Найдите пересечение множества всех треугольников и множества всех равнобедренных треугольников.

Найдите пересечение множества всех параллелограммов с множеством всех четырехугольников с равными сторонами.

Найдите пересечение множества нечетных чисел и множества целых чисел, делящихся на 3. Конечно или бесконечно это множество?

Высшее назначение математики... состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.

Н. Винер

Модуль числа.

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа х называется само число х, если х ³ 0, и противоположное число -х, если х < 0. Модуль числа х обозначается | х |.

 Согласно определению

    (6.1)  

Например, |3|=3, |0|=0, |-5|=-(-5)=5.

Геометрически модуль числа х есть расстояние от начала отсчета на числовой оси до точки М с координатой х.

  М(х) М(-3) |-3|=3                  |4|=4     M(4)

Модуль числа обладает следующими свойствами:

1.       |x| = |-x|,                                                                                   

2.             |-x| £ х £ |x|,                                                    

3.       |x| £ a Û -a £ x £ a (a ³ 0) ,                                                 

4. Неравенство  |x| ³ a (a ³ 0)     равносильно двум неравенствам

 х ³ а и х £ -а,

         |x| ³ a                                                        |x| ³ a

| | | | | | | | | | | | | | | ·               |               · | | | | | | | | | | | | | | |

       x £ -a    -a              0              a     x ³ a

5.    Модуль произведения равен произведению модулей

                                            

                                                |x × y| = |x| × |y| ,   

6.   ,модуль частного равен частному модулей,

                                    

Для любых действительных чисел х и у имеет место неравенство треугольника (сумма длин двух сторон треугольника не меньше третьей стороны  )

                                            |x+y| £ |x| + |y|,                                                    

8. |x-y| ³ ||x|-|y|| (длина любой стороны треугольника не меньше по модулю разности длин двух других его сторон).                                                            

Доказательства свойств 1-6

 вытекают непосредственно из определения модуля. Докажем свойства 7 и 8. На основании свойства 2 для любых чисел х и у имеем -|x| £ х £ |x|, -|y| £ y £ |y|. Складывая эти неравенства, находим, что (|x+y|) £ х+у £ |x| + |y|. По свойству 3 получаем неравенство 7. Пусть теперь х=(х-у)+у. Тогда |x|=|(x-y)+y| £ |х-у|+y по формуле 7, то есть |x-y| ³ |x|-|y|. C другой стороны |y|=|(y-x)+x|. По формуле 7 имеем |y| £ |y-х|+x. Отсюда |x|-|y| ³ |y-x|. Значит,||x|-|y|| £ |x-y|. Заметим, что величина |x-y| есть расстояние на числовой оси между точками М и Т с координатами х и у соответственно (независимо от их расположения).

                         М(х) |x-y| T(y)

                           ·               ·        ·

                       x              y              0

    Из определения модуля вытекает, что

                                                                                     (6.2)

Вопросы для самопроверки.

Привести определение модуля действительного числа.

В чем заключается геометрический смысл модуля числа?

Запишите с помощью модуля расстояние между двумя точками М(3) и Т(-7) на числовой оси.

4. Опишите с помощью модуля множество точек числовой прямой, удаленных от точки  на расстояние меньшее 2, большее 3, равное 1, меньшее или равное 2.

5. Для каких x, y верно равенство ?

6. При каких условиях выполняются равенства:
?

Докажите свойства 7, 8 модуля числа.

8. Дайте геометрическое истолкование неравенствам:

Перечислите свойства модуля.

10. К какой из точек  и  ближе точка ?