Центральное растяжение и сжатие (ЦРС)

Рассмотрим брус, защемлённый одним концом (рис. 1.1, а). Далее покажем промежуточное положение, когда сила достигла значения F (рис. 1.1, б). Затем бесконечно близкое состояние, когда сила равна F + dF (рис. 1.1, в). И, наконец, конечное состояние (F _к) (рис. 1.1, г).

То есть, мы вводим этап бесконечно малого нагружения (рис. 1.1, д) Вычислим работу силы F на бесконечно малом этапе нагружения

, где  = const. Тогда ; – работа силы F на бесконечно малом этапе нагружения.

Просуммируем работу сил по всему нагружению

Теперь индекс «к» можно опустить, так как он был нужен только при выводе формулы.

Следовательно, работа силы F при статическом нагружении равна половине произведения силы на перемещение, так как сила изменяется от нуля до значения F.

Запомним, что при статическом нагружении, работа силы всегда меньше произведения силы на перемещение. При линейной зависимости между F и ∆ l – коэффициент равен 1/2, а при нелинейной зависимости, например, за пределом текучести, коэффициент будет другим.

Запишем уравнение для энергии деформации

.

Энергия деформации бруса является квадратичной функцией
от F.

Эта функция справедлива для случая, когда брус нагружен по торцам, то есть когда нормальная сила по всей длине бруса
постоянна.

Получим формулу для общего случая, когда нормальная сила по длине бруса меняется (рис. 1.2, а). Чтобы применить полученную ранее формулу, рассмотрим бесконечно малый элемент бруса
(рис. 1.2, б). Покажем его отдельно. N (z) – нормальная сила, которая вычисляется методом сечений. Видно, что элемент длиной dz находится в таких же условиях, что и брус, нагруженный по торцам, поэтому можно применять формулу  и проинтегрировать по длине бруса

– это общая формула для энергии деформации бруса при центральном растяжении и сжатии.

Плоский изгиб

Рассмотрим чистый изгиб
(рис. 1.3). Балка длиной l, на шарнирных опорах нагружена парами сил М ₀, реакции опор равны нулю, М = М ₀ =
= const.

После нагружения балка искривляется по дуге окружности, а опорные сечения поворачиваются на угол θ. Продолжим направления опорных сечений до пересечения в центре окружности К.

Выразим θ через М

где М – изгибающий момент,   E · J – жёсткость балки при изгибе.

Этот результат также можно было получить и интегрированием дифференциального уравнения изогнутой оси балки.

Запишем формулу для работы пар сил при статическом (медленном) нагружении.

Теперь запишем формулу для энергии  – формула для энергии деформации балки при чистом изгибе.

Рассмотрим поперечный изгиб. Это, более сложный случай. Изобразим балку, испытывающую поперечный изгиб (рис. 1.4, а). Выделим бесконечно малый элемент длиной d z. Покажем его отдельно (рис. 1.4, б). Пусть Q > 0 и M > 0.

Чтобы вычислить энергию, накопленную элементом, нужно вычислить работу внешних сил (для элемента – это Q и M). Оказывается, что A_q << A_m, поэтому силами Q можно пренебречь и мы получим для элемента, случай чистого изгиба (рис. 1.4, в), тогда

Интегрируя по длине всей балки, получим общую формулу для энергии деформации балки при поперечном изгибе

Кручение

Рассмотрим брус круглого поперечного сечения, подверженный кручению. Пусть брус одним концом защемлён (рис. 1.5) (но это не обязательно).

На свободном конце брус нагружен парой сил M ₀. Свободный конец бруса поворачивается на угол φ. Очевидно, что М _к = М ₀ = const.

Аналогично предыдущим простым деформациям запишем

 – формула для энергии деформации при кручении в случае М _к = const.

Далее рассмотрим общий случай (М _к ≠ const) и по аналогии с предыдущими случаями получим общую формулу для энергии деформации бруса при кручении

Полученные формулы чрезвычайно важны. Они используются при выводе универсального уравнения для определения перемещений.