Постановка задачи линейного программирования. Целевая функция и Ограничения в модели линейного программирования.

Различают три основные формы задач линейного программирования, в зависимости от наличия ограничений разного типа.

· Стандартная задача ЛП. Вектор называется вектором коэффициентов линейной формы или вектором ограничений. Стандартная задача важна ввиду наличия большого числа прикладных моделей, сводящихся наиболее естественным образом к этому классу задач ЛП.

· Каноническая задача ЛП. Основные вычислительные схемы решения задач ЛП разработаны именно для канонической задачи.

· Общая задача ЛП. В этой задачи часть ограничений носит характер неравенств, а часть является уравнениями. Кроме того, не на все переменные наложено условие неотрицательности.

Все три перечисленные задачи эквивалентны в том смысле, что каждую из них можно простыми преобразованиями привести к любой из двух остальных.

 

Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений в виде линейных уравнений или линейных неравенств относятся к задачам линейного программирования.

Линейное программирование - наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования. Это объясняется следующим:

· математические модели очень большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;

· эти типы задач в настоящее время наиболее изучены;

· для них разработаны специальные конечные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие стандартные программы для их решения на ЭВМ;

· многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли уже сейчас широкое практическое применение в народном хозяйстве;

· некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

Итак, Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием.

К математическим задачам линейного программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.

Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк. Это, например:

· задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;

· задача о смесях (планирование состава продукции);

· задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или "задача о рюкзаке");

· транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).

Необходимым условием постановки задачи линейного программирования являются ограничения на наличие ресурсов, величину спроса, производственную мощность предприятия и другие производственные факторы.

Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек наибольшего или наименьшего значения некоторой функции при определенном наборе ограничений, налагаемых на аргументы и образующих систему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное множество решений. Каждая совокупность значений переменных (аргументов функции F), которые удовлетворяют системе ограничений, называется допустимым планом задачи линейного программирования. Функция F, максимум или минимум которой определяется, называется целевой функцией задачи. Допустимый план, на котором достигается максимум или минимум функции F, называется оптимальным планом задачи.

Система ограничений, определяющая множество планов, диктуется условиями производства. Задачей линейного программирования (ЗЛП) является выбор из множества допустимых планов наиболее выгодного (оптимального).

В общей постановке задача линейного программирования выглядит следующим образом:

Имеются какие-то переменные х = (х₁, х₂, … х_n) и функция этих переменных f(x) = f (х₁, х₂, … х_n), которая носит название целевой функции. Ставится задача: найти экстремум (максимум или минимум) целевой функции f(x) при условии, что переменные x принадлежат некоторой области G:

В зависимости от вида функции f(x) и области G и различают разделы математического программирования: квадратичное программирование, выпуклое программирование, целочисленное программирование и т.д. Линейное программирование характеризуется тем, что
а) функция f(x) является линейной функцией переменных х₁, х₂, … х_n
б) область G определяется системой линейных равенств или неравенств.

Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя:

· максимум или минимум целевой функции (критерий оптимальности);

· систему ограничений в форме линейных уравнений и неравенств;

· требование неотрицательности переменных.

 

В общем виде модель записывается следующим образом:

· целевая функция:

= c1x1 + c2x2 +... + cnxn → max(min);

(2.1

· ограничения:

a11x1 + a12x2 +... + a1nxn {≤ = ≥} b1, a21x1 + a22x2 +... + a2nxn {≤ = ≥} b2, ... am1x1 + am2x2 +... + amnxn {≤ = ≥} bm;

(2.2

· требование неотрицательности:

xj ≥ 0,

(2.

При этом a_ij, b_i, c_j ( ) - заданные постоянные величины.

 

Тема 3. Графическое решение задачи линейного программирования

Графический способ решения задач линейного программирования целесообразно использовать:

Для задач с двумя (3-мя) переменными, когда ограничения выражены неравенствами;

Решения задач со многими переменными, при условии, что в их канонической записи содержится более 2-х свободных переменных.