Основы математической теории активных систем

Присутствие человека приводит к определенной активности системы. Активным называется элемент, имеющий собственные цели (интересы), способный искажать информацию и работать с разной эффективностью, в соответствии со своими интересами. ГЛАВНАЯ ЗАДАЧА, решаемая в теории активных систем – построение эффективных организационных механизмов (законов стимулирования, процедур планирования и др.)

ЗАДАЧИ ПРОИЗВОДСТВА ПРОДУКЦИИ. Описание модели:

Система состоит из планирующего органа – Центра и “n” предприятий -

производителей однородной продукции – элементов.

Исследуется функционирование системы в дискретные периоды (месяц, квартал, год)

Задача центра – назначить план каждому предприятию при условии, чтобы суммарный выпуск продукции был равен заданному количеству R (плановое задание для системы в целом), а суммарные затраты на производство продукции были минимальными.

xi - план «i»-го предприятия

zi - затраты «i»-го предприятия на выпуск продукции в количестве xi.

При заданном плане xi существует минимальная величина Зi(xi) затрат. Реальные затраты могут быть значительно выше этой величины (причины – плохая организация производства, отсутствие заинтересованности предприятия к снижению затрат). Так как затраты растут с ростом плана, то Зi(xi) – неубывающая функция xi. Для упрощения примем
ri – коэффициент эффективности производства.

Задача центра - минимизировать затраты при выполнении планового задания

 

Задача предприятия
Интересы предприятия определяются целым рядом факторов (материальных, престижных и др.).
fi = λxi – zi, fi - прибыль предприятия, λ – цена единицы продукции

а) Если бы центр знал коэффициент эффективности {ri} всех предприятий, то задача оптимального управления системой решается методом множителей Лагранжа.

 

 

Формируем функцию:

μ – множитель Лагранжа. Дифференцируя по xi, получаем xi = μri:

μ определяем из ∑ xi = R, т.е.

оптимальный план:

В этом случае центру достаточно назначить каждому “i” предприятию соответствующий план xi и обеспечить контроль за его выполнением. А предприятие заинтересовано реализовать план с минимальными затратами (fi = λxi – zi, т.к. λ и xi – фиксированы, тогда прибыль ↑).

 

 

Затраты на выпуск всей продукции будут при этом также минимальны

б) Проблемы возникают в том случае, если центр имеет ограниченную информацию о коэффициенте эффективности предприятий. Центру известны только границы возможных значений ri. Как центру принимать решение в этих условиях неопределенности?

Пусть λ = сonst. Для предприятия:

 

т.е. прибыль предприятия зависит от оценок, сообщенных другими предприятиями. Игра «n» лиц с функциями выигрыша ρi(s), si – стратегия i-го игрока, [d,D] –множество возможных стратегий, S = {si}. Решение игры – ситуация равновесия в смысле Нэша, т.е.

 

 

т.е. отдельному предприятию невыгодно менять стратегию, если остальные предприятия придерживаются прежних стратегий. План, выгодный предприятию:

 

max (2-я производн. стр.)

 

А со стороны центра xi = siR/s

Если xi(s*) < vi, то выгодная для предприятия оценка своих возможностей si*= D, т.к. xi(s) – возрастающая функция si. Если xi(s*)> vi, то si* = d. Если d<si*<D, то обязательно xi*=xi(s*)=vi. Нестрого, но видно, что при ∑vi>R и ∑vi<R решение при s*=D и s*=d - это x*=R/n.