Что такое рациональное число? иррациональное число?

Может ли быть сумма, произведение, частное двух иррациональных чисел  рациональным числом?

Что такое пустое множество? конечное множество? бесконечное множество?

4. Приведите примеры конечных и бесконечных множеств.

Что такое подмножество данного множества?

6. Назовите все подмножества множества {1,-3, 2, }.

Может ли множество содержать одинаковые элементы?

Какие множества называются равными?

Что такое взаимно однозначное соответствие между элементами двух множеств?

Существует ли взаимно однозначное соответствие между элементами множества N и элементами множества Z?

Какие множества называются эквивалентными?

12. Приведите примеры эквивалентных множеств.

13. Являются ли эквивалентными множества [0,1] и R?

Какое множество называется счетным?

15. Приведите примеры счетных множеств.

Всякое ли бесконечное множество имеет счетное подмножество?

Верно ли, что всякое подмножество счетного множества конечно или счетно?

Счетно ли множество рациональных чисел?

Соизмеримы ли высота правильного треугольника с его стороной, если сторона равна 1?

20. Установите взаимно однозначное соответствие между множествами [0, 1] и [ a, b ]; [0, 1] и [0, ).

Упражнения.

1. Доказать, что число +  является иррациональным числом.

Решение.

 Предположим противное, т.е., что число +  является рациональным. Тогда число -  =  будет также рациональным, как частное двух рациональных чисел 1 и + . Отсюда вытекает, что число  = ( + ) - ( - ) является рациональным, как разность двух рациональных чисел, что противоречит иррациональноти числа . Значит, наше предположение ложно, и число +  есть иррациональное число.

2. Доказать иррациональность чисел:

Сравните числа:

1)  -  и  - 2,        2)  -  и - 2,      3) - 1 и - 2,

4)  -  и 2 - , 5) и , 6)  и , 7)   и .

Установите, какие из записей верны:

                1) {3,4} Î {3,4,{1,3,4}},       2) {3,4} Ì {3,4,{1,3,4}},

                3) {5,7} Î {1,2,{5,7,},-3},       4) {5,7} Ì {1,2,{5,7,},-3}.

Описать указанные множества перечислением всех их элементов:

1) {x Î R | x² -5x+6=0}, 2) {x Î R | x² -5x+6 ³ 0},  3) {x Î R | x² -5x+6<0},

4) {x Î R | x² -7x+6 > x }, 5) {x Î R | (x-1)(x-2)(x-3) > 0}, 6) {x Î R | > 1},

7) {x Î R | },     8) {x Î R | > 0}, 9) {x Î R | x³ -3x² +2x=0},

10) {x Î Z | < 15}, 11) {x Î Z | < 2},   12) {x Î R | sin² x= },

13) {x Î R | }, 14) {x Î R | x=sin x},      15) {x Î R | x < },

16) {x Î Q | sin x cos x=1},                                      17) {(x,y) Î R² | (x² -1)(y+2)=0}, 18) {(x,y) | x² +y² £ 5},
19) {(x,y) Î R² | sin² x+cos¹⁰ y=2},                   20) {(x,y) Î R² | sin² x-3sinx+2=0},

21) {x Î R | }, 22) {x Î Z | x² < }, 23) {x Î Z | lg(x-3)+3lg2=lg(3x+1)},
24) {x Î N | },               25) {x Î N | }.

Изобразить на координатной плоскости множества:

1) {(x,y) Î R² | 11x-7y=4}, 2) {(x,y) | 3x-5y=7, 2x-7y=1}, 3) {(x,y) | y=x² -5x+4},

4) {(x,y) | y>x² -5x+4}, 5) {(x,y) | x<y² -4y+3},  6) {(x,y) | x² -5x+y² -4y=0},

7) {(x,y) | y² -x² =0},     8) {(x,y) | },      9) {(x,y) | },

10) {(x,y) | }, 11) {(x,y) | y² -y+1=x},  12) {(x,y) | y= },

13) {(x,y) | x= },      14) {(x,y) | },     15) {(x,y) | y=log _x },

16) {(x,y) | log_x 2=log_y 2}, 17) {(x,y) |   , x Î N}, 18) {(x,y) | 4^x +2^x -2=0},
19) {(x,y) | sin² x-4sinx+3=0, y Î R},    20) {(x,y) | y Î N, sinx+cosx=1}.

Великая книга природы написана языком математики.

Г. Галилей [4]

Операции над множествами.

Введем операции над множествами и дадим наглядную иллюстрацию их с помощью кругов Эйлера, точки которых схематически изображают элементы множеств. Пусть А и В некоторые множества.

Множество А È В, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А или множеству В, или принадлежащих множествам А и В одновременно, называется объединением множеств А и В Очевидно, А È Æ =А, А È А=А; если А Ì В, то А È В=В. Операция объединения множеств распространяется на любое число множеств. Объединением любого числа множеств считается множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из заданных множеств.

Пусть А={x Î R ½ x²-5x+6=0}, В={x Î R ½ ÎR},
              С={x Î R ½  }. Очевидно, что А={2,3}, В={0}, С= Æ. Поэтому А È В È С={0,2,3}.