Метод лемера и сдвиг бернулли. Детерминированный хаос

Первоначально слово хаос означало бесконечное пространство, существующее до появления всего остального. Позднее римляне интерпретировали хаос как изначальную сырую бесформенную массу, в которую Создатель привнес порядок и гармонию.

В современном понимании хаос означает состояние беспорядка и нерегулярности. Будем рассматривать физические системы, поведение которых во времени детерминированно, т.е. существует правило в виде дифференциальных или разностных уравнений, определяющее их будущее исходя из заданных начальных условий.

Всегда казалось, что детерминированное движение достаточно регулярно и далеко от хаотичности, поскольку последовательные состояния непрерывно развиваются одно из другого. Но еще на грани 19 и 20 веков А.Пуанкаре открыл, что в некоторых механических системах, эволюция которых определяется уравнениями Гамильтона, может появляться хаотическое движение. Все это воспринималось как курьез, пока в 1963 г. метеоролог Е.Н.Лоренц не обнаружил, что простая система из трех связанных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка может привести к совершенно хаотическим траекториям.

Под детерминированным хаосом подразумевается нерегулярное или хаотическое движение, порожденное нелинейными системами, для которых динамические законы однозначно определяют эволюцию состояния системы во времени при известной предыстории.

Нелинейность – необходимое, но не достаточное условие для возникновения хаотического движения.

Хаос возникает не из-за внешних источников шума, не из-за бесконечного числа степеней свободы. Настоящая первопричина – свойство нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в ограниченной области фазового пространства. Практически невозможно предсказать длительное поведение таких систем, поскольку реально начальные условия можно задать лишь с конечной точностью, а ошибки экспоненциально нарастают.

Если пытаться решить такую нелинейную систему на ЭВМ, результат на все более дальних временах зависит от все большего количества цифр в числах, представляющих начальные условия. Так как цифры в иррациональных числах распределены нерегулярно, траектория становится хаотической.

Рациональные числа – это положительные, отрицательные, 0, целые, дробные. Всякое рациональное число можно представить в виде m/n, где m и n – целые числа. Иррациональные числа так представить нельзя.

π, е – иррациональные (трансцендентные) числа.

Естественно возникают фундаментальные вопросы:

1. Можно ли по виду соответствующих дифференциальных уравнений предсказать наличие в системе детерминированного хаоса?

2. Можно ли более строго с точки математики определить понятие хаотического движения?

3. Означает ли существование детерминированного хаоса конец долговременно предсказуемости.

СДВИГ БЕРНУЛЛИ.МЕТОД ЛЕМЕРА.

Рассмотрим одномерное отображение:

 

Это кусочно-линейное отображение, в котором наблюдается детерминированный хаос. При начальном значении х₀ это отображение порождает последовательность итераций х₀, х₁=σ(х₀), х₂=σ(х₁)…
Рассмотрим пример:

Умножение на 2 означает в двоичной системе сдвиг влево. Запишем двоичное представление х₀:

 

 

При:

 

 

 

Тогда графическое представление преобразования σ(х) = 2х mod1:

Первая итерация :

 

 

Действие σ на двоичное представление х сводится к удалению первого знака после запятой и сдвигу оставшейся последовательности влево – это сдвиг Бернулли.

 

СВОЙСТВА СДВИГА БЕРНУЛЛИ.

1. Чувствительная зависимость итерации σ от начальных условий. Даже если две точки x и x^/ отличаются друг от друга лишь в (n+1) знаке a_n+1, то под действием функции σ это различие увеличивается и их n -ые итерации σⁿ(x) и σⁿ(x^/) будут отличаться уже в первом шаге.

2. У последовательности итераций σⁿ(х₀) сдвига Бернулли те же статические свойства, что и у последовательности подбрасывания монеты.

 

Зависимость порождается значением первой цифры после запятой, т.е. для σⁿ(x₀) это a_n+1.
Последовательность RLLRL изоморфна двоичному разложению х₀

х₀ = (0,10010…),
RLLRL
поэтому реализация некоторой последовательности при подбрасывании монеты эквивалентна выбору специального значения х₀.
3. Появление эргодичности.
Любую точку х можно с произвольной степенью точности ε = 2^-n аппроксимировать конечной последовательностью знаков 0, а₁а₂…а_n. А образы σ^r(х₀) (r = 1, 2…) произвольного иррационального числа х₀ [0,1] подходят к х на расстоянии не более ε бесконечное число раз. Т.е. образы ε^r – среднее по ансамблю, а х – среднее по времени.

 

ХАРАКТЕРИСТИКИ ХАОТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
а) показатель Ляпунова
б) инвариантная мера
в) корреляционная функция