Концентрация напряжений и её влияние на прочность

Что такое, концентрация напряжений?

Рассмотрим пример. При растяжении призматического бруса, напряжения по его сечению распределяются равномерно (рис. 4.11, а). А далее рассмотрим брус с выточкой. В этом случае эпюра напряжений в наименьшем сечении бруса имеет вид (рис. 4.11, б) Покажем σ _ном – номинальные напряжения – это напряжения, вычисляемые в предположении отсутствия концентрации напряжений по обычным формулам сопротивления материалов  

Таким образом, если деталь имеет нарушения призматической формы, то около этих нарушений имеется концентрация напряжений.

Превышение местными напряжениями номинальных напряжений называется концентрацией напряжений, а места нарушения призматической формы называются концентраторами напряжений.

Здесь концентратор напряжения – выточка, в других случаях – резьба, галтель, отверстия и так далее.

Концентрация напряжений оценивается теоретическим коэффициентом концентрации напряжений – α_р (α _σ, α _τ) – этот коэффициент называется ещё упругим коэффициентом концентрации напряжений.

 показывает, во сколько раз, местные напряжения больше номинальных, тогда р _наиб =α_р·р _ном:   α_р > 1.

Коэффициент α_р зависит от резкости концентратора напряжений, от размеров концентратора напряжений и детали, от типа деформации и от вида концентратора напряжений. Если речь идёт о мелкой выточке, то его (концентрация) резкость определяется двумя параметрами (рис. 4.12): глубиной выточки t и радиусом кривизны ρ у дна выточки (от вида концентратора, тоже), точнее, от отношения t /ρ. При увеличении этого отношения α_р возрастает.

Как определить α_р. Можно теоретическим путём, решая соответствующую задачу математической теории упругости. Определяют и экспериментальным путём, например, методом просвечивания оптически активных материалов, методом лакокрасочных покрытий, методом тензометрирования.

В настоящее время изучены многие концентраторы напряжений и для них, в справочной литературе, приведены значения теоретических коэффициентов концентрации напряжений α_р.

Если p _max > p _т, то коэффициент концентрации будет меньше α_р. В этом случае вводится понятие эффективного коэффициента концентрации напряжений, который обозначается через (к _σ, к _τ). Что такое к_р?

где р _в – разрушающее напряжение для детали без концентратора напряжений; р _{в к} – разрушающее напряжение для детали с концентратором напряжений, но вычисляемое, по номинальным напряжениям.

Иначе говоря, к_р – это отношение разрушающих нагрузок для образцов без концентраторов напряжений и с концентраторами напряжений. Иногда к_р называют действительным коэффициентом концентрации напряжений.

Как влияет концентратор напряжения на прочность?

1 случай: напряжения постоянны, деталь из пластичного материала (рис. 4.13, а).

Главное здесь – разрушение наступает после больших пластических деформаций и поэтому, распределение напряжений с увеличением нагрузки ведёт себя следующим образом:

если σ _наиб < σ _т, то эпюра напряжений имеет вид (рис. 4.13, б); если σ _наиб > σ _т, то эпюра будет иметь вид (рис. 4.13, в) и наконец, перед разрушением, когда σ _наиб = σ _в, разницы между местными и наибольшими напряжениями не будет (рис. 4.13, г), тогда к_σ = 1, а расчёт на прочность следует вести, по σ _ном.

2 случай: напряжения постоянны, а деталь из хрупкого материала. Диаграмма напряжений для хрупкого материала, имеет вид
(рис. 4.14):

В этом случае выравнивания напряжений не происходит и как только местные напряжения достигнут р _в, то есть р _наиб =α_р·р _ном = р _в – произойдёт разрушение.

Разрушение происходит и при
р _ном = р _в /α_р, или α_р = р _в /р _ном, но отношение р _в /р _ном = к_р – эффективный коэффициент концентрации напряжений, следовательно, для деталей их хрупких материалов – к_р = α_р, поэтому, расчёт на прочность следует вести, по р _{наи б} =α_р·р _ном.

Но здесь, есть исключение: серый чугун, хотя этот материал и является хрупким. Для серого чугуна, который содержит графитовые включения, к_р = 1, то есть, в деталях с концентраторами напряжений, будут такие же разрушающие нагрузки, как и без концентраторов напряжений. Это происходит потому, что графитовые включения являются более резкими концентраторами напряжений, чем конструктивные концентраторы и они, всё определяют.

3 случай: напряжения переменны, деталь из пластичного материала. Будем пока говорить о напряжениях, изменяющихся по симметричному циклу. Начнём с к_р

где p _–1 – предел выносливости образца без концентратора напряжений, p _{–1 к} – предел выносливости образца с концентратором напряжений.

Деталь из пластичного материала, поэтому, казалось бы, должен быть эффект выравнивания напряжений по сечению детали. Он есть, но проявляется частично, поэтому 1 < к_р < α_р. Для низкопрочных и высокопластичных материалов к_р приближается к 1, а для высокопрочных и малопластичных, к_р ближе к α_р.

Таким образом, у каждого материала, своя чувствительность к концентраторам напряжений. В связи, с этим вводится, так называемый коэффициент чувствительности к концентраторам напряжений, который обозначается, через q _р:

От чего зависит q _р?

Главным образом, от материала. С ростом σ _в, увеличивается и q _р;

q _р зависит, от размеров детали: с ростом диаметра, увеличивается, и q _р;

q _р зависит от резкости концентратора напряжений: с увеличением α_р также растёт q _р, так как возрастает быстрее, чем α_р.

В каких пределах изменяется q _р? 0 < q _р < 1. Для низкопрочных и пластичных материалов, q _р приближается к нулю, а для высокопрочных – к единице. Для q _р имеются данные в справочниках и по нему находится:

к_р = 1 + q _р ·(α_р – 1).

Однако, по этой формуле получаются не очень точные значения к_р, поэтому для наиболее распространённых концентраторов напряжений, лучше брать к_р, из справочников. Если же концентратор новый, и для него известно только α_р, то приходится пользоваться, этой формулой.

Таким образом, расчёт на прочность деталей из пластичных материалов при переменных напряжениях нужно вести, по номинальным напряжениям, увеличенным в к_р раз, что следует из формулы

4 случай: напряжения переменны, деталь из хрупкого материала. Так как деталь из хрупкого материала, то пластических деформаций нет, выравнивания напряжений по сечению нет, и быть не может, поэтому к_р = α_р, тогда q _р = 1. Это предельный случай. Здесь тоже исключение для серого чугуна – q _р = 0, к_р = 1.

Таким образом, при переменных напряжениях, для деталей из хрупкого материала, расчёт на прочность нужно вести по местным напряжениям, то есть с допускаемыми напряжениями нужно сравнивать р _наиб =α_р·р _ном.

4.5. Предел выносливости детали
при симметричном цикле

Предел выносливости детали также определяется экспериментальным путём. Оборудование применяется, несомненно, более сложное. Чаще, испытания ведут на вибростендах.

Предел выносливости деталей отличается от предела выносливости материала, так как детали имеют концентраторы напряжений, бóльшие размеры, обработку, отличную от полирования, подвергаются упрочнению и другие факторы (работа в коррозионной среде, в вакууме и так далее).

Чаще всего, приходится учитывать четыре фактора:

1) концентраторы напряжений;

3) размеры поперечного сечения;

3) шероховатость поверхности;

4) поверхностное упрочнение.

С учётом этих четырёх факторов, предел выносливости детали при симметричном цикле, вычисляется по следующей формуле:

Здесь p _{- 1} – предел выносливости материала;

k _р – эффективный коэффициент концентрации напряжений;

k_d – коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения – это отношение предела выносливости гладких образцов диаметром d к пределу выносливости гладких стандартных образцов. Этот коэффициент зависит:

1) от поперечных размеров детали – при увеличении поперечного размера коэффициент k_d возрастает,

2) от предела прочности материала – при увеличении σ _в коэффициент k_d уменьшается,

3) от коэффициента концентрации напряжений – при увеличении k _р коэффициент k_d уменьшается. 0,5 ≤ k_d ≤ 1;

k_F – коэффициент влияния шероховатости поверхности – это отношение предела выносливости образцов с данной шероховатостью поверхности к пределу выносливости стандартных (полированных) образцов. Этот коэффициент зависит:

1) от вида обработки поверхности: чем тщательнее обработана поверхность, тем он выше;

2) коэффициент k_F зависит от материала: при увеличении предела прочности материала, k_F уменьшается, так как с увеличением σ _в шероховатость, как концентратор напряжения, сказывается, в большей степени; величина коэффициента k_F < 1.

k_v – коэффициент влияния поверхностного упрочнения – отношение предела выносливости упрочнённых образцов к пределу выносливости неупрочненных образцов. Этот коэффициент зависит:

1) от вида упрочняющей обработки,

2) от материала - при увеличении предела прочности материала k_v возрастает,

3) от коэффициента концентрации напряжений - при увеличении k _р возрастает и k_v. величина коэффициента k_v > 1.

4.6. Предел выносливости детали
при асимметричном цикле

И в этом случае, предел выносливости детали определяется экспериментальным путём. Провести эти эксперименты, естественно, сложнее, чем при симметричном цикле. Таких проведённых опытов, сравнительно мало. Те же опыты, которые проведены, показали, что концентрация напряжений, размеры детали, шероховатость поверхности и упрочнение поверхности оказывают влияние только на переменную составляющую цикла напряжений и влияют эти факторы на переменную составляющую так же, как и при симметричном цикле. Эти коэффициенты приведены в справочниках.

Всё вышесказанное, касается деталей из пластичных материалов. Детали из хрупких материалов мы не рассматриваем, так как их в авиации нет, но для деталей из хрупких материалов, указанные факторы оказывают влияние и на постоянную составляющую цикла напряжений.

Изобразим диаграмму предельных амплитуд цикла для материала (рис. 4.15, а). Обозначения – общие:

M_r – точка, соответствующая одному из предельных циклов, ,  – параметры предельного цикла.

Далее изобразим диаграмму предельных амплитуд цикла для деталей из пластичного материала (рис. 4.15, б). Две точки нам
известны:

первая точка – при , = 0, имеем симметричный цикл, тогда , где К – коэффициент снижения предела выносливости – это отношение предела выносливости стандартных лабораторных образцов (материала) к пределу выносливости детали, при одинаковой асимметрии цикла.

Вторая точка — при  = 0,  = p _в – статическое нагружение. Эта запись справедлива только для деталей из пластичного материала. Для деталей из хрупкого материала второй точкой будет не
, = p _в, а  = p _в /α_р.

Промежуточные точки получим, используя диаграмму предельных амплитуд цикла для материала. Откладываем значение , а ордината,  так можно получить точки для любого . Для деталей из хрупкого материала второй точкой будет не , = p _в, а  = p _в /α_р. Так мы построим диаграмму предельных амплитуд цикла для детали из пластичного материала.

Для вывода расчётных зависимостей необходимо представить диаграмму предельных амплитуд, теоретически. При этом, кривую, заменим прямой. На практике применяются две схематизации:

Схематизация 1 (рис. 4.16, а) (на рисунке – штриховая линия) – применяется для расчета стационарных машин. По этой схематизации возможности материала занижены.

При расчёте деталей летательных аппаратов и их двигателей, применяется более точная схематизация 2 (рис. 4.16, а – сплошная прямая), предложенная советскими учёными С.В. Серенсеном и Р.С. Кинасошвили (ЦИАМ). В первой части диаграммы, возможности детали занижены незначительно, во второй – завышены, но они не используются, так как там, опасными являются, напряжения по текучести.

Рассмотрим подробно схематизацию 2.

Вначале для материала. За предельный цикл, через который производится схематизация, принимается положительный отнулевой цикл (рис. 4.16, б).

Точка M ₀ (рис. 4.16, б) соответствует от нулевому циклу, при этом цикле предел выносливости – р ₀, тогда  = = р ₀/2, следовательно, β = 45^°.

Под углом 45^° из начала координат проводим прямую до пересечения с предельной кривой, а также прямую 2 из точки А через полученную точку М ₀. Почему, через эту точку? Потому что, во-первых, она проходит возле границы, до которой используется диаграмма и, во-вторых, предел выносливости при отнулевом цикле является основной механической характеристикой, которая так же, как и p _-1, определяется сравнительно просто при испытаниях на усталость (но первая причина, является наиболее важной).

Таким образом, по результатам испытаний при симметричном и от нулевом циклах мы получили схематизированную диаграмму предельных амплитуд цикла напряжений для материала.

Теперь перейдём, к диаграмме предельных амплитуд цикла напряжений для детали из пластичного материала (рис. 4.17).

Следует обратить внимание на то, что для детали точка, через которую проходит схематизированная прямая, – это уже не соответствует положительному отнулевому циклу.

Для дальнейших выводов удобнее пользоваться отрезком ОЕ. Выведем формулу для этого отрезка:

Обозначим: ψ_р =  – коэффициент чувствительности материала к асимметрии цикла напряжений.

Чем больше ψ_р, тем меньше ОЕ, тем в большей степени предельная амплитуда убывает в зависимости от асимметрии цикла. Окончательно:

где ψ_р – новая механическая характеристика материала f (p _{- 1}, p ₀, ψ_р).

ψ_р зависит: 1) прежде всего. от материала – чем выше предел прочности p _в тем больше, то есть чем выше прочность материала, тем более он чувствителен, к асимметрии цикла;

2) от типа деформации (для одного и того же материала ψ_σ ≈ 2· ψ_τ).

Значения этого коэффициента приводятся в справочниках.

Заключение: мы получили схематизированную диаграмму предельных амплитуд цикла в виде прямой, которая отсекает на оси ординат

, а на оси абсцисс – .