Точные границы множества могут принадлежать множеству и могут не принадлежать ему.

Так, точная верхняя граница sup {-1, -2, -3,...}  принадлежит этому множеству. не принадлежит множеству ,  не принадлежит ему,  принадлежит этому множеству.

Считают, что , если множество Х не ограничено сверху, , если множество Х не ограничено снизу. Значит, . Полагают, что inf Æ , sup Æ .

Из сказанного выше вытекает, что всякое числовое множество имеет точную нижнюю границу (конечную или бесконечную) и точную верхнюю границу (конечную или бесконечную ).

Пусть М – наибольший элемент числового множества Х, т.е. . Тогда  (докажите!). Если же m – наименьший элемент числового множества Х, т.е. , то  (докажите!).

Заметим,что множество может не иметь ни наибольшего,ни наименьшего элемента,но иметь точные границы. Например, . Однако, множество (0,1) не имеет ни наименьшего,ни наибольшего элемента (докажите!).

Вопросы и задания для самопроверки.

Какое множество называется ограниченным сверху (снизу), ограниченным?

Ограничено ли пустое множество?

Всегда ли объединение двух ограниченных множеств есть ограниченное множество?

Всегда ли пересечение двух ограниченных множеств есть ограниченное множество?

Что такое верхняя (нижняя) граница множества?

6. Приведите примеры ограниченных и неограниченных множеств.

Сколько верхних (нижних) границ имеет множество ограниченное сверху (снизу)?

8. Верно ли утверждение, что ? Приведите примеры.

9. Верно ли утверждение, что ? Приведите примеры.

Докажите, что множество не может иметь двух различных точных верних (нижних граней).

Назовите свойства точных граней множества.

12. Может ли точная верхняя (нижняя) граница множества Х принадлежать ему? Приведите примеры.

13. Может ли верхняя (нижняя) граница множества Х принадлежать множеству Х? Приведите примеры.

Докажите свойства точных границ множества.

Упражнения.

 

1. Найдите наибольший и наименьший элементы множества .Является ли число 5 верхней границей множества ?

2. Имеет ли множество  наименьший элемент?, наибольший элемент? Найдите точные границы этого множества.

3. Ограничено ли множество ? Найдите точные границы этого множества.

4. Имеет ли множество рациональных чисел в промежутке [0, 1) наименьший элемент?, наибольший элемент? Является ли  верхней границей множества рациональных чисел в промежутке [0, 1)?

5. Ограничено ли множество ?

6. Ограничено ли множество ?

7. Найдите точные границы множества .

8. Укажите точные границы множества .

9. Пусть Х – множество всех рациональных чисел, удовлетворяющих неравенству . Найти sup X, inf X.

Решение. Неравенство  равносильно неравенству . Извлекая корень, получим, что . Очевидно, наименьшей из верхних границ будет число 2, т.е. . Так как множество Х неограничено снизу, то .

10. Найти sup X, inf X, если Х-множество рациональных чисел, удовлетворяющих неравенству .

11. Пусть . Найдите точные границы указанного множества.

 

 

12. Ограничено ли множество всех целых чисел, делящихся на 3? Ограничено ли оно сверху? Ограничено ли оно снизу?

13. . Найдите sup X, inf X.

14. Ограничено ли множество  снизу? Ограничено ли оно сверху?

Математика учит точности мысли, подчинению логике доказательств, понятию строго обоснованной истины, а все это формирует личность, пожалуй, больше, чем музыка.

Александров А.Д.