нужного нам числа N.

ЭТАПЫ ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ

1. Вычислить матрицу переходных вариантов. Ввод исходных данных (в соответствии с таблицей вариантов).

2. Произвести сравнение вычисленного критерия с критическим значением χ². Проанализировать полученный результат.

В случае подтверждения нулевой гипотезы оценить, при каком значении α последовательность залегания пород является зависимой. Полученное значение может служить обоснованием использования дополнительной исходной информации.

4. Получить искусственную стратиграфическую последовательность заданного объема.

5. Проанализировать подученные результаты и подготовит отчет.