Кольцо, полукольцо, алгебра множеств и их свойства.

Кольцо, полукольцо, алгебра множеств и их свойства.

 

Для введения понятия меры нам понадобится класс множеств, удовлетворяющий по отношению к введенным операциям некоторым определенным условиям замкнутости.

Пусть задано непустое множество X; P(X) – семейство его подмножеств.

Определение 1. Непустое семейство K P(X) называют

кольцом подмножеств, если оно обладает тем свойством, что из выполнения условий A K и B K вытекает, что A B K; A B K.

Утверждение 1. Пусть K P(X)– кольцо. Тогда для любых множеств A,B K выполнено A B K, A\B K и B\A K.

Таким образом, кольцо множеств замкнуто по отношению к взятию суммы и пересечения, вычитанию и образованию симметрической разности.

Определение 2. Кольцо K называется алгеброй, если все X K. X в этом случае называется единицей кольца.

Определение.3. Непустая система S P(X) подмножеств множества X называется полукольцом, если она содержит пустое множество, замкнута по отношению к операции пересечения и обладает тем свойством, что если A,B S, то найдется конечная система C1,…,Cn попарно непересекающихся множеств из S, что A \B = Ck:

Внешняя мера множества и ее свойства.

Определение 1. Внешней мерой множества A X называется число (A) R такое, что

(A) =inf m(Ai), Ai K(S).

Утверждение 1.6.1. Внешняя мера как функция, заданная на X; является продолжением меры m; заданной на K(S).

Внешняя мера в общем мерой не является.

Свойство 1. Если A K(S), то (A) = m(A).

Свойство 2 (Неотрицательность). Для любого множества A X: (A) 0, () = 0

Свойство 3 (Монотонность). Пусть A,B X и A B, тогда (A) (B).

Свойство 4 (Счетная полуаддитивность). Для любой последовательности множеств B1,B2,… X имеет место неравенство ( Bi) (Bi).

Свойство 5. Для любых A,B X выполнено | (A) - (B)| (A B).

Свойство 6. Пусть A,B,C X тогда (A B) (A С)+ (B С).

Определение 2. Внутренней мерой множества A X называется число

(A) = (X) - (X \ A).

Свойство 7. Пусть A X, тогда (A) (A)

 

Измеримые функции и алгебраические операции над ними

 

Введем ряд понятий, которые нам понадобятся в дальнейшем. Множество X, на котором задана некоторая σ-алгебра его измеримых подмножеств Σ называется измеримым пространством и обозначается (X,Σ). Измеримое пространство, на котором задана мера, называется пространством с мерой и обозначается (X,Σ,µ). Иногда пространство с мерой мы будем обозначать просто X. В дальнейшем мы будем предполагать, что µ – σ-аддитивная полная мера.

Определение

Пусть X – пространство с мерой. Действительная функция f: X → называется измеримой, если для любого c ∈ R множество = {x: f(x) < c} измеримо (здесь – расширенная числовая прямая). Комплекснозначная функция g+ih измерима, если измеримы ее действительная и мнимая части.

Лемма

Числовая функция f: X → измерима тогда и только тогда, когда для любого c ∈ R измеримо одно из множеств {x: f(x) 6 c}, {x: f(x) > c}, {x: f(x) > c}.

Теорема

Пусть f: X → – измеримая функция. Тогда для любой измеримой функции g: → их композиция h = g ◦ f также измерима на X.

Будем говорить, что две определенные на множестве X функции эквивалентны, если они равны между собой почти всюду, т. е. равны между собой для всех x ∈ X за исключением, быть может, точек, принадлежащих множеству нулевой меры.

Лемма

Функция f(x), определенная на множестве X и эквивалентная на нем измеримой функции g(x), так же измерима.

Доказательство. Из определения эквивалентности вытекает, что множества {x: f(x) < c} и {x: g(x) < c} могут отличаться друг от друга лишь на множестве меры нуль. ⊗

Теорема

Пусть (X,Σ,µ) – пространство с мерой и f,g: X → – измеримые функции. Тогда функции αf, , f ±g, f ·g, f/g (при условии, что g(x) ≠ 0 на X), α ∈ R, измеримы.

 

Кольцо, полукольцо, алгебра множеств и их свойства.

 

Для введения понятия меры нам понадобится класс множеств, удовлетворяющий по отношению к введенным операциям некоторым определенным условиям замкнутости.

Пусть задано непустое множество X; P(X) – семейство его подмножеств.

Определение 1. Непустое семейство K P(X) называют

кольцом подмножеств, если оно обладает тем свойством, что из выполнения условий A K и B K вытекает, что A B K; A B K.

Утверждение 1. Пусть K P(X)– кольцо. Тогда для любых множеств A,B K выполнено A B K, A\B K и B\A K.

Таким образом, кольцо множеств замкнуто по отношению к взятию суммы и пересечения, вычитанию и образованию симметрической разности.

Определение 2. Кольцо K называется алгеброй, если все X K. X в этом случае называется единицей кольца.

Определение.3. Непустая система S P(X) подмножеств множества X называется полукольцом, если она содержит пустое множество, замкнута по отношению к операции пересечения и обладает тем свойством, что если A,B S, то найдется конечная система C1,…,Cn попарно непересекающихся множеств из S, что A \B = Ck: