Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Кольцо, полукольцо, алгебра множеств и их свойства.↑ Стр 1 из 2Следующая ⇒ Содержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Кольцо, полукольцо, алгебра множеств и их свойства.
Для введения понятия меры нам понадобится класс множеств, удовлетворяющий по отношению к введенным операциям некоторым определенным условиям замкнутости. Пусть задано непустое множество X; P(X) – семейство его подмножеств. Определение 1. Непустое семейство K P(X) называют кольцом подмножеств, если оно обладает тем свойством, что из выполнения условий A K и B K вытекает, что A B K; A B K. Утверждение 1. Пусть K P(X)– кольцо. Тогда для любых множеств A,B K выполнено A B K, A\B K и B\A K. Таким образом, кольцо множеств замкнуто по отношению к взятию суммы и пересечения, вычитанию и образованию симметрической разности. Определение 2. Кольцо K называется алгеброй, если все X K. X в этом случае называется единицей кольца. Определение.3. Непустая система S P(X) подмножеств множества X называется полукольцом, если она содержит пустое множество, замкнута по отношению к операции пересечения и обладает тем свойством, что если A,B S, то найдется конечная система C1,…,Cn попарно непересекающихся множеств из S, что A \B = Ck: Внешняя мера множества и ее свойства. Определение 1. Внешней мерой множества A X называется число (A) R такое, что (A) =inf m(Ai), Ai K(S). Утверждение 1.6.1. Внешняя мера как функция, заданная на X; является продолжением меры m; заданной на K(S). Внешняя мера в общем мерой не является. Свойство 1. Если A K(S), то (A) = m(A). Свойство 2 (Неотрицательность). Для любого множества A X: (A) 0, () = 0 Свойство 3 (Монотонность). Пусть A,B X и A B, тогда (A) (B). Свойство 4 (Счетная полуаддитивность). Для любой последовательности множеств B1,B2,… X имеет место неравенство ( Bi) (Bi). Свойство 5. Для любых A,B X выполнено | (A) - (B)| (A B). Свойство 6. Пусть A,B,C X тогда (A B) (A С)+ (B С). Определение 2. Внутренней мерой множества A X называется число (A) = (X) - (X \ A). Свойство 7. Пусть A X, тогда (A) (A)
Измеримые функции и алгебраические операции над ними
Введем ряд понятий, которые нам понадобятся в дальнейшем. Множество X, на котором задана некоторая σ-алгебра его измеримых подмножеств Σ называется измеримым пространством и обозначается (X,Σ). Измеримое пространство, на котором задана мера, называется пространством с мерой и обозначается (X,Σ,µ). Иногда пространство с мерой мы будем обозначать просто X. В дальнейшем мы будем предполагать, что µ – σ-аддитивная полная мера. Определение Пусть X – пространство с мерой. Действительная функция f: X → называется измеримой, если для любого c ∈ R множество = {x: f(x) < c} измеримо (здесь – расширенная числовая прямая). Комплекснозначная функция g+ih измерима, если измеримы ее действительная и мнимая части. Лемма Числовая функция f: X → измерима тогда и только тогда, когда для любого c ∈ R измеримо одно из множеств {x: f(x) 6 c}, {x: f(x) > c}, {x: f(x) > c}. Теорема Пусть f: X → – измеримая функция. Тогда для любой измеримой функции g: → их композиция h = g ◦ f также измерима на X. Будем говорить, что две определенные на множестве X функции эквивалентны, если они равны между собой почти всюду, т. е. равны между собой для всех x ∈ X за исключением, быть может, точек, принадлежащих множеству нулевой меры. Лемма Функция f(x), определенная на множестве X и эквивалентная на нем измеримой функции g(x), так же измерима. Доказательство. Из определения эквивалентности вытекает, что множества {x: f(x) < c} и {x: g(x) < c} могут отличаться друг от друга лишь на множестве меры нуль. ⊗ Теорема Пусть (X,Σ,µ) – пространство с мерой и f,g: X → – измеримые функции. Тогда функции αf, , f ±g, f ·g, f/g (при условии, что g(x) ≠ 0 на X), α ∈ R, измеримы.
Кольцо, полукольцо, алгебра множеств и их свойства.
Для введения понятия меры нам понадобится класс множеств, удовлетворяющий по отношению к введенным операциям некоторым определенным условиям замкнутости. Пусть задано непустое множество X; P(X) – семейство его подмножеств. Определение 1. Непустое семейство K P(X) называют кольцом подмножеств, если оно обладает тем свойством, что из выполнения условий A K и B K вытекает, что A B K; A B K. Утверждение 1. Пусть K P(X)– кольцо. Тогда для любых множеств A,B K выполнено A B K, A\B K и B\A K. Таким образом, кольцо множеств замкнуто по отношению к взятию суммы и пересечения, вычитанию и образованию симметрической разности. Определение 2. Кольцо K называется алгеброй, если все X K. X в этом случае называется единицей кольца. Определение.3. Непустая система S P(X) подмножеств множества X называется полукольцом, если она содержит пустое множество, замкнута по отношению к операции пересечения и обладает тем свойством, что если A,B S, то найдется конечная система C1,…,Cn попарно непересекающихся множеств из S, что A \B = Ck:
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-06; просмотров: 949; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.142.199.54 (0.007 с.) |