Пересечение любого конечного семейства открытых множеств есть открытое множество.

Доказательство.

1) Действительно, если точка а принадлежит объединению открытых множеств, то она принадлежит по крайней мере, одному из этих множеств, которое по условию теоремы является открытым. Значит, ему принадлежит некоторая окрестность О(а) точки а, но тогда эта окрестность принадлежит и объединению всех открытых множеств. Следовательно, точка а является внутренней точкой объединения. Так как а – произвольная точка объединения, то оно состоит лишь из внутренних точек, и, значит, по определению является открытым множеством.

2) Пусть теперь Х – пересечение конечного числа открытых множеств . Если а есть точка множества Х, то она принадлежит каждому из открытых множеств , и, следовательно, является внутренней точкой каждого из открытых множеств. Другими словами, существуют интервалы , которые целиком содержатся соответственно в множествах . Обозначим через  наименьшее из чисел . Тогда интервал  будет содержаться одновременно во всех интервалах , т.е.  будет целиком содержаться и в , и в ,..., и в , т.е. . Отсюд а заключаем, что любая точка является внутренней точкой множества Х, т.е. множество Х является открытым.

Из этой теоремы следует, что пересечение конечного числа окрестностей точки а есть опять окрестность этой точки. Заметим, что пересечение бесконечного числа открытых множеств не всегда является открытым множеством. Например, пересечением интервалов ,… является множеством, состоящее из одной точки а, которое, не является открытым множеством (почему?).

Точка а называется предельной точкой множества Х, если в любой проколотой окрестности  этой точки имеется, по крайней мере, одна точка множества Х.

      Так, точка  является предельной точкой отрезка [0, 1], так как в любом проколотом интервале  точки  есть точка, принадлежащая этому отрезку. Например, точка , удовлетворяющая неравенству . И таких точек, очевидно, много.

                                    

 

Легко доказать, что каждая точка отрезка [ 0, 1] является предельной точкой данного отрезка. Другими словами, отрезок [0, 1] сплошь состоит из своих предельных точек. Аналогичное утверждение справедливо для любого отрезка. Заметим здесь, что все предельные точки множества [0, 1]  принадлежат этому отрезку. Очевидно также, что все точки отрезка [0, 1], будут предельными точками для интервала (0, 1) (докажите!). Однако, здесь уже две предельные точки 0 и 1 не принадлежат интервалу (0, 1). На данных примерах мы видим, что

 

  предельные точки множества могут принадлежать ему и могут не принадлежать. Можно доказать, что в любой проколотой окрестности  предельной точки а множества Х имеется бесконечно много точек множества Х.

Множество Х  называется замкнутым множеством, если оно содержит все свои предельные точки.

 

Так, всякий отрезок есть замкнутое множество. Интервал (0, 1) не является замкнутым множеством, так как ему не принадлежат две его предельные точки 0 и 1. Множество всех рациональных чисел Q не является замкнутым, так как не содержит некоторые свои предельные точки. В частности, число  является предельной точкой множества Q (докажите!), но Q.

Так как каждая точка множества R является предельной точкой этого множества и принадлежит ему, то R – замкнутое множество.

  Пустое множество условимся также считать замкнутым, так как оно содержит все свои предельные точки,которых у него нет.

  Всякое конечное множество является замкнутым, так как множество его предельных точек является пустым множеством Æ, которое принадлежит самому множеству.

  Замкнутые множества могут быть ограниченными, например, отрезок [0, 1], и неограниченными, например, множество действительных чисел R.Верна

Теорема:

1) Объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество;