Глава II. Алгебры. Алгебраические системы.

Глава II. Алгебры. Алгебраические системы.

1. Операции на множествах.

Под операциями на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняются некоторые действия над элементами множества М.

Пример. Операции на множестве P(U), операции +, -, ⋅, / на множествах ℕ, ℤ, ℚ,ℝ.

Под бинарной операцией на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняется некоторое действие над двумя элементами множества М; под унарной операцией на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняется некоторое действие над одним элементом из М.

Пример. - бинарные; - унарная.

В общем случае результат выполнения операции на множестве М не обязан принадлежать множеству М.

Пример. На множестве ℕ: 3-5 ℕ.

В общем случае результат выполнения операции не обязан определяться однозначно.

Пример. «∘» на ℕ a∘b = a b.

Операции на множествах, для которых результат определяется однозначно и принадлежит исходному множеству, называются алгебраическими.

Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется отображение , которое любым двум элементам a, b из М, необязательно различным, взятым в указанном порядке, ставит в соответствие единственный элемент (a, b) из М

Вместо (a, b) пишут также а b. Бинарные алгебраические операции в общем виде обозначают «⋅», «∘», «*» и т.д.

Пример. «+» : а + b = с.

Определение 2. Непустое множество М с определенными на нем алгебраическими операциями и отношениями называется алгебраической системой.

₁ – совокупность некоторых алгебраических операций на множестве М .

₂ – совокупность некоторых отношений на множестве М .

Тогда полученную алгебраическую систему обозначают <M, ₁, ₂ >.

Пример. <ℤ, {+, ⋅}, { }> - алгебраическая система.

Определение 3. Непустое множество с определенными на нем алгебраическими операциями называется алгеброй.

Из определений 2 и 3 алгебра – частный случай алгебраической системы, когда W₂ отсутствует.

Пример. <Z, {+,⋅}> - алгебра.

Определение 4. Алгебра <М, ∘ > называется группоидом, если ∘- бинарная алгебраическая операция.

Определение 4’. Непустое множество с определенной на нем бинарной алгебраической операцией называется группоидом.

Группы.

Определение 13. Непустое множество G с определённой на нём бинарной алгебраической операцией ∘ называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

1) Операция ∘ ассоциативна на G ,т. е.

а∘(b∘c) = (a∘b)∘c, "a, b, c Î G.

2) В G существует нейтральный элемент относительно операции ∘ т. е.

$e Î G : " a Î G: a∘e = e∘a = a.

3) Для каждого элемента из G в G существует симметричный ему элемент, относительно операции ∘, т. е.

" a ÎG $ a' Î G : a∘ a' = a'∘a = e.

Примеры.

<ℕ, +> - не является группой, так как не выполняется аксиома 2) (0 Ï ℕ), но является полугруппой с сокращением;

<ℕ, ‧> - не является группой, так как не выполняется аксиома 3) (5 Î ℕ, но 1/5 ∉ ℕ), но является моноидом и полугруппой с сокращением;

<ℤ, +> - группа;

<ℤ, ‧> - не является группой, так как не выполняется аксиома 3) (5 Î ℤ, но 1/5 ∉ ℤ), но является моноидом и полугруппой с сокращением (для ℤ^#);

<ℚ, +>, <ℝ, +> - группы;

<ℚ, ‧>, <ℝ, ‧> - не являются группами, так как не выполняется аксиома 3) (для нуля нет обратного);

<ℚ^#, ‧>, <ℝ^#, ‧> - группы.

Определение 14. Группа G относительно операции ∘ называется абелевой, если операция ∘ коммутативна на G, т. е. a∘b = b∘a, " a, bÎG.

Определение 15. Группа относительно сложения называется аддитивной. Нейтральный элемент е в ней называется нулевым и обозначается 0. Симметричный элементу а элемент а’ называется противоположным и обозначается –а.

Определение 16. Группа относительно умножения называется мультипликативной. Нейтральный элемент е в ней называется единичным и обозначается 1. Симметричный элементу а элемент а’ называется обратным и обозначается а^-1.

Пример. ℤ, ℚ, ℝ – аддитивные группы; ℝ^#, ℚ^# - мультипликативные группы.

Определение 17. Группа G называется конечной, если она содержит конечное число элементов. В противном случае группа называется бесконечной.

Определение 18. Порядком конечной группы G называется число элементов группы G, и обозначается |G|.

Определение группы можно сформулировать следующим образом:

Определение 13'. Непустое множество G с определённой на нём бинарной алгебраической операцией ∘ называется группой, если выполняются следующие аксиомы:

1)' а∘(b∘c) = (a∘b)∘c, "a, b, c Î G.

2)' $ e Î G : a∘e = a, " a Î G (e – правыйнейтральныйэлемент).

3)' " a Î G $ a' ÎG : a∘ a' = e (a' – правыйсимметричныйэлемент).

Покажем, что определение 13 и определение 13' равносильны.

Доказательство.

1) Пусть выполняются аксиомы 1) – 3). 1)' – 3)'. Действительно, если G удовлетворяет условиям 1) – 3), то G удовлетворяет условиям 1)' – 3)'.

2) Пусть выполняются аксиомы 1)'–3)'. Покажем, что выполняются 1)–3).

Аксиома 1) = аксиоме 1)'.

Покажем, что выполняется аксиома 3). Достаточно показать, что a'∘a = e. Пусть (a')' – симметричный элемент для a', тогда по аксиоме 3)' : a'∘(a')' = e , тогда a'∘a = (a'∘a)∘ a'∘= (a'∘a)∘(a'∘(a')' ) =a'∘(a∘ a')∘ (a')' = (a'∘e)∘ (a')' = a'∘(a')' = e. Таким образом a'∘a = e => выполняется аксиома 3).

Покажем, что выполняется аксиома 2). Достаточно показать, что e∘a = a. e∘a = (a∘a')∘a = a∘(a'∘a) = a∘e = a. Таким образом, e∘a = a => выполняется аксиома 2).

Следовательно, определения 13 и 13' равносильны. ч. т. д.

Замечание. Для группы можно также сформулировать ещё одно определение 13'', в котором вместо правых нейтрального и симметричного элементов рассматриваются левые.

 

Простейшие свойства групп.

Пусть G – мультипликативная группа. Тогда справедливы свойства:

1. Применение операции «⋅» к любым n элементам группы G не зависит от расстановки скобок, и значит, их можно опустить.

Доказательство следует из теоремы 13.

2. Пусть a и b Î G, тогда уравнение ax = b (1) (ya = b) имеет в G единственное решение: x = a^-1b (y = ba^-1).

Доказательство.

1) Докажем, что уравнение (1) имеет в G решение. Таккак a ÎG то, поопределению 13аксиома 3), $a^-1 ÎG, тогда умножим обе части (1) на а^-1 слева: ax = b Þ
a^-1(ax) = a^-1b Þ (a^-1a)x = a^-1b Þ ex = a^-1b Þ x = a^-1b.

2) Покажем, что a^-1b – единственное решение уравнения (1).

Пусть x₀ – решение уравнения (1) Þ ax₀ = b – верное равенство. Умножим на a^-1 слева. x₀ = a^-1b => x = x_0. Свойство доказано.

3. " a, b, c ÎG: ac = bc Þ a = b (ca = cb Þ a = b), т. е. в G выполняется закон сокращения.

Доказательствопроводится домножением обеих частей равенства ac = bc (ca = cb)на с^-1 справа (слева).

4. " a, b, Î G: ab = a Þ b = e.

Доказательство. Пусть ab = a Þ ab = ae Þ b=e.

5. " a, b, ÎG: (ab)^-1 = b^-1a^-1.

Доказательство.Покажем, что b^-1a^-1 является обратным элементом для ab: (ab)( b^-1a^-1) = a(bb^-1)a^-1 = aea^-1 = aa^-1 = e = 1 Þ b^-1a^-1 = (ab)^-1.

6. Единичный элемент в группе G определяется однозначно, т. е. он единственен.

7. Для каждого элемента группы симметричный элемент единственен.

Доказательствоследует из теорем 11 и 12.

Замечание.Свойства 1 – 7 для аддитивных групп имеют вид:

1) Применение операции + к любым n элементам группы G не зависит от расстановки скобок, и значит, их можно опустить.

2) Уравнение a + x = b имеет единственное решение: x = -a + b.

3) a + c = b + c Þ a = b.

4) a + b = a Þ b =0.

5) –(a + b) = (-b) + (-a).

6) Нулевой элемент в группе G определяется однозначно, т. е. он единственен.

7) Для каждого элемента группы противоположный элемент единственен.

 

Виды колец.

Определение 27.Кольцо K называется ассоциативным, если операция умножения ассоциативна на K, т.е. .

Определение 28. Кольцо K называется коммутативным, если операция умножения коммутативна на K, т.е. .

Определение 29. Кольцо K называется ассоциативно-коммутатитвным, если K - ассоциативное кольцо и коммутативное кольцо.

Определение 30. Кольцо K называется кольцом с единицей, если в K существует единичный элемент, т.е. 1 .

Определение 31.Элементы а и b кольца K называются делителями нуля, если но .

Определение 32.Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется областью целостности.

Простейшие свойства колец.

Свойство 1 .Для кольца K выполняются все свойства аддитивной группы (см. Замечание 1 из вопроса Простейшие свойства групп) 1-7.

Свойство 2.

ДоказательствоДокажем, что , т.е. что а это противоположный элемент –а. Действительно,

Свойство 3. т.е. в K выполняется дистрибутивность умножения относительно разности

Доказательство Рассмотрим равенство Þ Þ Þ Þ Þ

Свойство 4.(правило знаков)

1)

2)

3)

Доказательство.1)

2)

3)

Свойство 5.

Доказательство.

Свойство 6. Пусть Тогда Аналогично

Доказательство. Проведем методом математической индукции по параметру n

1) Пусть верно, т.к. K – кольцо.

2) Предположим, что утверждение верно при n=k, т.е.

3).Докажем, что утверждение верно при n=k+1, т.е. докажем что

Действительно, =

Из 1)-3) по методу математической индукции утверждение верно .

Свойство 7. Пусть Тогда

Доказательство.

 

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть H-подкольцо кольца K. Докажем, что выполняются условия 1)-2).Т.к. H-подкольцо кольца K H-кольцо H-аддитивная абелева группа H-подгруппа группы K выполняются условия 1) и 2).

Т.к. H-кольцо операция умножения алгебраична на H выполняется условие 3)

2) Достаточность. Пусть выполняются условия 1)-3).Докажем, что Н подкольцо кольца K. В силу определения 33, достаточно проверить, что Н-кольцо.

Т.к. выполняются условия 1) и 2) то по теореме 14 Н-подгруппа аддитивной группы K ÞН- аддитивная группа операция умножения является алгебраической на Н.

Т.к и в K выполняется коммутативность сложения и дистрибутивные законы Н-кольцо Н подкольцо кольца K.

Определение 34.Отображение кольца K в кольцо K , называется гомоморфным отображением или гомоморфизмом, если выполняются условия:

Замечание1.Определения мономорфизма, эпиморфизма, изоморфизма,

эндоморфизма, автоморфизма колец формулируется аналогично соответствующим определениям для групп.

 

9. Поле. Простейшие свойства полей.

Определение 35.Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, в котором любой ненулевой элемент обратим, называется полем.

Определение 35'.Непустое множество Р с определёнными на нём бинарными алгебраическими операциями «+» и «×» называется, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы поля).

1. <Р,+> - абелева группа, т. е.

а) ассоциативность +, т. е. (а + b) + с = а + (b + с), " а, b, cÎР;

б) $ 0 Î Р: а + 0 = 0 + а = а, " аÎР;

в) " аÎР, $ (-а) ÎР: а + (-а) = -а + а = 0;

г) коммутативность +, т. е. a + b = b + a , " a, b ÎP.

2. В Р выполняются дистрибутивные законы, т. е.

а) (a + b) · c = ac + bc, " a, b,c Î P – правый дистрибутивный закон;

б) c· (a + b) = ca + cb, " a, b, c Î P – левый дистрибутивный закон.

3. <Р^#, ⋅> - абелева группа, т. е.

а) ассоциативность «‧» ·, т. е. (ab) c = a (bc), " a, b, c Î P^#;

б) $ 1ÎР^#: а⋅1 = 1⋅ а = а, а Î Р^#;

в) " аÎР^#·: $ a^-1 ÎР^# а ⋅ а^-1 = а^-1⋅а =1;

г) коммутативность «‧» ·, т. е. ab = ba, " a, b ÎP^#.

Простейшие свойства полей.

Свойство 1. Для поля Р выполняются все простейшие свойства колец (св. 1–7).

Свойство 2. В поле нет делителей нуля.

Доказательство.Допустим, что $ a, b ÎP, а ≠ 0, b ≠ 0, ab = 0 (1). Т. к. b ≠ 0 Þ bÎP^# Þ $ b^-1ÎP^#. Умножим обе части (1) на b^-1 справа : (ab) b^-1 = 0· b^-1Þa (bb^-1) = 0 Þ a = 0, противоречие. Þ в Р нет делителей нуля. Теорема доказана.

 

Поле комплексных чисел

Во множестве действительных чисел неразрешимо уравнение x²+1=0, поэтому возникает необходимость расширить множество действительных чисел так, чтобы в новом множестве данное уравнение было бы разрешимо.

Пусть ℂ=ℝ×ℝ={(a,b)|a,b∈ℝ}

Определение 1. Элементы (a,b) и (c,d) ∈ℂ называются равными, если а=с и b=d.

Определение 2. Суммой элементов (a,b) и (c,d) ∈ℂ, называется упорядоченная пара т. е. (1).

Произведением элементов (a,b) и (c,d) ∈ℂ, называется упорядоченная пара , т. е. (2).

Теорема 1. Множество ℂ с заданными на нем операциями «+» и «⋅» по правилам и , является полем.

Доказательство.

Из определений следует что заданные на ℂ операции «+» и «⋅» являются алгебраическими, так как ∀(a,b) и (c,d) ∈ℂ , ∈ℂ, ∈ℂ.

I. Покажем что <ℂ,+>абелева группа.

1), 4) Т.к. сложение элементов из ℂ сводится сложению действительных чисел, а на множестве действительных чисел операция “+” ассоциативна и коммутативна, то операция “+”ассоциативна и коммутативна на ℂ.

2) ∃Ө=(0,0) ∈ℂ такое что ∀(a,b)∈ℂ выполняется: (a,b)+Ө=(a+0,b+0)=(a,b)

3) ∀(a,b) ∈ℂ ∃(-a,-b) ∈ℂ, такоечто (a,b)+ (-a,-b) =(a-a, b-b)= (0,0)= Ө

Из пунктов 1)-4) следует что <ℂ,+>абелева группа.

II. Проверим, что в ℂ выполняются дистрибутивные законы

5) ∀(a₁,b₁), (a₂,b₂), (a₃,b₃) ∈ℂ

[(a₁,b₁)+(a₂,b₂)] (a₃,b₃)=(a₁+a₂,b₁+b₂ )⋅(a₃,b₃)=
((a₁+a₂) a₃-(b₁+b₂)b₃, (a₁+a₂)b₃+ (b₁+b₂)a₃) (3)

(a₁,b₁)⋅(a₃,b₃)+(a₂,b₂)⋅(a₃,b₃)=(a₁a₃-b₁b₃, a₁b₃+b₁a₃)+(a₂a₃-b₂b₃, a₂b₃+b₂a₃)= (a₁a₃+a₂ a₃-b₁b₃-b₂b₃, a₁b₃+b₁a₃+a₂b₃+b₂a₃) (4)

Элементы (3) и (4) равны, значит, правый дистрибутивный закон выполняется. Справедливость левого дистрибутивного закона на ℂ следует из коммутативности операции «⋅», см далее аксиому 6).

III. Покажем, что <ℂ^#,⋅>- абелева группа.

6) Покажем что операция «⋅» коммутативна на ℂ. ∀(a₁,b₁), (a₂,b₂) ∈ℂ

(a₁,b₁)⋅(a₂,b₂)=(a₁a₂-b₁b₂,a₁b₂+a₂b₁) (5)

(a₂,b₂)⋅(a₁,b₁) =(a₂a₁-b₂b₁, a₂b₁+a₁b₂) (6)

(5)=(6), поскольку умножение действительных чисел коммутативно. Следовательно операция «⋅» коммутативна на ℂ.

7) Покажем, что «⋅» ассоциативна на ℂ^# , ∀(a₁,b₁), (a₂,b₂), (a₃,b₃) ∈ℂ ^#

[(a₁,b₁)⋅(a₂,b₂)]⋅(a₃,b₃)= (a₁a₂-b₁b₂,a₁b₂+a₂b₁)⋅(a₃,b₃)=( (a₁a₂-b₁b₂)a₃ - (a₁b₂+a₂b₁)b₃ , (a₁a₂-b₁b₂ )b₃+( a₁b₂+a₂b₁)a₃) (7)

(a₁,b₁)⋅[(a₂,b₂)⋅(a₃,b₃)]=(a₁,b₁)(a₂ a₃ - b₂ b₃ , a₂ b₃+b₂ a₃)=
( a₁(a₂ a₃ - b₂ b₃) – b₁(a₂ b₃+b₂ a₃), a₁(a₂ b₃+b₂ a₃)+b₁(a₂ a₃ - b₂ b₃ ) ) (8)

(7)=(8) в силу дистрибутивных и коммутативных законов на множестве действительных чисел. Следовательно «⋅» ассоциативна на ℂ^#.

8) Существование нейтрального элемента относительно операции «⋅», т.е.∃ e=(1,0) ∈ℂ^#, такой что ∀(a,b) ℂ^# выполняется: (a,b)(1,0)=(a⋅1-b⋅0, a⋅0+b⋅1)=(a,b)

9) Существование обратного элемента относительно операции «⋅» на ℂ^#, т.е. ∀(a,b) ℂ^# ∃(c,d) ∈ℂ^#, найдем неизвестные с и d.

(a,b)(c,d)=(1,0)

(ac-bd,ad+bc)=(1,0) (по определению равенства элементов) , . Вычитая уравнения почленно, получим -b²d-a²d=b ;-d(a²+b²)=b;

∈ℝ. Аналогично, исключая неизвестную d, получим ∈ℝ. Таким образом ∀(a,b) ∈ℂ^# существует обратный элемент ( , )∈ℂ^#

Из пунктов 6)-9) следует что <ℂ^#,⋅>- абелева группа.

Из пунктов I-III следует, что ℂ- поле.

Определение 3. Множество ℂ с заданными на нем операциями «+» и «⋅» по правилам (1)

и (2)

называется полем комплексных чисел, а его элементы называются комплексными числами.

Теорема 2. Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел.

Доказательство. Докажем, что множество действительных чисел ℝ изоморфно некоторому подмножеству поля ℂ, а именно, подмножеству вида ℝ₁={(a,0)׀a ℝ}Íℂ.

Зададим отображение :ℝ ℝ₁, по правилу ∀a ℝ (a)=(a,0) (*)
и покажем, что - изоморфизм колец (полей).

1. Покажем что - гомоморфизм ℝ в ℝ₁. Пусть a,b∈ℝ. Тогда

а) (a+b) (a+b,0);

(a)+ (b) (a,0)+(b,0) (a+b,0). Значит, (a+b)= (a)+ (b).

б) (ab) (ab,0).

(a)⋅ (b) (a,0)(b,0) (ab-0,0+0)=(ab,0). Значит, (ab)= (a)⋅ (b)

Из а), б) следует, что - гомоморфизм

2. Покажем, что - биекция

a) Покажем, что - инъекция. Пусть образы элементов a и b равны, т.е.
(a)= (b) (a,0)=(b,0) (по определению равенства) a=b.

б) Покажем, что - сюръекция. ∀ (a,0)∈ℝ₁∃ a∈ℝ, такойчто (a)=(a,0).

Из 1,2 следует, что - изоморфизм ℝ ℝ₁. Учитывая, что ℝ₁Íℂ, можно считать, что ℝ изоморфно вкладывается в ℂ, отожествляя число a∈ℝ с парой (a,0)∈ℝ₁, т.е. (a,0) a, и можем считать что ℝÍℂ.

Теорема 3. В поле ℂ уравнение x²+1=0 разрешимо.

Доказательство. Рассмотрим x²+1=0 как уравнение с коэффициентами из ℂ. А именно, согласно теореме 2, отождествим 1 (1,0), 0 (0,0). Уравнение примет вид x²+(1,0)=(0,0). Обозначим i=(0,1) и покажем, что i удовлетворяет уравнению. Действительно, i²=(0,1)(0,1) (0-1,0+0)=(-1,0), и i²+(1,0)=(-1,0)+(1,0) (0,0). Cледовательно i – решение уравнения x²+1=0.

Отметим что i=(0,1) не принадлежит множеству ℝ₁={(a,0)׀a ℝ} ℝ. Таким образом, i не является действительным числом. Элемент i называют мнимой единицей.

Определение 4.Мнимой единицей называетсякорень i уравнения x²+1=0, т.е. число, удовлетворяющее условию i²=-1.

 

Глава II. Алгебры. Алгебраические системы.

1. Операции на множествах.

Под операциями на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняются некоторые действия над элементами множества М.

Пример. Операции на множестве P(U), операции +, -, ⋅, / на множествах ℕ, ℤ, ℚ,ℝ.

Под бинарной операцией на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняется некоторое действие над двумя элементами множества М; под унарной операцией на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняется некоторое действие над одним элементом из М.

Пример. - бинарные; - унарная.

В общем случае результат выполнения операции на множестве М не обязан принадлежать множеству М.

Пример. На множестве ℕ: 3-5 ℕ.

В общем случае результат выполнения операции не обязан определяться однозначно.

Пример. «∘» на ℕ a∘b = a b.

Операции на множествах, для которых результат определяется однозначно и принадлежит исходному множеству, называются алгебраическими.

Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется отображение , которое любым двум элементам a, b из М, необязательно различным, взятым в указанном порядке, ставит в соответствие единственный элемент (a, b) из М

Вместо (a, b) пишут также а b. Бинарные алгебраические операции в общем виде обозначают «⋅», «∘», «*» и т.д.

Пример. «+» : а + b = с.

Определение 2. Непустое множество М с определенными на нем алгебраическими операциями и отношениями называется алгебраической системой.

₁ – совокупность некоторых алгебраических операций на множестве М .

₂ – совокупность некоторых отношений на множестве М .

Тогда полученную алгебраическую систему обозначают <M, ₁, ₂ >.

Пример. <ℤ, {+, ⋅}, { }> - алгебраическая система.

Определение 3. Непустое множество с определенными на нем алгебраическими операциями называется алгеброй.

Из определений 2 и 3 алгебра – частный случай алгебраической системы, когда W₂ отсутствует.

Пример. <Z, {+,⋅}> - алгебра.

Определение 4. Алгебра <М, ∘ > называется группоидом, если ∘- бинарная алгебраическая операция.

Определение 4’. Непустое множество с определенной на нем бинарной алгебраической операцией называется группоидом.