Задача об оптимальном составлении рациона.

Задан ассортимент различных продуктов (кормов), которые используются для создания пищевых добавок (или смесей для откорма животных). Каждый продукт содержит определенное количество разных питательных веществ (витаминов и калорий). Известен требуемый человеку (животному) минимум питательных веществ каждого вида. Необходимо определить оптимальный рацион, содержащий все необходимые питательные вещества и имеющую минимальную стоимость. Составление математической модели.

1) Целью является минимизация стоимости составленного рациона (или составленной смеси)

2) Параметры задачи:

п – число различных продуктов;

m – число различных питательных веществ;

a_ij – содержание i -го питательного вещества в j-м продукте,

b_t – количество i- го необходимого питательного вещества

c_j – стоимость единицы j -го продукта,

3) Управляющие переменные x_j, – это количество j-го продукта, входящего в рацион (смесь),

4) Область допустимых решений определяется системой неравенств, содержащей условия по необходимому уровню потребления каждого питательного вещества во всех продуктах и условия неотрицательности управляющих переменных:

5) Критерий оптимальности С имеет вид

Пример задачи такого класса:

Фармацевтическая фирма ежедневно производит не менее 800 кг некой пищевой добавки, которая состоит из смеси кукурузной и соевой муки, состав которой представлен в следующей таблице.

Мука	Белок	Клетчатка	Стоимость (в $ за фунт)
(в фунтах на фунт муки)
Кукурузная	0,09	0,02	0,30
Соевая	0,60	0,06	0,90

Диетологи требуют, чтобы в пищевой добавке было не менее 30% белка и не более 5% клетчатки. Фирма хочет определить рецептуру смеси наименьшей стоимости с учетом требований диетологов.

Поскольку пищевая добавка состоит только из кукурузной и соевой муки, переменными для этой задачи, очевидно, будут x₁ — количество (в кг) кукурузной муки, используемой в дневном производстве пищевой добавки; х₂ — количество (в кг) соевой муки, используемой в дневном производстве пищевой добавки.

Целевая функция равна обшей стоимости пищевой добавки, производимой за один день, и должна быть минимальной. В данном случае это можно записать следующим образом:

Целевая функция: Z = 0,3 x₁+ 0,9x₂ → min

Ограничения модели должны отражать производственные требования и рекомендации диетологов. Фирма должна выпускать не менее 800 кг смеси в день. Соответствующее ограничение будет записано следующим образом: x₁+ x₂ ≥ 800.

Рассмотрим ограничение, связанное с количеством белка в пищевой добавке. Общее количество белка в смеси, состоящей из х₁ кг кукурузной муки и х₂ кг соевой муки, равно 0.09x₁ + 0.6х₂ (кг). Это количество должно составлять не менее 30% от общего объема смеси х₁ + х₂. Отсюда получаем следующее неравенство:

0.09х₁ + 0.6x₂ ≥ 0.3(x₁ + х₂).

Аналогично строится ограничение для клетчатки:

0.02x₁ + 0.06х₂ ≤ 0.05(х₁ + х₂).

В последних двух неравенствах переменные x₁ и х₂ надо перенести из правых частей неравенств в левые. Окончательно модель примет следующий вид:

 

Минимизировать Z = 0.3x₁ + 0.9x₂ при ограничениях

x₁ + x₂ ≥ 800,
0.21х₁ - 0.3x₂ ≤ 0,
0.03x₁ - 0.01x₂ ≥ 0,
x₁, x₂ ≥ 0.

На рис. 1 показано графическое решение этой задачи.

Рис. 1. Графическое решение задачи минимизации

Поскольку в данной модели следует минимизировать целевую функцию, поэтому нужно идти в направлении уменьшения ее значений (это направление на рис. 1 показано стрелкой). Оптимальное решение находится на пересечении прямых x₁ + х₂ = 800 и 0.21x₁ - 0.30x₂ = 0, откуда получаем х₁ = 470.59 (кг) и х₂ = 329.41 (кг). При этих значениях переменных минимальная стоимость производимой ежедневно пищевой добавки составляет z = 0.3 * 470.59 + 0.9 * 329.41 = 437.65.

 

Тема 4. Графический анализ чувствительности

Модель линейного программирования является как бы "моментальным снимком" реальной ситуации, когда параметры модели (коэффициенты целевой функции и неравенств ограничений) предполагаются неизменными. Естественным стремлением является изучить влияние изменения параметров модели на полученное оптимальное решение задачи ЛП. Такое исследование называется анализом чувствительности.

Анализ моделей на чувствительность — это процесс, реализуемый после получения оптимального решения. В рамках такого анализа выявляется чувствительность оптимального решения к определенным изменениям исходной модели.

Например, в задаче об ассортименте продукции может представлять интерес вопрос о том, как повлияет на оптимальное решение увеличение и уменьшение спроса на продукцию или запасов исходного сырья. Возможно, также потребуется анализ влияния рыночных цен на оптимальное решение.

При таком анализе всегда рассматривается комплекс линейных оптимизационных моделей. Это придает модели определенную динамичность, позволяющую исследователю проанализировать влияние возможных изменений исходных условий на полученное ранее оптимальное решение. Динамические характеристики моделей фактически отображают аналогичные характеристики, свойственные реальным процессам. Отсутствие методов, позволяющих выявлять влияние возможных изменений параметров модели на оптимальное решение, может привести к тому, что полученное (статическое) решение устареет еще до своей реализации.

Анализ чувствительности может основываться на графическом решении задачи ЛП. Рассмотрим два случая:

· изменение коэффициентов целевой функции;

· изменение значений констант в правой части неравенств ограничений.