График четной функции является симметричным относительно оси ОУ .

  Если же функция f является нечетной, то графику функции одновременно принадлежат точки с координатами  это означает, что

  график нечетной функции является симметричным относительно начала координат О.             

Заметим, что

  всякую функцию, которая задана на симметричном множестве, можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

 В самом деле, пусть f задана на симметричном множестве Х. Тогда

     

Очевидно, , т.е.  является четной функцией, , т.е.  – нечетная функция.

      Функция  представляет пример четной функции, т.к.  для любого действительного числа х. Так как , то функция знака  является нечетной.

      Функция , заданная на всей числовой оси, не является ни четной, ни нечетной (почему?). Представим ее в виде суммы четной и нечетной функций. Имеем:

. Очевидно,  является четной функцией, а  – нечетной функцией. Значит, .

Множество точек плоскости,удовлетворяющих уравнению j (x, y)=0, называется графиком этого уравнения.

Если j (- x, y)= j (x, y), то график уравнения симметричен относительно оси ординат, если же j (x,- y)= j (x, y), то он симметричен относительно оси абсцисс, при выполнении условия j (- x,- y)= j (x, y) график будет симметричным относительно осей координат (почему?).

К примеру, уравнение j (x, y)= 0  удовлетворяет условию j (- x,- y)= j (x, y), так как   по свойству модуля,и,значит, график этого уравнения симметричен относительно осей координат.Для постоения графика достаточно построить его часть,расположенную в первой четверти,а затем зеркально отобразить эту часть относительно осей координат. В первой четверти j (x, y)=х+у-1=0, и графиком уравнения будет часть прямой,которая находится в первой четверти.

Периодические функции.

      Многие явления в природе и технике являются повторяющимися во времени (периодичными)процессами. Например, движение стрелок часов, планет, приливы, электромагнитные волны и др.Изучение указанных явлений приводит нас к периодическим функциям.

Функция определенная на множестве Х, называется периодической с периодом T >0, если выполняются условия:

1) если  то и ;

2)

График периодической функции изображен на рисунке. Легко показать, что, если T >0 есть период заданной функции, то всякое число вида kT, где k – целое число, также является периодом этой функции. Действительно,=f((x+T)+T)=f(x+T)=f(x), так как , и т.д. Аналогично: f(x-T)=f((x-T)+T)=f(x), так как , и т.д. Наименьший положительный период функции f называется ее основным периодом. Для постоянной функции любое число  является периодом. Однако, она не имеет основного периода, так как во множестве действительных положительнвых чисел нет наименьшего числа.

      Для построения графика периодической функции достаточно построить его на любом отрезке длины Т.

   Выполняя параллельный перенос графика на Т единиц влево и вправо вдоль оси ОХ, получим весь график функции. Так функции  являются периодическими с периодом равным , а функции  -периодическими с периодом равным .

      Периодические функции обладают следующими свойствами:

1. Если Т – период функции f (x), то функция  имеет период равный .

Действительно,

.

Так, функция  имеет период равный , т.к. функция  имеет период , а .

2. Если периоды  соответственно функций  соизмеримы, то сумма (разность), произведение этих функций являются периодическими функциями.

В самом деле,пусть отрезки длины  соизмеримы, т.е. , где m и n – натуральные числа. Тогда . Рассмотрим функцию   и  докажем, что она является периодической с периодом . Имеем:  Свойство 2 доказывается   таким же способом для разности и произведения функций.

Найдем период функции у= Sin 2 x + Cos 3 x. Период функции Sin 2 x равен , а функции Cos 3 x равен    по свойству 1.Далее, т.е. Следовательно, периодом данной функции будет число Т=2p. Функция у= Sin x + Cos 3 x не является периодической,так как отношшение периода первой функции  к периоду второй   не является рациональным числом, так как иррациональное число.

    4.Монотонные функции.

Функция  заданная на множестве Х, называется:
возрастающей, если для любых  и  из Х, таких, что < , выполняется неравенство  ,неубывающей, если для любых  и  из Х, таких, что < , выполняется неравенство  ,убывающей, если для любых  и  из Х, таких, что < , выполняется неравенство ,невозрастающей, если для любых  и  из Х, таких, что < , выполняется неравенство  .

      Заметим, что неубывающая и невозрастающая функции могут принимать в различных точках равные значения. (см. рис. 23 и 25).

Возрастающая функция характеризуется тем, что из любых двух точек на графике правая лежит выше левой, т.е. при движении слева направо график функции поднимается (см. рис. 22). Если же функция убывающая, то ее график при движении слева направо график функции опускается (см. рис. 24). Для неубывающей функции график не опускается (рис. 23), для невозрастающей – не поднимается (рис. 25).

Функции, удовлетворяющие любому из указанных выше условий, называются монотонными. При этом возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными (или  монотонными в «строгом смысле»), а неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными «в широком смысле». ункция называется кусочно-монотонной, если область ее определения можно разбить на «части», на которых она монотонна. Так, функция является кусочно-монотонной на R. В самом деле, множество R разобъем на две  является кусочно-монотонной на R. В самом деле, множество R разобъем на две

 «части» , . На промежутке  функция убывает, а на промежутке  возрастает. Функции  также являются кусочно-монотонными на R.

Вопросы и задания для самопроверки.

1. Приведите определение функции, области определения и области изменения функции.

2. Определяет ли формула  переменную х как функцию переменной у? Найдите . Постройте график данной функции.

3. Определяет ли формула  переменную у как функцию переменной х?

4. При каких условиях формула  определяет функцию ? Функцию ? Постройте графики этих функций.

5. Приведите определение четной и нечетной функций.

6. Можно ли всякую функцию представить в виде суммы четной и нечетной функций?

7. Может ли быть четной (нечетной) сумма, разность, произведение и частное четной и нечетной функций? Приведите примеры.

8. Приведите определение периодической функции.

9. Всегда ли сумма (разность) двух периодических функций является периодической функцией?

10. При каких условиях сумма (разность) двух периодических функций является периодической функцией?

11. Является ли произведение двух периодических функций периодической функцией? Приведите примеры.

12. Приведите определения возрастающей, неубывающей, убывающей, невозрастающей функций. Приведите примеры.

13. Всегда ли сумма двух возрастающих (убывающих) функций является возрастающей (убывающей) функцией? Приведите примеры.

14. Что можно сказать о характере монотонности суммы убывающей и возрастающей функций? Приведите примеры.

15. Что можно сказать о характере монотонности произведения (частного) двух монотонных функций? Приведите примеры.

16. Найдите область определения функций:

1.             2.           3.

4.   5. 6.

7.   8. ,          9.

10.         11. 12.

13. 14.          15.

16.       17.                   18.

19.                              20.            21.

17. Исследовать на четность функции:

1.   2.          3.

4. 5. 6.

7.      8.         9.

10.                  11.                 12.

13.                        14.          15.

Доказать, что функция  является нечетной. Решение. Подставляем -х вместо х в  выражение для f(x):

 

4.            5.    6.

7. 8.        9.

10.                11.     12.

20. Приведите примеры функций, имеющих следующие периоды: 1) , 2) , 3)

21. Найти период функции

Решение. Функция  имеет период , функция  – период , функция  – период . В соответсвии со свойством 2 периодических функций наша функция является периодической с периодом , т.к. отрезки , ,  – соизмеримы. Действительно, .

22. Доказать, что функция  строго возрасает на множестве R.

Решение.  Пусть  – произвольные числа, причем . Покажем, что . Для этого рассмотрим разность  т.к. все сомножители в правой части положительны.

23. Докажите, что указанные ниже функции являются строго монотонными на указанных промежутках:

1.                 2.    3.

4.              5.           6.

7.               8.           9.

10. 11.

24. Найти промежутки монотонности функций:

1.                             2.             3.

4.                            5.                    6.

7.         8.

25. Являются ли кусочно-монотонными следующие функции:

1.                        2.                        3.

4.      5.

6.              7. 8.

25.Являются ли кусочно-монотонными следующие функции:

1.                        2.                        3.

4.      5.

6.              7. 8.