Понятие детерминированного хаоса и показатель Ляпунова.

хаос означает состояние беспорядка и нерегулярности.

Будем рассматривать физические системы, поведение которых во времени детерминированно, т.е. существует правило в виде дифференциальных или разностных уравнений, определяющее их будущее исходя из заданных начальных условий.

Под детерминированным хаосом подразумевается нерегулярное или хаотическое движение, порожденное нелинейными системами, для которых динамические законы однозначно определяют эволюцию состояния системы во времени при известной предыстории.
Нелинейность – необходимое, но не достаточное условие для возникновения хаотического движения.

Настоящая первопричина – свойство нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в ограниченной области фазового пространства. Практически невозможно предсказать длительное поведение таких систем, поскольку реально начальные условия можно задать лишь с конечной точностью, а ошибки экспоненциально нарастают.
Если пытаться решить такую нелинейную систему на ЭВМ, результат на все более дальних временах зависит от все большего количества цифр в числах, представляющих начальные условия. Так как цифры в иррациональных числах распределены нерегулярно, траектория становится хаотической.

Рациональные числа – это положительные, отрицательные, 0, целые, дробные. Всякое рациональное число можно представить в виде m/n, где m и n – целые числа. Иррациональные числа так представить нельзя.
π, е – иррациональные (трансцендентные) числа.

Показатель Ляпунова
для оценки хаотического движения.

Под действием отображения соседние точки могут разбегаться, что ведет к хаотическому движению

- показатель Ляпунова, характеризующий степень экспоненциального разбегания.

Cогласно определению показателя Ляпунова найдем λ(х0)

 

В пределе при ε→0 и N→∞

 

Отсюда следует, что
- коэффициент растяжения: он указывает во сколько раз в среднем увеличится за одну итерацию расстояние между очень близкими точками.

λ(х0) – показатель Ляпунова определяет среднюю потерю информации о положении точки в [0,1] за одну итерацию.

Термин «средняя потеря информации» появляется в связи с тем, что показатель Ляпунова характеризует хаотическое движение, т.е. отсутствие порядка, а информация непосредственно вычисляется на основе расчета энтропии.
Чтобы показать это, воспользуемся формулой для производной сложной функции (цепное правило)

 

и запишем показатель Ляпунова в виде

 

Оценим потерю информации за одну итерацию.
Для этого вначале:
а). оценим информацию, которую получаем, узнав какой из интервалов содержит x0
б). потом сделав отображение, оценим потерю в результате отображения.

а) Разобьем интервал [0,1] на n равных подинтервалов и предположим, что х0 может содержаться в каждом из них с вероятностью 1/n.
Узнав какой из подинтервалов содержит х0 имеем информацию

 

Если длина интервала ↑, то n↓, I0 ↓.

б) Линейное отображение f(x) изменяет длину интервала в a = │f /(0)│
Тогда в результате отображения имеем следующую потерю информации

 

Обобщение этого выражения, когда │f / (x)│ зависит от х, после усреднения по итерациям приводит к формуле для средней потери информации:

 

Теперь сравним полученное выражение с формулой

 

Тогда

Это соотношение между показателем Ляпунова и потерей информации является характеристикой хаоса.