Понятия «модель», «закон», «аксиома» и «постулат»

 

Модель (лат. modus — мера, франц. modele — образец) — искусственно созданный объект в виде схемы, чертежа, логико-математических знаковых формул, физической конструкции и т. п., который, «будучи аналогичен (подобен, сходен) исследуемому объекту (плотине, кораблю, самолету, ракете, космической станции и т. п.). Модель отображает и воспроизводит в более простом, уменьшенном виде структуру, свойства, взаимосвязи и отношения между элементами исследуемого объекта, непосредственное изучение которого связано с какими-либо трудностями, большими затратами средств и энергии или просто недоступно. Тем самым модель облегчает процесс получения информации об интересующем нас предмете. Исследуемый объект, по отношению к которому изготавливается модель, называется оригиналом, образцом, прототипом [12].

Таким образом модель является аналогом для хранения и расширения знания (информации) об оригинале, конструирования оригинала, преобразования и управления им. С гносеологической точки зрения модель — это «представитель», «заместитель» оригинала в познании и практике. Результаты разработки и исследования модели при определённых условиях, выясняемых в логике и методологии и специфических для различных областей и типов моделей, распространяются на оригинал. С логической точки зрения подобное распространение основано на отношениях изоморфизма и гомоморфизма, существующих между моделью и тем, что с её помощью моделируется.

Напомним, что изоморфизм и гомоморфизм – это логико-математические понятия, выражающие одинаковость (изоморфизм; от греч. isos - одинаковый, равный, подобный и morphe – вид, форма) либо уподобление (гомоморфизм; от греч. homos – один и тот же, равный) строение (структуры) систем (множеств, процессов, конструкций. Системы А и А’ называются изоморфными (или находящимися в отношении изоморфизма), если между их элементами, также функциями (операциями), свойствами и отношениями, осмысленными для этих систем, существует или может быть установлено взаимно-однозначное соответствие [44].

В настоящее время в науке при оперирования термином «модель» сложилась следующая ситуация. В таких науках, как физика, космология, математическая лингвистика, математическая экономика, кибернетика, под термином «модель» понимаются системы математических утверждений (аксиом, уравнений), служащие для описания некоторой области реальных либо абстрактных объектов. В то же самое время как в логике и математике термин «модель» имеет иной смысл. Под моделью здесь понимается интерпретация систем логико-математических положений. Изучение таких интерпретаций производится в логической семантике, а также в теории моделей математической логики, где под «моделью» понимают произвольное множество элементов с определёнными на нём функциями и предикатами. Однако независимо от того, какой член отношения аналог — оригинал рассматривается в качестве модели, последняя всегда выполняет познавательную роль, выступая средством объяснения, предсказания и эвристики. В теории систем под моделью системы понимается описание систем, отображающее определенную группу её свойств [32].

Классификация моделей. С развитием математической логики, кибернетики и теории систем укрепилась следующая классификация моделей (рис. 4.2.) [32,39].

В основе моделирования лежит теория подобия, которая утверждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же. При моделировании абсолютное подобие не имеет места и стремятся к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта.

 

 

Рис. 4.2. Виды моделей систем

 

По степени полноты модели они делятся на полные, неполные и приближенные. Полные модели идентичны объекту во времени и пространстве. Для неполных моделей эта идентичность не сохраняется. В основе приближённых моделей лежит подобие, при котором некоторые стороны функционирования реального объекта не моделируются совсем.

В зависимости от характера изучаемых процессов в системе модели подразделяются на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные. Детерминированные модели отображают процессы, в которых предполагается отсутствие случайных воздействий. Стохастические модели учитывают вероятностные процессы и события. Статистические модели служат для описания поведения объекта в фиксированный момент времени, а динамические – для исследования объекта во времени. Дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные модели используются для описания процессов, имеющих изменение во времени. При этом оперируют аналоговыми, цифровыми, аналого-цифровыми моделями.

В зависимости от формы представления объекта модели классифицируются на мысленные и реальные. Мысленное моделирование применяется тогда, когда модели не реализуемы в заданном интервале времени либо отсутствуют условия для их физического создания (например, ситуации в микромире)

Мысленное моделирование реализуется в виде наглядного, символического и математического. Создаются наглядные модели на базе представлений человека о реальных объектах, отображающих явления и процессы, протекающие в объекте. В основу гипотетических моделей закладывается гипотеза о закономерностях протекания процесса в реальном объекта, которая отражает уровень знаний исследователя об объекте и базируется на причинно-следственных связях между входом и выходом изучаемого объекта. Этот вид моделей используется, когда знаний об объекте недостаточно для построения формальных моделей. Аналоговые модели основаны на применении аналогий различных уровней. Для достаточно простых объектов наивысшим уровнем является полная аналогия. С усложнением системы используются аналогии последующих уровней, когда аналоговая модель отображает несколько либо только одну сторону функционирования объекта. Макетирование применяется, когда протекающие в реальном объекте процессы не поддаются физическому моделированию либо могут предшествовать проведении других видов моделирования. В основе построения мысленных моделей макетов также лежат аналогии, обычно базирующиеся на причинно-следственных связях между явлениями и процессами в объекте.

Символические модели представляют собой искусственный процесс создания логического объекта, который замещает реальный и выражает основные свойства его отношений с помощью определенной системы знаков и символов. В основе языкового моделирования служит некоторый тезаурус, который образуется из набора входящих понятий, причём этот набор должен быть фиксированным. Между тезаурусом и обычным словарем имеются принципиальные различия. Тезаурус – словарь, который очищен от неоднозначности, т.е. в нем каждому слову может соответствовать лишь единственное понятие, хотя в обычном словаре одному слову может соответствовать несколько понятий, т.е. знаки, а также определенные операции между этими знаками, то можно реализовать знаковое моделирование и с помощью знаков отображать набор понятий – составлять отдельные цепочки из слов и предложений. Используя операции объединения, пересечения и дополнения теории множеств, можно в отдельных символах дать описание какого-то реального объекта.

Математические модели – устанавливают соответствие данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью. В принципе, для исследования характеристик процесса функционирования любой системы математическими методами, включая и машинные, должна быть обязательно проведена формализация этого процесса, т.е. построена математическая модель. Исследование математической модели позволяет получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования объекта, требуемой достоверности и точности решения задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект с некоторой степенью приближения. Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегродифференциальных, конечноразностных и т.д.) или логических условий. Аналитическая модель исследуется следующими методами: аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными системы; численным, когда, не умея решать уравнений в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных; качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

В настоящее время распространены методы машинной реализации исследования характеристик процесс функционирования сложных систем. Для реализации математической модели на ЭВМ необходимо построить соответствующий моделирующий алгоритм.

Имитационные модели реализуют алгоритм, который воспроизводит процесс функционирования системы во времени, причём имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы. Основным преимуществом имитационных моделей по сравнению с аналитическими является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и др., которые часто создают трудности при аналитических исследованиях. В настоящее время имитационные модели – наиболее эффективный метод исследования сложных систем, а часто и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапе ее проектирования.

Имитационные модели используют метод статистического моделирования и метод статистических испытаний (Монте-Карло). Если результаты, полученные при воспроизведении на имитационной модели, являются реализациями случайных величин и функций, тогда для нахождения характеристик процесса требуется его многократное воспроизведение с последующей обработкой информации. Поэтому целесообразно в качестве метода машинной реализации имитационной модели использовать метод статического моделирования. Первоначально был разработан метод статических испытаний, представляющий собой численный метод, который применялся для моделирования случайных величин и функций, вероятностные характеристики которых совпадали с решениями аналитических задач (такая процедура получила название Монте-Карло). Затем этот приём стали применять и для машинной имитации с целью исследования характеристик процессов функционирования систем, подверженных случайным воздействиям, т.е. появился метод статического моделирования.

Метод имитационного моделирования применяется для оценки вариантов структуры системы, эффективности различных алгоритмов управления системой, влияния изменения различных параметров системы. Имитационные модели могут быть положены в основу структурного, алгоритмического и параметрического синтеза больших систем, когда требуется создать систему с заданными характеристиками при определенных ограничениях. Система должны быть оптимальной по некотрым критериям эффективности.

Комбинированные (аналитико-имитационные) модели позволяют объединить достоинства аналитических и имитационных моделей. При построении комбинированных моделей производится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы, и для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных подпроцессов строятся имитационные модели. Такой подход позволяет охватить качественно новые классы систем, которые не могут быть исследованы с использованием аналитических и имитационных моделей в отдельности

Информационные модели (часто называемые кибернетическими) связаны с исследованиями моделей, в которых отсутствует непосредственное подобие физических процессов, происходящих в моделях, реальным процессам. В этом случае стремятся отобразить лишь некоторую функцию и рассматривают реальный объект как «чёрный ящик», имеющий ряд входов и выходов, и моделируются некоторые связи между выходами и входами. Таким образом, в основе информационных (кибернетических) моделей лежит отражение некоторых информационных процессов управления, что позволяет оценить поведение реального объекта. Для построения модели в этом случае необходимо выделить исследуемую функцию реального объекта, попытаться формализовать эту функцию в виде некоторых операторов связи между входом и выходом и воспроизвести данную функцию на имитационной модели, причем на совершенно другом математическом языке и, естественно, иной физической реализации процесса.

Структурно-системные модели базируются на некоторых специфических особенностях структур определенного вида, используя из как качество исследования систем или разрабатывая ни их основе с применением других методов формализованного представления систем (теоретико-множественных, лингвистических и т.п.) специфические подходы к моделированию.

Структурно-системные модели включают:

методы сетевого моделирования;

сочетание методов структуризации с лингвистическими (языковыми);

структурный подход в направлении формализации построения и исследования структур различного типа (иерархических, матричных, произвольных графов) на основе теоретико-множественных представлений и понятия номинальной шкалы теории измерений.

Ситуационные модели основаны на модельной теории мышления, в рамках которой можно описать основные механизмы регулирования процессов принятия решений. В основе модельной теории мышления лежит представление о формировании в структурах мозга информационной модели объекта и внешнего мира. Эта информация воспринимается человеком на базе уже имеющихся у него знаний и опыта. Целесообразное поведение человека строится путем формирования целевой ситуации и мысленного преобразования исходной ситуации в целевую. Основой построения модели является описание объекта в виде совокупности элементов, связанных между собой определенными отношениями, отображающими семантику предметной области. Модель объекта имеет многоуровневую структуру и представляет собой тот информационный контекст, на фоне которого протекают процессы управления. Чем богаче информационная модель объекта и выше возможности ее манипулирования, тем лучше и многообразнее качество принимаемых решений при управлении.

При реальном моделировании используется возможность исследования характеристик либо на реальном объекте целиком, либо на его части. Такие исследования проводятся как на объектах, работающих в нормальных режимах, так и при организации специальных режимов для оценки интересующих исследователя характеристик (при других значениях переменных и параметров, в другом масштабе времени и т.д.). Реальное моделирование является наиболее адекватным, но его возможности ограничены. Например, проведение реального моделирования АСУП требует, во-первых, наличия такой АСУ и, во – вторых, проведения экспериментов с управляемым объектом, т.е. предприятием, что в большинстве случаев невозможно.

Натурные модели используют при проведении исследования на реальном объекте с последующей обработкой результатов эксперимента на основе теории подобия. Натурный эксперимент подразделяется на научный эксперимент, комплексные испытания и производственный эксперимент. Научный эксперимент характеризуется широким использованием средств автоматизации проведения, применением весьма разнообразных средств обработки информации, возможностью вмешательства человека в процесс проведения эксперимента. В соответствии с этим появилось новое научное направление – автоматизация научного эксперимента и новая специализация в рамках специальности АСУ – АСНИ (автоматизированные системы научных исследований и комплексных испытаний). Одна из разновидностей эксперимента – комплексные испытания, когда вследствие повторения испытаний объектов в целом (или больших частей системы) выявляются общие закономерности о характеристиках качества, надежности этих объектов. В этом случае моделирование осуществляется путем обработки и обобщения сведений о группе однородных явлений. Наряду со специально организованными испытаниями возможна реализация натурного моделирования путем обобщения опыта, накопленного в ходе производственного процесса т.е. можно говорить о производственном эксперименте. Здесь на базе теории подобия обрабатывают статистический материал по производственному процессу и получают его обобщенные характеристики. Необходимо помнить про отличе эксперимента от реального протекания процесса. Оно заключается в том, что в эксперименте могут появиться отдельные критические ситуации и определиться границы устойчивости процесса. В ходе эксперимента вводятся новые факторы и возмущающие воздействия в процесс функционирования объекта.

Другим видом реальных моделей являются физические модели, отличающиеся от натурного тем, что исследование проводится на установказ, которые сохраняют природу явлений и обладают физическим подобием. В процессе физического моделирования задаются некоторые характеристики внешней среды и исследуется поведение либо реального объекта, либо его модели при заданных или создаваемых искусственно воздействиях внешней среды. Физическое моделирование может протекать в реальном и нереальном (псевдореальном) масштабах времени или рассматриваться без учёта времени. В последнем случае изучению подлежат так называемые «замороженные» процессы, фиксируемые в некоторый момент времени. Наибольшие сложности и интерес с точки зрения корректности получаемых результатов представляет физическое моделирование в реальном масштабе времени. [32,39].

Понятие «модель» существенно отличается от понятия «закон».

Закон — это

1) внутренняя и необходимая, всеобщая и существенная связь предметов и явлений объективной действительности;

2) прочное, остающееся, повторяющееся, не так часто меняющееся, идентичное в явлении;

3) одна из ступеней познания человеком единства и взаимосвязи явлений.

Идеализм отрицает объективный характер законов природы и общества и утверждающему, что человеческое сознание, или «мировой разум», будто бы диктуют законы окружающему материальному миру. В противоположность идеализму, материализм учит, что законы существуют объективно, т. е. независимо от сознания людей, что они присущи самой природе и что люди не могут по своему желанию создавать какие-то новые законы или прекращать действие тех или иных законов. Законы тем отличаются от явлений, что они отражают природу, говоря словами Ленина, «глубже, вернее полнее» [22].

Но поскольку закон выражает всеобщие и существенные отношения и связи и отвлекается от частностей и случайностей, постольку он беднее явления модели, а «явление богаче закона». Законы мышления отражают законы материального бытия. Понятие закона примыкает к понятию сущности. По И.В. Ленин: «закон и сущность понятия однородные (однопорядковые) или вернее, одностепенные, выражающие углубление познания человеком явлений, мира» [12,21].

Диалектический материализм исходит из того, что законы носят объективный характер, выражая реальные отношения вещей, а также между свойствами внутри вещи. Существуют законы функцио­нирования, выражающие существенную, необходимую связь между сосуществующими в пространстве вещами и явлениями (например, закон всемирного тяготения). Наряду и в единстве с законами функционирования существуют законы раз­вития. Так, например, общество закономерно развивается от одной общественно-экономической формации к другой.

Законы могут быть менее общими, действующими в ограниченной области и изучаемыми отдельными конкретными нау­ками (например, закон естественного отбора); более общими, изучае­мыми рядом областей знания (например., закон сохранения энергии, циркуляции информации); всеобщими, уни­версальными (законы диалектики: переход количественных изменений в качественные и др.), которые исследуются философией.

Одни законы выражают строгую количественную зависимость между явлениями и фиксируются в науке математическими формулами, другие законы не поддаются математическому выражению. Различают также вероятностные, статистические, статические и динамические закономерности.

Реализация законов зависит от соответствующих необхо­димых условий, наличие которых обеспечивает переход следствий, вытекающих из законов, из состояния возможности в действительность. В природе законы действуют как стихийная сила. Общественно-исторические законы, есть законы самой человеческой деятельности: они создаются и реализуются людьми в процессе общественной практики. Но действие общественных законов, так же, как и законов природы, объективно. В области мышления всеобщие законы изучают диалектическая логика, частные законы – формальная логика.

На основании познания законов достигается предвидение будущего, осуществляется претворение теории в прак­тику. Посредством познанных законов оказывается возмож­ным управление как природными, так и социальными процессами.

Аксиома (греч. axioma — значимое, достойное уважения, принятое, бесспорное) — истинное суждение (предложение), которое при дедуктивном построении какой-либо теории, в рамках замкнутой теории принимается без доказательства в качестве сходного положения и которое кладется в основу доказательства всех других положений этой теории. В других случаях в качестве аксиом, как правило, выставляют такие положения конструируемой теории, которые несомненно истинны, но не исключены и такие ситуации, когда избранные положения могут в пределах рассматриваемой теории считаться истинными.

Но из этого нельзя сделать вывод, что принятая в данной содержательной теории аксиома вообще введена в теорию без какого-либо первичного обоснования.

Практика показывает, что в содержательных аксиоматически построенных математических теориях обоснование аксиом осуществляется обычно за пределами этих теорий. Аксиоматически построенная формальная система оказывается правомерной и полезной, если она получает интерпретацию, т.е. содержательным подтверждением её (от лат. interpretatio – толкование, разъяснение).

Системе аксиом должны быть присущи следующие качества: непротиворечивость, а также иногда полнота и независимость.

Термин «аксиома» применялся уже Аристотелем (384—322 до н. э.) в смысле истинного предложения или начала, не нуждающегося в доказательстве в силу фактической ясности или методологической простоты. Впоследствии ясность и простота ошибочно истолковываются рядом авторов как очевидность или наглядность. Древнегреческий математик, автор знаменитых «Начал» Евклид (III в. до н. э.) исходил из того, что такие понятия, как «точка» и «прямая», по крайней мере интуитивно ясны каждому, а аксиомы, говорящие об этих геометрических терминах, являются самоочевидными истинами. Такое понимание аксиомы господствовало в течение многих веков. Только в середине XIX в. такая интерпретация этого понятия начала подвергаться критике. Неудовлетворительность такого определения аксиомы заключается в том, что требование «очевидности» носит субъективный характер, так как то, что одному кажется очевидным, для другого — очевидным не является.

Существовало также мнение, будто аксиомы являются абсолютно неизменными, навсегда законченными, непреложными и абсолютно завершенными истинами. В действительности системы аксиом изменяются, совершенствуются в процессе исторического развития познания. Это ярко подтвердило построение Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии, исходя из системы аксиом, коренным образом отличающейся от евклидовой системы аксиом. Более того, аксиоматические системы, описывающие одни и те же совокупности объектов, могут строиться по-разному. В качестве аксиом в одной системе могут приниматься одни предложения, в другой — другие.

Слово «аксиома» очень часто в языке используется и для обозначения суждения, многократно проверенного на практике [12].

Аксиоматический метод - это способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) — аксиомы, или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путём, посредством доказательств. Построение науки на основе аксиоматического метода обычно называется дедуктивным. Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений, выражающих их через ранее введённые понятия. В той или иной мере дедуктивные доказательства, характерные для аксиоматического метода, применяются во многих науках, однако главная область его приложения — математика, логика, а также некоторые разделы физики.

Идея аксиоматического метода впервые была высказана в связи с построением геометрии в Древней Греции (Пифагор, Платон, Аристотель, Евклид). Для современной стадии развития аксиоматических методов характерна выдвинутая Д. Гильбертом (1862 - 1943) концепция формального аксиоматического метода, которая ставит задачу точного описания логического средств вывода теорем из аксиом. Основная идея Д. Гильберта — полная формализация языка науки, при которой её суждения рассматриваются как последовательности знаков (формулы), приобретающие смысл лишь при некоторой конкретной интерпретации. Для вывода теорем из аксиом (и вообще одних формул из других) формулируются специальные правила вывода. Доказательство в такой теории (исчислении, или формальной системе) — это некоторая последовательность формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности по какому-либо правилу вывода. В отличие от таких формальных доказательств, свойства самой формальной системы в целом изучаются содержательными средствами метатеории. Основные требования, предъявляемые к аксиоматическим формальным системам, - непротиворечивость, полнота, независимость аксиом.

Критерием истинности аксиом в содержательных теориях является в конечном счете практическая применимость теории в целом [48].

Постулат (лат. postulatum — требуемое) — это исходное положение, утверждение, принимаемое без строгого доказательства в рамках какой-либо дедуктивно построенной теории, но веское и обоснованное. Отличие постулата от аксиом недостаточно ясно, поэтому они часто отождествляются [12].

Таковы, например, галилеевский принцип относительности и принцип постоянства скорости света в релятивистской механике. Постулаты — это нелогические (специальные) аксиомы теории; их сочетание с аксиомами и правилами логики позволяет описать (индивидуализировать) объекты универсума теории и их свойства.

Постулаты теории выступают как её основные абстракции и служат содержательным, основанием для вывода других её положений-теорем. Подобное толкование постулата согласуется с античной традицией, восходящей к «Началам» Евклида. Иногда под постулатами (или правилами преобразования) подразумевают все аксиомы, схемы аксиом, определения и правила вывода рассматриваемой формальной системы. Встречается также толкование постулатов как спорных положений, включение которых в число исходных принципов (аксиом) не приводит, однако, к противоречию. В этом смысле постулат будет, например, по отношению к другим аксиомам логики — исключённого третьего [48]