Модели и моделирование. Классификация моделей.

Модели и моделирование. Классификация моделей.

Математи́ческая моде́ль — это математическое представление реальности.

Модель – некоторое формальное приближение к данной ситуации.

Математические модели опираясь на достижения современной математики, он обеспечивают решение многих практических задач. Недостатки связаны со сложностью моделирования сложного математического аппарата.

Не позволяет исследовать сложные, в основном, организационные системы. Связано это с тем, что названные системы настолько разнообразны и разнородны по возможностям описания.

Математическое моделирование можно разделить на аналитическое, имитационное, комбинированное.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических и т.п.) или логических условий.

Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование при анализе и синтезе систем позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования

Формальная классификация моделей

Основывается на классификации используемых математических средств

Линейные или нелинейные модели;

Сосредоточенные или распределённые системы;

Детерминированные или стохастические;

Статические или динамические;

Дискретные или непрерывные.

Виды мат.моделей

Гипотетическая (такое могло бы быть)

Эти модели «представляют собой пробное описание явления, причем автор либо верит в его возможность, либо считает даже его истинным»

Феноменологическая модель (ведем себя так, как если бы)

Имеют статус вре́менных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов».

Приближения (что-то считаем очень большим или очень малым)

Уравнения заменяются линейными

Упрощение (опустим для ясности некоторые детали)

Аналогия (учтём только некоторые особенности)

Мысленный эксперимент (главное состоит в опровержении возможности)

Демонстрация возможности (главное — показать внутреннюю непротиворечивость возможности)

Чтобы охарактеризовать модель, необходимо след. Условие:

1. Величины, кот.в процессе моделирования могут принимать определённое значения. Х1,Х2,…..Хn

2.Область допустимых значений переменных (Д)

3.Постоянные величины модели(L)

4.Закон по кот. Переменные постоянные модели связаны в единственное выражение.

 

Понятие операционного исследования

Впервые математические модели были использованы для решения практической задачи в 30-х годах в Великобритании при создании системы противовоздушной обороны. Для разработки данной системы были привлечены ученые различных специальностей. Система создавалась в условиях неопределенности относительно возможных действий противника, поэтому исследования проводились на адекватных математических моделях. В это время впервые был применен термин: «операционное исследование», подразумевающий исследования военной операции. В последующие годы операционные исследования или исследования операций развиваются как наука, результаты которой применяются для выбора оптимальных решений при управлении реальными процессами и системами.

Решения человек принимал всегда и во всех сферах своей деятельности. Раньше хотели, чтобы принимаемые решения всегда были правильными. Теперь принято говорить, что решения должны быть оптимальными. Чем сложнее объект управления, тем труднее принять решение, и, следовательно, тем легче допустить ошибку. Вопросам принятия решений на основе применения ЭВМ и математических моделей посвящена новая наука «Исследование операций, приобретающая в последние годы все более обширное поле приложений. Эта наука сравнительно молодая, ее границы и содержание нельзя считать четко определенными.

Под термином «исследование операций»

мы будем понимать применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

Выбор задачи - важнейший вопрос. Какие основные требования должна удовлетворять задача? Таких требований два:

должно существовать, как минимум, два варианта ее решения (ведь если вариант один, значит и выбирать не из чего);

надо четко знать в каком смысле искомое решение должно быть наилучшим (кто не знает, куда ему плыть - тому нет и попутного ветра).

Выбор задачи завершается ее содержательной постановкой. Когда производится содержательная постановка задачи, к ней привлекаются специалисты в предметной области. Они прекрасно знают свой конкретный предмет, но не всегда представляют, что требуется для формализации задачи и представления ее в виде математической модели.

Можно выделить следующие основные этапы операционного исследования:

наблюдение явления и сбор исходных данных;

постановка задачи;

Â

построение математической модели;

Ã

расчет модели;

Ä

тестирование модели и анализ выходных данных. Если полученные результаты не удовлетворяют исследователя, то следует либо вернуться на этап 3, т.e. предложить для решения задачи другую математическую модель; либо вернуться на этап 2, т.e. поставить задачу более корректно;

Å

применение результатов исследований.

Таким образом, операционное исследование является итерационным процессом, каждый следующий шаг которого приближает исследователя к решению стоящей перед ним проблемы. В центре операционного исследования находятся построение и расчет математической модели.

Математическая модель

- это система математических соотношений, приближенно, в абстрактной форме описывающих изучаемый процесс или систему.

Экономико-математическая модель - это математическая модель, предназначенная для исследования экономической проблемы.

Проведение операционного исследования, построение и расчет математической модели позволяют проанализировать ситуацию и выбрать оптимальные решения по управлению ею или обосновать предложенные решения. Применение математических моделей необходимо в тех случаях, когда проблема сложна, зависит от большого числа факторов, по-разному влияющих на ее решение.

Использование математических моделей позволяет осуществить предварительный выбор оптимальных или близких к ним вариантов решений по определенным критериям. Они научно обоснованы, и лицо, принимающее решение, может руководствоваться ими при выборе окончательного решения. Следует понимать, что не существует решений, оптимальных «вообще». Любое решение, полученное при расчете математической модели, оптимально по одному или нескольким критериям, предложенным постановщиком задачи и исследователем.

В настоящее время математические модели применяются для анализа, прогнозирования и выбора оптимальных решений в различных областях экономики. Это планирование и оперативное управление производством, управление трудовыми ресурсами, управление запасами, распределение ресурсов, планировка и размещение объектов, руководство проектом, распределение инвестиций и т.п.

 

Транспортная задача

(задача Монжа — Канторовича) — математическая задача линейного программирования специального вида о поиске оптимального распределения однородных объектов из аккумулятора к приемникам с минимизацией затрат на перемещение.^[1][2] Для простоты понимания рассматривается как задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления в пункты потребления, с минимальными затратами на перевозки. Транспортная задача по теории сложности вычислений входит в класс сложности P. Когда суммарный объём предложений (грузов, имеющихся в пунктах отправления) не равен общему объёму спроса на товары (грузы), запрашиваемые пунктами потребления, транспортная задача называется несбалансированной (открытой).

 

Геометрический метод реше

 

Теоремы двойственности.

Метод северо-западного угла

Пусть условия транспортной задачи заданы таблице 2.3.
Не учитывая стоимости перевозки единицы груза, начинаем удовлетворение потребностей первого потребителя B1 за счет запаса поставщика А₁. Для этого сравниваем a₁ = 100 с b_i = 200, a₁< b₁ меньший из объемов, т. е. = 100 ед. записываем в левый нижний угол клетки А₁B₁. Запасы первого поставщика полностью израсходованы, по этому остальные клетки первой строки прочеркиваем. Потребности В остались неудовлетворенными на 200–100=100 ед. Сравниваем этот остаток с запасами поставщика А₂: так как 100<250, то 100 ед. записываем в клетку А₂ .B₁, чем полностью удовлетворяем потребности потребителя B₁, а оставшиеся клетки в первом столбце прочеркиваем.

Пример 2.6.1

Метод минимальной стоимости

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел a_i, или b_j . Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.
Составим с помощью этого метода опорный план уже рассмотренной задачи. Запишем ее условие в таблицу (табл. 2.5). Выбираем в таблице наименьшую стоимость (это стоимость, помещенная в клетке A₁, B₄ ) так как A₁ = b₄, 100 ед. груза помещаем в этой клетке и исключаем из рассмотрения первую строку и четвертый столбец. В оставшейся таблице стоимостей наименьшей является стоимость, расположенная в клетке A₂ , B₁ и в клетке A₃ , B₅. Заполняем любую из них, например A₂ , B₁. Имеем 200 < 250, следовательно, записываем в нее 200 и исключаем из рассмотрения столбец B₁. В клетку A₃ , B₅ записываем 200 ед. и исключаем из рассмотрения строку A₃ . В оставшейся таблице стоимостей снова выбираем наименьшую стоимость и продолжаем процесс до тех пор, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены. В результате получен план
X = (X₁₄ = 100; X₂₁ = 200; X₂₂ = 50; X₃₅= 200, X₄₂ = 150; X₄₃ = 100; X₄₅ = 50),
остальные значения переменных равны нулю.

Метод аппроксимации Фогеля

Данный метод состоит в следующем:

1. на каждой итерации находят разности между двумя наименьшими тарифами во всех строках и столбцах, записывая их в дополнительные столбец и строку таблицы;

2. находят max Δc_ij и заполняют клетку с минимальной стоимостью в строке (столбце), которой соответствует данная разность.

Процесс продолжается до тех пор, пока все грузы не будут развезены по потребителям. Данный метод в ряде задач приводит к оптимальному плану. Решим этим методом задачу из примера 2.6.1 (см. табл.2.7).

 

Метод двойного предпочтения

Если таблица стоимостей велика, то перебор всех элементов затруднителен. В этом случае используют метод двойного предпочтения, суть которого заключается в следующем.
В каждом столбце отмечают знаком V клетку с наименьшей стоимостью. Затем то же проделывают в каждой строке. В результате некоторые клетки имеют отметку VV. В них находится минимальная стоимость, как по столбцу, так и по строке. В эти клетки помещают максимально возможные объемы перевозок, каждый раз исключая из рассмотрения соответствующие столбцы или строки. Затем распределяют перевозки по ячейкам, отмеченным знаком V. В оставшейся части таблицы перевозки распределяют по наименьшей стоимости.

 

 

Метод потенциалов.

Метод множителей Лагранжа.

Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y) (параметр λ называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂F∂x=0;∂F∂y=0;φ(x,y)=0.

Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак d2F=F′′xxdx2+2F′′xydxdy+F′′yydy2. Если в стационарной точке d2F>0, то функция z=f(x,y) имеет в данной точке условный минимум, если же d2F<0, то условный максимум.

Есть и другой способ для определения характера экстремума. Из уравнения связи получаем: φ′xdx+φ′ydy=0, dy=−φ′xφ′ydx, поэтому в любой стационарной точке имеем:

d2F=F′′xxdx2+2F′′xydxdy+F′′yydy2=F′′xxdx2+2F′′xydx(−φ′xφ′ydx)+F′′yy(−φ′xφ′ydx)2==−dx2(φ′y)2⋅(−(φ′y)2F′′xx+2φ′xφ′yF′′xy−(φ′x)2F′′yy)

Второй сомножитель (расположенный в скобке) можно представить в такой форме:

Красным цветом выделены элементы определителя ∣∣∣∣F′′xxF′′xyF′′xyF′′yy∣∣∣∣, который является гессианом функции Лагранжа. Если H>0, то d2F<0, что указывает на условный максимум. Аналогично, при H<0 имеем d2F>0, т.е. имеем условный минимум функции z=f(x,y).

Примечание относительно формы записи определителя H :показать\скрыть

Сведение игры к ЗЛП.

 

Лекция 13. Сведение игры к ЗЛП.

Модели и моделирование. Классификация моделей.

Математи́ческая моде́ль — это математическое представление реальности.

Модель – некоторое формальное приближение к данной ситуации.

Математические модели опираясь на достижения современной математики, он обеспечивают решение многих практических задач. Недостатки связаны со сложностью моделирования сложного математического аппарата.

Не позволяет исследовать сложные, в основном, организационные системы. Связано это с тем, что названные системы настолько разнообразны и разнородны по возможностям описания.

Математическое моделирование можно разделить на аналитическое, имитационное, комбинированное.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических и т.п.) или логических условий.

Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование при анализе и синтезе систем позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования