Метод математической индукции.

 Нематематическая индукция играет существенную роль в математическом исследовании.

Иса й Шур

Всякое рассуждение, содержащее переход от частных рассуждений к общему, называется индукцией.

 Рассмотрим некоторые примеры рассуждения по индукции. Так, значения многочлена  при  равны соответственно 41, 43, 47 и являются простыми числами,т.е. числами, которые делятся только на единицу и на себя нацело. Но отсюда еще не следует, что значения этого многочлена будут простыми числами при любом целом положительном значении х. Например, при  значение этого многочлена равно  и уже не является простым числом. Приведем еще один пример. Выдающийся немецкий математик Лейбниц доказал, что при всяком целом положительном n выражение  делится на 3, выражение  делится на 5, а выражение  делится на 7. Из этих частных случаев он сделал общий вывод о том, что всякое выражение вида , где k – целое положительное нечетное число, делится на k, и сам же заметил, что число  уже не делится на 9. Отсюда вытекает, что делать общие выводы по индукции (на основании конечного числа частных случаев!) нужно с большой осторожностью. Общий вывод можно сделать лишь тогда, когда рассмотрены все возможные частные случаи. Еще один пример. Найдем сумму S(n) первых n нечетных чисел натурального ряда. Очевидно,  S(3) Мы замечаем, что сумма нечет

ных чисел равна квадрату от числа взятых нечетных чисел. Верен ли этот вывод для любого числа взятых нечетных чисел? Чтобы в этом убедиться, поступим слдующим образом. Предположим, что данное утверждение верно для случая, когда число взятых нечетных чисел равно n, т.е. что утверждение  верно. Рассмотрим теперь сумму n+1 первых нечетных чисел  Оказалось, что и сумма S(n+1) первых нечетных чисел равна квадрату от их числа. Следовательно, из того, что утверждение верно для n=1 (мы это проверили), вытекает, что оно верно и для , а так как оно верно для  то оно верно и для  и т.д.. И мы, таким образом, проверяем сделанное заключение для   охватывая все возможные случаи. На этом примере мы показали, как незначительно изменив правило, названное индукцией, получить строгий метод доказательства, называемый методомматематической индукции. Сущность его заключается в следующем. Чтобы доказать, что некоторое утверждение верно для любого натурального числа n, начиная с n_o, достаточно доказать:

1)что  это утверждение верно для ;
2)   что утверждение справедливо для n +1,предполагая, что оно       имеет место для некоторого натурального n ³ n_o

Пример 1. Доказать, что сумма S(n) первых n членов натурального ряда равна                                                                      

Решение. При  имеем  и условие 1) метода математической индукции верно. Предположим, что формула верна. Тогда:  и условие 2) выполнено. Следовательно, формула верна для любого натурального числа n. Так, например,

Пример 2. Доказать, что сумма S(n) квадратов первых n членов натурального ряда равна                                         

Решение.

При  формула    верна, так как

Пусть эта формула верна, тогда:   и, следовательно, формула  верна для любого натурального числа n. Например,

Пример 3. Доказать, что сумма S внутренних углов выпуклого n-угольника равна                              

                  Решение.

Рассмотрим выпуклый 6-угольник. Возьмем внутри него произвольную точку О и соединим ее с вершинами.Таким образом, мы разобьем этот многоугольник на 6 треугольников. Очевидно, сумма внутренних углов этого шестиугольника будет равна  (мы здесь вычли сумму углов с вершиной в точке О). Если взять 8-угольник, то рассуждая аналогично, получим что  Легко заметить общую закономерность, что  Чтобы убедиться в достоверности вывода воспользуемся мето 

 

Дом

 

 

дом математической индукции. При  мы будем иметь треугольник, и , что справедливо. Пусть формула верна. Рассмотрим (n+1)-угольник, который разобъем на (n+1) треугольников. Сумма его внутренних углов равна:  т.е. формула верна при n+1. Значит, условия 1) и 2) выполнены, и утверждение верно.Заметим,что сделанный вывод верен для любого многоугольника.

Пример 4. Доказать, что для арифметической пргрессии  верны формулы                     ,                                                                                                 

Решение. Докажем первую формулу.Очевидно,она верна при n=1.

Пусть формула верна, тогда  и она верна при n+1. Выполнены условия метода математической индукции, что позволяет утверждать справедливость формулы для вида общего члена арифметической прогрессии.. Доказательство второй формулы мы оставляем читателю.

Пример 5. Доказать, что для геометрической пргрессии  верны формулы                        ,                                                                                          

Решение. Первую формулу мы предлагаем читателю доказать самостоятельно. Докажем  вторую формулу. При  имеем  и формула верна. Если формула верна, то  т.е. формула  верна и при n+1. Следовательно, она верна для любого натурального числа n. Полагая  в формуле, получим, что

                       .                              

Пример 6. Доказать неравенство Бернулли

                                             

Решение. 1) Если , то , и неравенство верно.

2) Если неравенство верно для n, то  [так как ]  Отбрасывая неотрицательное число , получим  т.е. неравенство верно также и при n+1.

Пример 7. Доказать, что  для

Решение. При  и  это неравенство не выполнено, но уже при  оно верно, ибо  

1) Если формула  верна для n, то  и условие 2) метода математической индукции выполнено.

Пример 8. Используя метод математической индукции, доказать, что для  верна формула

                        

Решение. При  формула превращается в формулу разности квадратов двух чисел , и, значит, верна. Предположим, что формула верна. Тогда

 Следовательно, из того, что формула) верна при  вытекает, что она верна и при  а из того, что она верна при  следует, что она верна при  и т.д.. В частности,

                                          ,

                       ,

                                          ,

                      

Пример 8. Доказать формулу бинома Ньютона [5]

                                                                                                                                                                                    Эту формулу можно записать короче, если ввести обозначения :

                                                                           Решение. При  формула верна, так как  так как Она верна и при  потому что  При  получим известную формулу куба суммы двух чисел:  (проверьте!) Предположим теперь, следуя методу математической индукции, что формула справедлива с показателем равным n. Докажем, что отсюда вытекает справедливость ее с показателем n+1. Имеем:

так как по предположению формула с показателем n верна. Выделяем из первой суммы член, получаемый при , а из второй суммы – член, соответствующий

 потому что  (проверьте!),

Значит, формула верна и с показателем равным n+1. Условия математической индукции выполняются. Отсюда заключаем, что формула верна.

Вопросы и задания для самопроверки.

1. Что называется индукцией?

2. Всегда ли верно заключение, сделанное по индукции? От чего зависит справедливость заключения по индукции?

3. Сформулировать метод математической индукции.

4. Обосновать необходимость выполнения двух условий 1) и 2) в методе математической индукции.

5. В каких случаях применяют метод математической индукции?

6. Вывести формулу разложения для разности

7. Вывести формулу для суммы n первых членов геометрической и арифметической прогрессии.

8. Вывести формулу для общего члена геометрической и арифметической прогрессии.

9. Доказать формулу бинома Ньютона.

10. Доказать, что

11. С помощью формулы бинома Ньютона вывести формулу

Упражнения.

1. Доказать, что

2. Доказать, что  для

3. Верно ли неравенство ?

4. Докажите, что неравенство  верно для

5. Доказать, что

6. На сколько треугольников может быть разбит своими непересекающимися диагоналями n-угольник (не обязательно выпуклый)? Ответ:

 

Л и т е р а т у р а.