Расчёт по предельным нагрузкам.

В этом случае, за опасное внутреннее давление принимается давление, при котором цилиндр начинает течь, то есть при котором цилиндр становится геометрически изменяемой, иначе говоря, происходит рост деформаций, при неизменном давлении (рис. 8.6).

Возможности материала в этом случае занижены, но опыт показывает, что занижение, незначительно. Этот расчёт применяется тогда, когда некоторые пластические деформации не нарушают нормальной работы цилиндров.

Пример. Цилиндр с жидкостью (или газом) (рис. 8.7) несколько увеличивает свои размеры, но его работоспособность не нарушается.

р_а ≤ р_{а т} (рис. 8.7, а), где р_{а т} – внутреннее давление, при котором появляются первые пластические деформации. Как его найти? Нужно эквивалентное напряжение приравнять пределу текучести σ _т.При р_а = ,   

При р_а >  (рис. 8.7, б) появляются первые пластические деформации в точках внутренней поверхности цилиндра. По мере роста р_а пластическая зона увеличивается, а зона упругих деформаций сокращается. В конце концов, при некотором давлении (рис. 8.7, в) по всему цилиндру будут пластические деформации. Цилиндр станет
изменяемой системой. Несущая способность цилиндра исчерпана. Это давление  и будет опасным давлением по способу предельных нагрузок.

Методами сопротивления материалов задача об определении  не решается. Она решается методами математической теории пластичности.

Приведём готовые результаты.

С ростом отношения b / a,  возрастает (рис. 8.8). Этот график приводится в справочниках.

Порядок (алгоритм) расчёта.

Вначале находят р_а = , затем, с помощью графика определяют  устанавливают грузоподъёмность по формуле

– формула для определения грузоподъёмности по способу предельных нагрузок.

У каждого из этих двух методов расчёта имеется своя область применения.

8.3. Применение составных цилиндров
для увеличения упругой грузоподъёмности

Упругая грузоподъёмность – это грузоподъёмность, вычисленная по способу допускаемых напряжений. Запишем выражение для упругой грузоподъёмности

Изобразим график этой зависимости (рис. 8.9). При b / a = 1 грузоподъёмность равна нулю. Из графика видно, что грузоподъёмность можно увеличить за счёт увеличения толщины стенки, только при небольших толщинах стенки (при небольших b / a). При бóльших толщинах увеличение толщины стенки не приводит к существенному изменению грузоподъёмности.

Но есть способ увеличения упругой грузоподъёмности выше [ σ ] / 2. Он основан на применении составных цилиндров (рис. 8.10), причём наружный диаметр внутреннего цилиндра больше, чем внутренний диаметр наружного цилиндра на величину ∆, где ∆ – радиальный натяг.

Из двух цилиндров можно получить исходный цилиндр (рис. 8.10, а). Вес составного цилиндра будет равен весу исходного. Наружный цилиндр нагревают и надевают на внутренний и, после остывания, между ними возникает контактное давление р_с (внутренний цилиндр сжимается, а наружный – растягивается), которое вызывает монтажные (начальные) напряжения. Начальные размеры цилиндров изменяются незначительно, поэтому считаем, что размеры а, b, и с неизменны.

Будем рассматривать только кольцевые напряжения  – напряжения на стыке цилиндров. Покажем эпюру монтажных напряжений (рис. 8.10, б) и суммарную эпюру (рис. 8.10, в) – рабочие напряжения складываются с монтажными.

Проследим, как складываются эти напряжения. На рисунке 8.10, в пунктирной линией показаны напряжения для сплошного цилиндра, а также монтажные напряжения, сплошными линиями – напряжения для составного цилиндра после сложения.

В точках на внутренней поверхности напряжения уменьшились существенно, следовательно,  уменьшается, а грузоподъёмность [ р_а ] увеличивается и превысит [ σ ] / 2, – в этом смысл применения составных цилиндров.

Упругая грузоподъёмность составных цилиндров увеличивается за счёт положительной роли монтажных напряжений, за счёт выравнивания напряжений по толщине стенки цилиндра и, как результат, наблюдается повышение грузоподъёмности. Можно использовать многослойные цилиндры рис. 8.10, г), тогда упругая грузоподъёмность увеличится ещё больше. Стволы артиллерийских орудий являются многослойными цилиндрами.

Для расчёта составных цилиндров необходимо знать зависимость р_с = р_с (Δ).

Получим формулу для радиального перемещения сплошного цилиндра и = и (r) (рис. 8.11, a):

Здесь σ _z = 0, так как составляются открытые цилиндры,

, тогда

– общая формула для радиальных перемещений.

Рассмотрим картину деформаций при составлении цилиндров (рис. 8.11, б).

– радиальное перемещение точек внутренней поверхности наружного цилиндра,

– радиальное перемещение точек наружной поверхности внутреннего цилиндра.

Закономерность деформаций

 но > 0;  < 0. тогда

∆ = – – уравнение совместности деформаций.

Выразим перемещения, используя общую формулу.

1) Определим радиальное перемещение точек внутренней поверхности наружного цилиндра . В этом случае параметры равны   r = c,   р_а = р_с,   р _b = 0, а = с,   b = b.

2) Определим радиальное перемещение точек наружной поверхности внутреннего цилиндра. В этом случае параметры равны r = c, р_а = 0, р _a = р_с, а = a, b = c.

Подставим значения перемещений в уравнение совместности деформаций

Выразим давление на стыке цилиндров

– зависимость между натягом и давлением на стыке цилиндров.

Если натяг небольшой и цилиндры короткие, то их можно составить, запрессовкой. Если натяг большой и цилиндры длинные, то внешний цилиндр нагревают, и надевают, на внутренний.

Вычислим, насколько нужно нагревать внешний цилиндр

, отсюда

Пример. На вал запрессовано внутреннее кольцо подшипника (рис.8.12, а) с радиальным натягом ∆ = 16 мкм = 0,016 мм. Определить контактное давление между внутренним кольцом подшипника и валом редуктора. Построить эпюры радиальных σ _r и окружных σ _t напряжений для кольца и вала. Определить  в опасной точке соединения.

В данном случае а = 0, с = 20 мм, b = 30 мм, E = 2·10⁵ МПа.

1) Определим контактное давление

2) Построим эпюры радиальных и окружных напряжений (рис. 8.12, б)

Строим эпюры для кольца а = с = 20 мм, b = 30 мм, р _a = 44,45 МПа, р _b = 0.

Внутренняя поверхность кольца r = c = 20 мм

Наружняя поверхность кольца r = b = 30 мм

Строим эпюры для вала а = = 0, с = b = 20 мм, р_а = 0,
р _b = р _c = 44,45 МПа.

, то есть в валу, и окружные и радиальные напряжения, по радиусу постоянны.

3) Определяем  в опасной точке на внутренней поверхности кольца

= 115,6 + 44,45 = 160,1 МПа.

Вопросы для самопроверки

1. Какие цилиндры называются толстостенными? 2. Какой вид напряжённого состояния испытывают точки толстостенного цилиндра? 3. Какие точки толстостенного цилиндра наиболее нагружены? 4. В чём разница расчёта на прочность толстостенного цилиндра по допускаемым напряжениям и по предельным нагрузкам? 5. Каким образом можно увеличить упругую грузоподъёмность толстостенного цилиндра?

ТОНКОСТЕННЫЕ ОБОЛОЧКИ

Тонкостенная оболочка – это тело (деталь), один из размеров которого, значительно меньше двух других размеров (d _cp > 20 h). Меньший размер, называется толщиной оболочки. Она измеряется перпендикулярно срединной поверхности.

Срединная поверхность – это поверхность, проходящая через середины толщин оболочки. Если срединная поверхность является плоскостью, то это пластина. Если срединная поверхность – поверхность вращения, то оболочка осесимметричная. Бывают сферические, цилиндрические, конические и другие осесимметричные оболочки.

Примеры: паровой котёл (рис. 9.1), корпус летательного аппарата, корпус двигателя летательного аппарата.

9.1 Напряжения в осесимметричной оболочке
при безмоментном сопротивлении.

Рассмотрим осесимметричную оболочку постоянной толщины (рис. 9.2, а). На оболочку действует внутреннее давление р. Считаем, что напряжения по толщине оболочки постоянны (рис. 9.2, б), тогда изгибающий момент отсутствует и оболочка находится в безмоментном состоянии, то есть σ = const и стенка испытывает только растяжение.

Изгиб возникает лишь в местах резкого изменения формы и приложения силы (рис. 9.3).

Получим формулы для определения напряжений, действующих в оболочке (рис. 9.4). Выделим из оболочки элемент двумя парами меридиональных и перпендикулярных к меридиональным, поверхностями.

С_т – центр кривизны дуги меридиана срединной поверхности,

ρ_т – радиус кривизны дуги меридиана срединной поверхности,

С _t – центр кривизны нормального сечения, перпендикулярного дуге меридиана,

ρ _t – радиус кривизны нормального сечения, перпендикулярного к дуге меридиана.

Покажем элемент отдельно (рис. 9.4, б).

σ_т – меридиональное напряжение,

σ _t – окружное напряжение.

В силу осевой симметрии, касательные напряжения отсутствуют.

Используем уравнение статики – рассмотрим сумму проекций сил на внешнюю нормаль к элементу (рис. 9.5)

В силу малости углов dθ и dφ  sin dθ / 2 = dθ / 2, sin dφ / 2 = dφ / 2, и можно сократить на dθ и dφ, тогда

Поделим полученное равенство на ρ_т · h · ρ _t и получим

                                                   (9.1)

– уравнение Лапласа.

Возникает вопрос? В каком соотношении находятся давление р и напряжения σ_т и σ _t?

Проанализируем уравнение Лапласа. Пусть ρ_т = ρ _t = ρ, тогда σ_т = σ _t = σ и, следовательно, но  >> 1, поэтому σ >> р, или σ_т = σ _t >> р.

Составим второе уравнение для определения σ_т, σ _t, рассмотрев сумму проекций сил на ось z (рис. 9.5)

                                                                      (9.2)

Решая совместно (1) и (2) находим σ_т и σ _t.

9.2. Расчёт на прочность
сферической оболочки

Для сферической оболочки (рис. 9.6) ρ _m = ρ _t = D / 2. В силу симметрии σ_т = σ _t = σ.

Из уравнения Лапласа

то есть

На наружной поверхности – σ _r = 0, а на внутренней поверхности – но σ _t >> р, поэтому радиальными напряжениями можно пренебречь, тогда

σ ₃ = 0.

Применяем третью теорию предельных напряжённых состояний

 где

– одинаково во всех точках сферической оболочки, следовательно,

– условие прочности сферической оболочки, нагруженной внутренним давлением.

При расчёте по предельным нагрузкам получается тот же результат, так как предельные состояния по допускаемым напряжениям и по предельным нагрузкам одинаковы (в силу малости толщины).