Пересечение любого семейства замкнутых множеств есть замкнутое множество

 Доказательство. 1).Пусть Х – объединение конечного числа замкнутых множеств . Если а – какая-либо предельная точка множества Х, то она должна быть также предельной точкой, по крайней мере, одного из множеств объединения. В самом деле, если а не является предельной точкой ни  ни  ..., ни , то это означает по определению предельной точки, что существует окрестность , в которой нет ни одной точки множества  существует окрестность , в которой нет ни одной точки множества ..., существует окрестность , в которой нет ни одной точки множества . Пусть  является пересечением окрестностей , ,..., . Ясно, что  есть окрестность точки а (почему?), в которой нет ни одной точки ни  ни ..., ни , а, следовательно, ни одной точки объединения Х исходных множеств, т.е. точка а не является предельной точкой множества Х, что противоречит предположению. Значит, точка а является предельной точкой, например множества . Так как  замкнуто, то , а, следовательно, , т.е. Х – замкнутое множество.

2) Если точка а есть некоторая предельная точка пересечения любого семейства замкнутых множеств, то она является предельной точкой каждого из этих множеств (почему?). Так как каждое из множеств замкнуто, то она принадлежит ему, а, следовательно, и пересечению указанных множеств.Отсюда заключаем, что и пересечение – замкнутое множество.

Заметим, что объединение бесконечного семейства замкнутых множеств может и не быть замкнутым  множеством.

Действительно, множество { x }, где х – рациональное число, является замкнутым как конечное множество, а множество всех рациональных чисел Q , где Q, не явл яется замкнутым множеством.

Точка  называется изолированной точкой множества Х, если существует окрестность О(а) этой точки, не содержащая иных точек из Х, кроме точки а.

Так все точки множества {0, 1, 2} являются изолированными точками этого множества (докажите!).

 Точка а называется граничной точкой множества Х, если в любой ее окрестности содержатся как точки, принадлежащие множеству Х, так и точки ему не принадлежащие. Множество всех граничных точек множества Х называется его границейи обозначается .

Заметим, что граничная точка множества Х может быть либо изолированной точкой этого множества, если в некоторой окрестности ее содержится лишь одна точка а этого множества Х, либо предельной, если в любой окрестности этой точки есть точки множества Х, отличные от а.

 Так, граничными точками отрезка [0, 1] являются его концы (докажите!), которые одновременно являются его предельными точками. Граница отрезка , т.е. граница принадлежит самому множеству. Для множества (0, 1) граничными точками будут точки 0 и 1, однако здесь граница , т.е. граница не принадлежит самому множеству.

Значит, граничные точки могут как принадлежать множеству так и не принадлежатьему. Можно доказать, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит свою границу.

Всякое ограниченное замкнутое множество называется компактным множеством (или компактом). Например, отрезок [ a, b ] – компактное множество. Любое конечное множество также является компактом. Компактные множества играют важную роль в математическом анализе и других науках.

Вопросы и задания для самопроверки.

1. Дайте определение окрестности точки. Приведите примеры окрестностей.

2. Докажите, что в любой окрестности О(а) точки а содержится симметричная -окрестность , и наоборот. Приведите конкретные примеры.

3. Дайте определение внутренней точки множества и открытого множества. Приведите примеры открытых множеств.

4. Докажите, что интервал (a, b) – открытое множество.

5. Докажите, что объединение любого семейства открытых множеств – открытое множество. Приведите примеры.

6. Докажите, что пересечение конечного числа открытых множеств – открытое множество. Приведите примеры.

7. Может ли быть открытым пересечение бесконечного семейства открытых множеств? Приведите примеры.

8. Что такое предельная точка множества?

9. Всегда ли предельная точка множества принадлежит множеству? Приведите примеры.

10. Докажите, что множество {0, 1, 3} не имеет предельных точек. Имеет ли оно внутренние точки?

11. Докажите, что каждая точка отрезка [a, b] является предельной точкой этого можества.

12. Докажите, что точки a и b интервала (a, b) являются предельными точками этого множества.

13. Докажите, что в любой проколотой окрестности предельной точки а множества Х содержится бесконечно много различных точек данного множества.

14. Дайте определение замкнутого множества. Приведите примеры.

15. Может ли быть замкнутым открытое множество?

16. Приведите примеры открытых ограниченных и неограниченных множеств.

17. Может ли быть замкнутым неограниченное множество? Приведите примеры.

18. Докажите, что объединение двух замкнутых множеств – замкнутое множество. Приведите примеры.

19. Докажите, что пересечение любого семейства замкнутых множеств – замкнутое множество.

20. Приведите пример объединения бесконечного семейства замкнутых множеств, которое не является замкнутым множеством.

21. Дайте определение граничной точки множества. Всегда ли граничная точка множества принадлежит этому множеству?

22. Докажите, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит свою границу.

23. Какое множество называется компактным? Приведите примеры компактных и некомпактных множеств.

Упражнения.

1. Может ли быть пересечение открытого и замкнутого множества открытым?, замкнутым?, компактным множеством?

2. Докажите, что всякое конечное множество – компактное множество.

3. Будет ли объединение двух компактных множеств компактным множеством?

4. Всегда ли пересечение двух компактных множеств – компактное множество?

5. Является ли пересечение компактного множества и ограниченного множества компактным множеством?

6. Являются ли компактными множества: ? ? ? ? ? ?