Потенциальная энергия бруса при простых деформациях

ISBN

 

Рассмотрены разделы курса сопротивление материалов, относящиеся к расчётам на прочность и жёсткость при сложных деформациях, неравномерном движении ударном нагружении, переменных напряжениях и колебаниях упругих систем, а также энергетических методов определения перемещений и общих методов решения статически неопределимых систем.

Предназначено для студентов очной, очно-заочной и заочной форм обучения, изучающих дисциплину «Сопротивление материалов»:

Институт ракетно-космической техники:

– по специальности 24.05.01 Проектирование, производство и эксплуатация ракет и ракетно-космических комплексов.

– направлениям подготовки: 15.03.01 Машиностроение, 15.03.03 Прикладная механика, 22.03.02 Металлургия, 23.03.01 Технология транспортных процессов. 24.05.01 Ракетные комплексы и космонавтика.

Институт двигателей и энергетических установок:

–по специальности 15.03.05 Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств; 24.03.05 Двигатели летательных аппаратов; 24.05.02 Проектирование авиационных и ракетных двигателей и направлению подготовки;

– направлениям подготовки 13.03.03.Энергетическое машиностроение.

изучающих дисциплину «Механика материалов и конструкций» по направлению подготовки: 13.03.03 Энергетическое машиностроение.

Институт авиационной техники:

– по специальности 24.05.07 Самолёто- и вертолётостроение;  

– направлениям подготовки: 15.03.05 Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств; 24.03.04, Авиастроение, 25.04.01 Техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей.  27.03.02 Управление качеством.

Подготовлено на кафедре сопротивления материалов Самарского университета.

 

ISBN                                                                                          УДК 539.3/6(075)

                                                                  ББК 30.121я7

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Потенциальная энергия деформации и общий метод
определения перемещений при изгибе……………………...7

1.1. Потенциальная энергия бруса при
простых деформациях…………………………………………..7

1.1.1. Центральное растяжение и сжатие (ЦРС)…….....…..7

1.1.2. Плоский изгиб……………………………………..…..9

1.1.3. Кручение…………………………………………..….10

1.2. Обобщённая сила и обобщённое перемещение.
Податливость…………………………………………..........11

1.4. Взаимность работ и взаимность перемещений…….........12

1.5. Интеграл Мора для определения перемещений
при изгибе…………………………………………………....15

1.6. Графоаналитический способ вычисления
интеграла Мора. Способ Верещагина.……………………..18

1.8. Правила перемножения эпюр при использовании
способа Верещагина……………………………………........19

1.9. Формулы для площадей и положения центров
тяжести криволинейных треугольников.……………….......21

1.10. Вопросы для самопроверки…………………………..…...23

2. Наиболее общие методы раскрытия
статической неопределимости………………………………..24

2.1 Метод сил………………………………………………..…….24

2.2 Уравнение трёх моментов……………………………..……...29

2.3 Вопросы для самопроверки…………………………………..34

3 Сложное сопротивление бруса……………………………….35

3.1 Общий случай сложного сопротивления бруса…………...35

3.1.1 Напряжения и расчёт на прочность в
общем случае сложного сопротивления бруса…………35

3.1.2 Перемещения бруса в общем случае
сложного сопротивления………………………………...38

3.2 Расчёт плоских статически неопределимых рам
(изгиб с растяжением или сжатием)………………………….40

3.2.1 Пример расчёта плоской
статически неопределимой рамы………………………..42

3.3 Косой изгиб……………………………………………..….48

3.3.1 Напряжения и расчёт на прочность
при косом изгибе…………………………………….….48

3.3.2 Перемещения при косом изгибе…………...……….…54

3.4 Внецентренное растяжение и сжатие
коротких стержней.……………………………………...…55

3.5 Кручение с изгибом………………………………..….......59

3.6 Вопросы для самопроверки……………………….………63

4 Прочность при циклически изменяющихся
напряжениях…………………..………………………………64

4.1 Основные понятия об усталостном разрушении...........…64

4.2 Предел выносливости материала
при симметричном цикле…………………………….........69

4.3 Предел выносливости материала
при асимметричном цикле………………………………...72

4.4 Концентрация напряжений и её влияние
на прочность…………………………………………..........74

4.5 Предел выносливости детали
при симметричном цикле………………………………....79

4.6 Предел выносливости детали
при асимметричном цикле………………………………..80

4.7 Расчёт на прочность при переменных напряжениях
в случае линейного напряжённого состояния
и чистого сдвига……………………………………….…..84

4.8 Расчёт на прочность при переменных напряже-
ниях в случае сложного напряженного состояния……....88

4.9 Практические способы борьбы
с усталостным разрушением………………………….…...91

4.10 Вопросы для самопроверки……………………..….……94

5 Колебания упругих систем………………………………….96

5.1 Основные понятия об упругих колебаниях…....…..…….96

5.2 Собственные колебания системы

с одной степенью свободы..………………………….…..97

5.3 Собственные колебания системы с одной степенью
свободы при наличии сил сопротивления……………….99

5.4 Вынужденные колебания системы с одной степенью
свободы при наличии сил сопротивления………………102

5.5 Расчёт системы с одной степенью свободы
на прочность при колебаниях……………………………105

5.6. Собственные колебания системы
с несколькими степенями свободы………………………..108

5.7. Вопросы для самопроверки……………………....………112

6. Ударное нагружение..……………………………………….113

6. 1. Перемещения, напряжения и расчёт на
прочность при ударе…………………………………..…...113

6. 2. Частные случаи и особенности сопротивления
ударному нагружению…………………………....…..……117

6.2.1. Мгновенное нагружение.………………………..…….117

6.2.2. Изгибающий удар.…………………………..…..……..117

6.2.3. Особенности сопротивления удару
балок равного сопротивления.………………….....…...119

6.2.4. Правило выравнивания поперечного сечения
по наименьшему при ударном нагружении.…………..120

6.3 Вопросы для самопроверки..………………….…….…….121

7 Расчёт на прочность неравномерно движущихся
элементов конструкций…….………………………………..122

7.1. Напряжения и расчёт на прочность неравно
мерно движущихся элементов конструкций………..........122

7.2. Вопросы для самопроверки.………………………............125

8. Расчёт толстостенных цилиндров.………………………...126

8.1. Напряжения в толстостенном цилиндре,
нагруженном наружным и внутренним давлением.……..126

8.2. Расчёт толстостенного цилиндра,
 нагруженного внутренним давлением.…………………..130

8.2.1.  Расчёт по допускаемым напряжениям……………...131

8.2.2. Расчёт по предельным нагрузкам………….………...132

8.3 Применение составных цилиндров
для увеличения упругой грузоподъёмности………….......134

8.4 Вопросы для самопроверки………………………..….......138

9. Тонкостенные оболочки.……………………………............139

9.1. Напряжения в осесимметричной оболочке
при безмоментном сопротивлении.…………………..…...139

9.2. Расчёт на прочность сферической оболочки.…….....…...141

9.3. Расчёт на прочность цилиндрической оболочки..…..….142

9.4. Расчёт на прочность конической оболочки,
наполненной жидкостью...…………………………………143

9.5 Вопросы для самопроверки………………………..….…..145

10 Продольно-поперечный изгиб.…………………………...146

10.1 Точное решение уравнения
продольно-поперечного изгиба…………………………..146

10.2 Приближённое решение уравнения
продольно-поперечного изгиба………………………..…150

10.3 Расчёт на прочность при продольно-
поперечном изгибе……………………………………..….153

10.4 Вопросы для самопроверки………………………….….154

11. Сопротивление материалов и другие науки
о прочности.….……………………………………………..155

11.1 Сопротивление материалов……………………….……155

11.2 Теория упругости…………………………………..……155

11.3 Теории пластичности и ползучести……………………159

11.4 Строительная механика…………………………………160

11.5 Материаловедение………………………………………160

11.6 Вопросы для самопроверки……………………….….…160

Список литературы...………………………………..………….161

1. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
И ОБЩИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ

Плоский изгиб

Рассмотрим чистый изгиб
(рис. 1.3). Балка длиной l, на шарнирных опорах нагружена парами сил М ₀, реакции опор равны нулю, М = М ₀ =
= const.

После нагружения балка искривляется по дуге окружности, а опорные сечения поворачиваются на угол θ. Продолжим направления опорных сечений до пересечения в центре окружности К.

Выразим θ через М

где М – изгибающий момент,   E · J – жёсткость балки при изгибе.

Этот результат также можно было получить и интегрированием дифференциального уравнения изогнутой оси балки.

Запишем формулу для работы пар сил при статическом (медленном) нагружении.

Теперь запишем формулу для энергии  – формула для энергии деформации балки при чистом изгибе.

Рассмотрим поперечный изгиб. Это, более сложный случай. Изобразим балку, испытывающую поперечный изгиб (рис. 1.4, а). Выделим бесконечно малый элемент длиной d z. Покажем его отдельно (рис. 1.4, б). Пусть Q > 0 и M > 0.

Чтобы вычислить энергию, накопленную элементом, нужно вычислить работу внешних сил (для элемента – это Q и M). Оказывается, что A_q << A_m, поэтому силами Q можно пренебречь и мы получим для элемента, случай чистого изгиба (рис. 1.4, в), тогда

Интегрируя по длине всей балки, получим общую формулу для энергии деформации балки при поперечном изгибе

Кручение

Рассмотрим брус круглого поперечного сечения, подверженный кручению. Пусть брус одним концом защемлён (рис. 1.5) (но это не обязательно).

На свободном конце брус нагружен парой сил M ₀. Свободный конец бруса поворачивается на угол φ. Очевидно, что М _к = М ₀ = const.

Аналогично предыдущим простым деформациям запишем

 – формула для энергии деформации при кручении в случае М _к = const.

Далее рассмотрим общий случай (М _к ≠ const) и по аналогии с предыдущими случаями получим общую формулу для энергии деформации бруса при кручении

Полученные формулы чрезвычайно важны. Они используются при выводе универсального уравнения для определения перемещений.

Пример 2.

Рассмотрим консольную балку, нагруженную распределённой нагрузкой  (рис. 1.19, б). Построим эпюру изгибающих моментов.

Можно ли к этому треугольнику применить наши формулы и чему равен? Составляем уравнение для изгибающих моментов.

 видно, что это одночленная степенная функция. Следовательно, наши формулы применять можно,
причём n = 3.

В реальных конструкциях интенсивность может быть распределена по более сложному закону, но её можно привести к простым.

Пример 3.

Рассмотрим консольную балку, нагруженную распределённой нагрузкой  (рис. 1.19, в). Без промежуточных вычислений запишем уравнение для изгибающих моментов.

 можно видеть, что к этому треугольнику формулы не применимы.

Чтобы применить формулу Верещагина, необходимо поступить следующим образом:

1 способ – определить реакции в опоре а  и расслоить эпюры по левым силам;

2 способ – дополнить распределённую нагрузку до полной и вычесть дополненную. Расслаивать эпюры, по правым силам.

Вопросы для самопроверки

1. Как записывается потенциальная энергия деформации бруса при центральном растяжении или сжатии? 2. Как записывается потенциальная энергия бруса при изгибе? 3. Как записывается потенциальная энергия бруса при кручении? 4. Что понимается под обобщённой силой? 5. Что представляет собой обобщённое перемещение? 6. Что называется податливостью? Как она определяется? 7. Как записывается интеграл Мора для определения перемещений при изгибе? 8. Каков порядок определения прогибов с помощью интеграла Мора? 9. Каков порядок опреде­ления углов поворота с помощью интеграла Мора? 10. Как записывается формула Верещагина для определения перемещений при изгибе? 11. Какие ограничения накладываются при применении способа Верещагина? 12. Каков порядок определения прогибов с помощью способа Верещагина? 12. Каков порядок определения углов поворота с помощью способа Верещагина? 13. Как производится перемножение эпюр при использовании способа Верещагина, если единичная эпюра – ломаная прямая? 13. Каким свойством можно воспользоваться при определении перемещений способом Верещагина, если и единичная и грузовая эпюра – линейные функции. 14. Как производится перемножение эпюр при использовании способа Верещагина, если грузовая эпюра – сложная фигура? 15. В чём заключается расслоение грузовых эпюр при использовании способа Верещагина? 16. Как можно проводить расслоение грузовых эпюр при использовании способа Верещагина?

2. НАИБОЛЕЕ ОБЩИЕ МЕТОДЫ РАСКРЫТИЯ
СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ

Метод сил

Метод сил – один из общих универсальных методов раскрытия статической неопределимости. Есть ещё метод деформаций, но он применяется при расчёте сооружений.

В машиностроении при расчёте машин чаще всего применяется метод сил. Метод сил позволяет составить уравнения совместности деформаций или уравнения перемещений. Он даёт стандартный подход вне зависимости от вида конструкции.

Приступим к выводу уравнений метода сил. Рассмотрим частный случай, но уравнения получим общие. Будем рассматривать неразрезную балку (рис. 2.1, а).

Неразрезной называют такую балку, которая, не прерываясь, перекрывает несколько пролётов. Эти несколько пролётов можно перекрыть и разрезными балками.

Неразрезная балка имеет преимущества: у неё больше жёсткость, то есть меньше перемещения и, в большинстве случаев, больше грузоподъёмность.

Недостаток – неразрезная балка – статически неопределимая балка и в ней могут быть монтажные напряжения, связанные с неточной установкой опор. Несмотря на этот недостаток, неразрезные балки широко применяются в конструкциях летательных аппаратов.

В сооружениях применяются разрезные балки.

Опоры нумеруются 0, 1, 2, 3, 4 (слева направо). На балку действуют активные силы и реакции опор. Неизвестных реакций шесть, а статика даёт три уравнения. Таким образом имеем три лишних неизвестных (лишних – с точки зрения статики), то есть балка три раза статически неопределима. У балки три промежуточных опоры и всегда, стёпень статической неопределимости равна числу промежуточных опор.

Для решения задачи необходимо назначить лишние неизвестные. За лишние можно принять любые неизвестные, но после отбрасывания лишних неизвестных, система должна быть геометрически неизменяемой даже в малом. Примем за лишние неизвестные реакции промежуточных опор Х ₁ = R ₁, Х ₂ = R ₂, Х ₃ = R ₃.

После назначения лишних неизвестных, изображаем основную систему (рис. 2.1, б).

Основной системой (ОС) называют статически определимую и геометрически неизменяемую систему, которая получается из исходной статически неопределимой, после отбрасывания лишних связей и внешних сил. Лишние связи – связи, в которых возникают лишние неизвестные, то есть в нашем случае, лишними связями будут промежуточные опоры. Видно, что основная система – геометрически неизменяемая и статически определимая.

Далее изображаем эквивалентную систему (рис. 2.1, в).

Эквивалентная система (ЭС) – это основная система, нагруженная активными силами и лишними неизвестными. Реакцию ₀ не показываем, так как из уравнений статики, R ₀ = 0.

Почему эта система называется эквивалентной? Эквивалентная система в точности воспроизводит исходную статически неопределимую систему с точки зрения сил, перемещений, деформаций и напряжений. Далее, все вопросы, будем решать с эквивалентной системой.

Метод сил позволяет составить уравнение совместности деформаций. В чём заключаются закономерности деформаций изучаемой системы?

Она заключается в том, что в эквивалентной системе, перемещения в направлении "лишних" связей, должны быть равны нулю. Или иначе: Х ₁, Х ₂, Х ₃ должны быть такими, чтобы в сечениях 1, 2, 3 эквивалентной системы прогибы обращались в ноль, то есть

∆₁ = 0,              ∆₂ = 0,              ∆₃ = 0.

Распишем первое соотношение. Для этого рассмотрим ряд нагружений основной системы и перемещения от этих нагружений.

Первое нагружение. Приложим к основной системе единичную силу (рис. 2.2, а), соответствующую первой неизвестной силе Х ₁. Прогиб равен δ ₁₁.

Следующее нагружение основной системы силой Х ₁ (рис. 2.2, б). Тогда ∆₁₁ = δ ₁₁· Х ₁.

Далее изобразим основную систему и нагрузим единичной силой, соответствующей второй неизвестной силе Х ₂ (рис. 2.2, в). Затем нагрузим основную систему силой Х ₂ (рис. 2.2, г) и получим перемещение ∆₁₂ = δ ₁₂· Х ₂.

Теперь нагрузим основную систему в сечении 3 вначале единичной силой (рис. 2.2, д), а затем силой Х ₃ (рис. 2.2, е) и получим перемещение ∆₁₃ = δ ₁₃· Х ₃.

Мы рассмотрели нагружения неизвестными силами. Остаётся рассмотреть нагружение активными силами (рис. 2.2, ж) и получить перемещение ∆_{1 F}.

Используя принцип суперпозиции, мы получаем первое из уравнений совместности деформаций. Аналогично получаем ещё два уравнения. Первый индекс у ∆ (δ) будет совпадать с номером уравнения

Мы получили основные уравнения метода сил или канонические уравнения метода сил, для три раза статически неопределимой системы. Это, по существу, уравнения совместности деформаций.

Физический смысл канонических уравнений – перемещения в эквивалентной системе, по направлению лишних неизвестных равны нулю.

Запишем эти уравнения в общем виде для п -раз статически неопределимой системы.

Здесь δ _ik – коэффициенты канонических уравнений – это перемещения в основной системе по направлению i -й лишней связи от единичного силового фактора, соответствующего лишнему неизвестному X_k. При i = k получаем главные коэффициенты или главные податливости основной системы (податливость – перемещение от единичной силы). Если i ≠ k, то это побочные коэффициенты канонических уравнений (побочные податливости). Вспомним о взаимности перемещений (δ _ik = δ _ki). Иначе говоря, матрица коэффициентов канонических уравнений симметрична относительно главной диагонали. Таким образом, нужно определять не все коэффициенты канонических уравнений, а только главные коэффициенты и коэффициенты, расположенные по одну стороны от главной диагонали. Поэтому вычисление коэффициентов канонических уравнений несколько упрощается.

∆ _iF – свободные члены канонических уравнений – перемещения в основной системе по направлению i -й лишней связи от всех внешних сил.

Канонические уравнения метода сил применимы к любому твёрдому телу, конструкции, которую можно считать линейной, то есть подчиняющейся закону Гука.

Лишними неизвестными могут быть силы, пары сил и обобщённые силы. Мы будем применять их главным образом к стержневым системам, испытывающим изгиб. В этом случае можно получить несложные уравнения для подсчёта коэффициентов (рис. 2.3, а-б).

Вспомним интеграл Мора: .

Получим формулу для δ _ik. Здесь  – изгибающий момент от единичного силового фактора, соответствующего лишней неизвестной X_k,  – изгибающий момент от единичного силового фактора, соответствующего лишней неизвестной X_i, тогда

.

– общая формула для определения коэффициентов канонических уравнений.

Аналогично получим формулу для ∆ _iF. Здесь M = M_F – изгибающий момент от всех внешних сил, . Подставив в интеграл Мора. получим.

– формула для определения свободных членов канонических уравнений. Все моменты, в полученных формулах, вычисляются при соответствующем нагружении в основной системе.

Для прямолинейных стержней коэффициенты и свободные члены  канонических уравнений, можно вычислять способу Верещагина.

Пример. Построить эпюры внутренних сил для заданной балки (рис. 2.4).

1) Определяем степень статической неопределимости системы: неизвестных реакций – 4, уравнений статики – 3. Система один раз статически неопределима.

2) Выбираем основную систему – за лишнюю связь принимаем реакцию шарнирной опоры.

3) Строим эквивалентную систему

4) Записываем каноническое уравнение метода сил для эквивалентной системы

δ ₁₁· Х ₁ + ∆_{1 F} = 0.

5) Определяем коэффициент и свободный член канонического уравнения. Для этого последовательно нагружаем основную систему единичной силой, соответствующей Х ₁, и активной силой М, строим эпюры  и M_F. Используем способ Верещагина

6) Подставляем полученные значения в каноническое уравнение и раскрываем статическую неопределимость.

7) Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов в эквивалентной системе.

Уравнение трёх моментов

Рассмотрим неразрезную многопролётную балку (рис. 2.5, а). За лишние неизвестных при выборе основной системы удобнее принять изгибающие моменты в опорных сечениях. В этом случае основная система будет системой однопролётных балок, соединённых на опорах шарнирами.

Изобразим основную систему (рис. 2.5, б), а затем эквивалентную систему (рис. 2.5, в) – она будет представлять ряд простых шарнирно-опёртых балок, нагруженных активными силами и неизвестными изгибающими моментами по концам.

Рассмотрим m -ое уравнение системы канонических уравнений метода сил:

Определим коэффициенты этого уравнения по формуле

В связи с тем, что основная система представляет собой систему однопролётных балок, то в m -ом уравнении отличны от нуля будут только коэффициенты δ _{m m –1}, δ _{m m},_, δ _{m m +1}. Все остальные коэффициенты обратятся в ноль, так как единичный опорный момент создаёт изгибающие моменты только в соседних пролётах АВ и ВС.

Нагружаем основную систему единичными парами сил поочерёдно в сечениях m – 1, m, m + 1 (рис. 2.5, г-е) и вычисляем коэффициенты

Далее нагружаем основную систему активными силами (рис. 2.5, ж) и определяем ∆ _mF по формуле

где Ω _m, Ω _{m + 1} – площади эпюр изгибающих моментов от активных сил, приложенных к основной системе на m -ом и (m + 1)-ом пролётах, S_m, Ω _{m + 1} – статические моменты площадей эпюр изгибающих моментов от активных сил, приложенных к основной системе на m -ом и (m + 1)-ом пролётах.

Подставим полученные значения коэффициентов в каноническое уравнение метода сил

Видно, что в полученное уравнение входят размеры и силовые факторы, относящиеся только к двум соседним пролётам АВ и ВС. Это уравнение, выражающее тот факт, что взаимный угол поворота смежных сечений пролётов АВ и ВС на m -ой опоре должен быть равен нулю.

По отношению к опоре (которую будем называть средней) опора m – 1 будет левой, а опора m + 1 будет правой, соответственно и пролёты – левый и правый.

Поэтому введём новые обозначения

M_{m –1} = M _л, M_m = M _ср, M_{m +1} = M _п, тогда

– уравнение трёх моментов.

При использовании уравнения трёх моментов последовательно рассматриваются все пары соседних пролётов, причём число пар пролётов, следовательно, и уравнений, равно числу промежуточных опор, то есть степени статической неопределимости неразрезной балки.

Если неразрезная балка имеет защемление или консоль (рис. 2.6, а), то в этих случаях поступают следующим образом:

Вместо заделки вводят две бесконечно близкие шарнирные опоры (рис. 2.6, б) (0 и 1), далее составляют уравнение трёх моментов, принимая М ₀ = 0 и l ₀ = 0. Теперь, о консоли. При раскрытии статической неопределимости силу F переносят на опору 3 (рис. 2.6, в), в результате получается на опоре действует пара сил   М ₀ = F · l ₄. Сила, приложенная к опоре, имеет значение только при определении реакций опрор, изгибающих моментов она не создаёт. Затем, при составлении уравнений трёх моментов для опоры 2, пару сил считают опорным моментом и тогда М _п = F · l ₄.

При построении эпюр поперечных сил и изгибающих  моментов силу F снова устанавливают в конце консоли. Теперь, о консоли. При раскрытии статической неопределимости силу F переносят на опору 3 (рис. 2.6, в), в результате получается на опоре действует пара сил   М ₀ = F · l ₄. Сила, приложенная к опоре, имеет значение только при определении реакций опор, изгибающих моментов она не создаёт. Затем, при составлении уравнений трёх моментов для опоры 2, пару сил считают опорным моментом и тогда М _п = F · l _4.

При построении эпюр поперечных сил и изгибающих  моментов силу F снова устанавливают в конце консоли.

Пример. Построить эпюры внутренних сил для заданной балки (рис. 2.7, а).

1) Определяем степень статической неопределимости системы: неизвестных – 4, уравнений статики – 3. Система один раз статически неопределима.

2) Выбираем основную систему – заменяем заделку фиктивным пролётом l ₁ = 0 (рис. 2.7, б).

3) Строим эквивалентную систему (рис. 2.7, в).

4) Записываем уравнение трёх моментов для эквивалентной системы

 

5) Нагружаем основную систему активной силой, строим расслоённую эпюру М _F вычисляем известные величины уравнения трёх моментов (рис. 2.7, г, д).

6) В нашем случае l ₁ = 0, l ₂ = l, М ₀ = 0, S _л = 0,

7) Подставляем полученные величины в уравнение трёх моментов и раскрываем статическую неопределимость

8) Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
(рис. 2.7, е).

Вопросы для самопроверки

1. Как производится расчёт статистически неопределяемых конструкций с помощью метода сил (последовательность расчёта)?
2. Что называется основной системой? Какие требования к ней предъявляются? 3. Что называется эквивалентной системой и почему? 4. Как записываются канонические уравнения метода сил для два раза статически неопределимых систем? 12. В чём заключается физический смысл канонических уравнений метода сил? 13. Что представляют собой коэффициенты канонических уравнений метода сил? 14. Какие составляющие канонических уравнений называют главными и как их определяют? 15. Какие коэффициенты канонических уравнений называют побочными и как их определяют? 16. Какие коэффициенты канонических уравнений называют свободными членами и как их определяют? 17. Как получают основную систему при использовании уравнений трёх моментов? 18. Как записывается уравнение трёх моментов? 17. Какой физический смысл имеют величины, входящие в уравнение трёх моментов и как их определяют? 18. Как используется уравнение трёх моментов при наличии защемления? 19 Как используется уравнение трёх моментов при наличии консоли? 20 В чём заключается генеральная проверка при расчёте статистически неопределимых конструкций?

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ БРУСА

Генеральная проверка.

Для генеральной проверки выбирается новая основная система (НОС) (рис. 3.14, а). Для этого необходимо взять все новые лишние связи. В нашем случае, за новые лишние связи примем связи на левой опоре.

Показываем новую эквивалентную систему (НЭС) и перемещения в направлении новых неизвестных (рис. 3.14, б). Эти перемещения в эквивалентной системе должны быть равны нулю.

Однако из-за погрешностей вычислений в большинстве случаев добиться нулевого результата не удаётся. Поэтому более удобно разделить силы на активные и реактивные (реакции отброшенных связей), определить перемещения в основной системе отдельно от активных сил ∆_{i А} (рис. 3.14, в) и отдельно от реактивных сил ∆ _iR
(рис. 3.14, г), а затем вычислить расхождение

Если такие соотношения выполняются по всем новым перемещениям, то статическая неопределимость раскрыта верно.

Теперь строим в эквивалентной системе (рис. 3.15, a) эпюры внутренних силовых факторов (N, Q, M) (рис. 3.15, б-в) и проводим расчёт на прочность.

– условие прочности для любого сечения.

Поскольку   (рис. 3.16), то наиболее опасным будет сечение, где действует | М| _наиб.

– условие прочности для всей рамы.

Расчёт на прочность

Это условие прочности для всей рамы и так решается первая задача сопротивления материалов. Здесь N – нормальная сила в сечении, где действует | М| _наиб.

Вторая задача – подбор размеров поперечного сечения – приводится из условия прочности при изгибе

Затем подобранное сечение проверяется по полному условию прочности.

Третья задача – определение грузоподъёмности – эта задача решается только в каждом конкретном случае.

Косой изгиб

3.3.1. Напряжения и расчёт на прочность
при косом изгибе

Вспомним плоский изгиб. Брус (рис. 3.17, а) испытывает плоский изгиб, так как прогибы лежат в плоскости изгибающих сил (в плоскости полного изгибающего момента).

Теперь, о косом изгибе (рис. 3.17, б).

Брус испытывает косой изгиб, если он нагружен силами, перпендикулярными его оси и парами сил, плоскость действия которых не совпадает ни с одной из главных плоскостей жёсткости бруса.

Изобразим поперечное сечение бруса, покажем его главные центральные оси и плоскость полного изгибающего момента. При таком изгибе, плоскость перемещений не совпадает с плоскостью полного изгибающего момента.

Приступим к выводу формулы для напряжений. Будем рассматривать частный случай, но формулу получим для общего случая.

Рассмотрим консольную балку, нагруженную силой и произвольное сечение этой балки. С – центр тяжести поперечного сечения
(рис. 3.18). Сила не лежит ни в одной из главных плоскостей жёсткости бруса, φ – угол между плоскостью действия силы и плоскостью наибольшей жёсткости бруса. В произвольном сечении  выберем любую точку с координатами х и у (в первом квадранте). В этой точке действуют нормальные напряжения σ _i (x_i, y_i, z_i), касательные напряжения не рассматриваем, так как их роль невелика. Нормальные напряжения нам и предстоит определить.

Представим косой изгиб как сумму простых деформаций. Для этого разложим силу на составляющие F_x и F_y: F_x = F ·sin φ,
F_y = F ·cos φ. Каждая составляющая вызывает плоский поперечный изгиб: F_x – в плоскости наименьшей жёсткости, a F_y – в плоскости наибольшей жёсткости бруса.

Применим принцип суперпозиции

Далее подставляем в исходную формулу значения компонент и получаем

Здесь F · z · = M – полный изгибающий момент, тогда

Это почти окончательная формула. Почему? Знак изгибающего момента может быть и положительным, поэтому в формуле нужно поставить два знака

Здесь M – полный изгибающий момент в рассматриваемом сечении, берётся по абсолютной величине, а знак перед M должен совпадать со знаком напряжений в первой четверти;

х, у – координаты точки, в которой определятся напряжение
(в главных центральных осях);