Глава II. Алгебры. Алгебраические системы.

Глава II. Алгебры. Алгебраические системы.

1. Операции на множествах.

Под операциями на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняются некоторые действия над элементами множества М.

Пример. Операции на множестве P (U), операции +, -, ⋅, / на множествах ℕ, ℤ, ℚ,ℝ.

Под бинарной операцией на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняется некоторое действие над двумя элементами множества М; под унарной операцией на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняется некоторое действие над одним элементом из М.

Пример. - бинарные; - унарная.

В общем случае результат выполнения операции на множестве М не обязан принадлежать множеству М.

Пример. На множестве ℕ: 3-5 ℕ.

В общем случае результат выполнения операции не обязан определяться однозначно.

Пример. « ∘» на ℕ a ∘ b = a b.

Операции на множествах, для которых результат определяется однозначно и принадлежит исходному множеству, называются алгебраическими.

Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется отображение , которое любым двум элементам a, b из М, необязательно различным, взятым в указанном порядке, ставит в соответствие единственный элемент (a, b) из М

Вместо (a, b) пишут также а b. Бинарные алгебраические операции в общем виде обозначают «⋅», «∘», «*» и т.д.

Пример. «+»: а + b = с.

Определение 2. Непустое множество М с определенными на нем алгебраическими операциями и отношениями называется алгебраической системой.

₁ – совокупность некоторых алгебраических операций на множестве М .

₂ – совокупность некоторых отношений на множестве М .

Тогда полученную алгебраическую систему обозначают < M, ₁, ₂ >.

Пример. <ℤ, {+, ⋅}, { }> - алгебраическая система.

Определение 3. Непустое множество с определенными на нем алгебраическими операциями называется алгеброй.

Из определений 2 и 3 алгебра – частный случай алгебраической системы, когда W₂ отсутствует.

Пример. < Z, {+,⋅}> - алгебра.

Определение 4. Алгебра < М, ∘ > называется группоидом, если ∘- бинарная алгебраическая операция.

Определение 4’. Непустое множество с определенной на нем бинарной алгебраической операцией называется группоидом.

Группы.

Определение 13. Непустое множество G с определённой на нём бинарной алгебраической операцией ∘ называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

1) Операция ∘ ассоциативна на G,т. е.

а ∘(b ∘ c) = (a ∘ b)∘ c, "a, b, c Î G.

2) В G существует нейтральный элемент относительно операции ∘ т. е.

$ e Î G: " a Î G: a ∘ e = e ∘ a = a.

3) Для каждого элемента из G в G существует симметричный ему элемент, относительно операции ∘, т. е.

" a Î G $ a' Î G: a∘ a' = a' ∘ a = e.

Примеры.

<ℕ, +> - не является группой, так как не выполняется аксиома 2) (0 Ï ℕ), но является полугруппой с сокращением;

<ℕ, ‧> - не является группой, так как не выполняется аксиома 3) (5 Î ℕ, но 1/5 ∉ ℕ), но является моноидом и полугруппой с сокращением;

<ℤ, +> - группа;

<ℤ, ‧> - не является группой, так как не выполняется аксиома 3) (5 Î ℤ, но 1/5 ∉ ℤ), но является моноидом и полугруппой с сокращением (для ℤ^#);

<ℚ, +>, <ℝ, +> - группы;

<ℚ, ‧>, <ℝ, ‧> - не являются группами, так как не выполняется аксиома 3) (для нуля нет обратного);

<ℚ^#, ‧>, <ℝ^#, ‧> - группы.

Определение 14. Группа G относительно операции ∘ называется абелевой, если операция ∘ коммутативна на G, т. е. a ∘ b = b ∘ a, " a, b Î G.

Определение 15. Группа относительно сложения называется аддитивной. Нейтральный элемент е в ней называется нулевым и обозначается 0. Симметричный элементу а элемент а ’ называется противоположным и обозначается – а.

Определение 16. Группа относительно умножения называется мультипликативной. Нейтральный элемент е в ней называется единичным и обозначается 1. Симметричный элементу а элемент а ’ называется обратным и обозначается а ^-1.

Пример. ℤ, ℚ, ℝ – аддитивные группы; ℝ^#, ℚ^# - мультипликативные группы.

Определение 17. Группа G называется конечной, если она содержит конечное число элементов. В противном случае группа называется бесконечной.

Определение 18. Порядком конечной группы G называется число элементов группы G, и обозначается | G |.

Определение группы можно сформулировать следующим образом:

Определение 13'. Непустое множество G с определённой на нём бинарной алгебраической операцией ∘ называется группой, если выполняются следующие аксиомы:

1)' а ∘(b ∘ c) = (a ∘ b)∘ c, "a, b, c Î G.

2)' $ e Î G: a ∘ e = a, " a Î G (e – правыйнейтральныйэлемент ).

3)' " a Î G $ a' ÎG: a∘ a' = e (a' – правыйсимметричныйэлемент ).

Покажем, что определение 13 и определение 13' равносильны.

Доказательство.

1) Пусть выполняются аксиомы 1) – 3). 1)' – 3)'. Действительно, если G удовлетворяет условиям 1) – 3), то G удовлетворяет условиям 1)' – 3)'.

2) Пусть выполняются аксиомы 1)'–3)'. Покажем, что выполняются 1)–3).

Аксиома 1) = аксиоме 1)'.

Покажем, что выполняется аксиома 3). Достаточно показать, что a '∘ a = e. Пусть (a ')' – симметричный элемент для a ', тогда по аксиоме 3)': a '∘(a ')' = e, тогда a '∘ a = (a '∘ a)∘ a '∘= (a '∘ a)∘(a '∘(a ')') = a '∘(a∘ a ')∘ (a ')' = (a '∘ e)∘ (a ')' = a '∘(a ')' = e. Таким образом a '∘ a = e => выполняется аксиома 3).

Покажем, что выполняется аксиома 2). Достаточно показать, что e ∘ a = a. e ∘ a = (a ∘ a ')∘ a = a ∘(a '∘ a) = a ∘ e = a. Таким образом, e ∘ a = a => выполняется аксиома 2).

Следовательно, определения 13 и 13' равносильны. ч. т. д.

Замечание. Для группы можно также сформулировать ещё одно определение 13'', в котором вместо правых нейтрального и симметричного элементов рассматриваются левые.

 

Простейшие свойства групп.

Пусть G – мультипликативная группа. Тогда справедливы свойства:

1. Применение операции «⋅» к любым n элементам группы G не зависит от расстановки скобок, и значит, их можно опустить.

Доказательство следует из теоремы 13.

2. Пусть a и b Î G, тогда уравнение ax = b (1) (ya = b) имеет в G единственное решение: x = a ^-1 b (y = ba ^-1).

Доказательство.

1) Докажем, что уравнение (1) имеет в G решение. Таккак a Î G то, поопределению 13аксиома 3), $ a^-1 Î G, тогда умножим обе части (1) на а ^-1 слева: ax = b Þ
a^-1(ax) = a^-1b Þ (a^-1a)x = a^-1b Þ ex = a^-1b Þ x = a^-1b.

2) Покажем, что a ^-1 b – единственное решение уравнения (1).

Пусть x ₀ – решение уравнения (1) Þ ax ₀ = b – верное равенство. Умножим на a ^-1 слева. x ₀ = a ^-1 b => x = x _0. Свойство доказано.

3. " a, b, c Î G: ac = bc Þ a = b (ca = cb Þ a = b), т. е. в G выполняется закон сокращения.

Доказательство проводится домножением обеих частей равенства ac = bc (ca = cb)на с^-1 справа (слева).

4. " a, b, Î G: ab = a Þ b = e.

Доказательство. Пусть ab = a Þ ab = ae Þ b=e.

5. " a, b, Î G: (ab)^-1 = b ^-1 a ^-1.

Доказательство. Покажем, что b ^-1 a ^-1 является обратным элементом для ab: (ab)(b ^-1 a ^-1) = a (bb ^-1) a ^-1 = aea ^-1 = aa ^-1 = e = 1 Þ b ^-1 a ^-1 = (ab)^-1.

6. Единичный элемент в группе G определяется однозначно, т. е. он единственен.

7. Для каждого элемента группы симметричный элемент единственен.

Доказательство следует из теорем 11 и 12.

Замечание. Свойства 1 – 7 для аддитивных групп имеют вид:

1) Применение операции + к любым n элементам группы G не зависит от расстановки скобок, и значит, их можно опустить.

2) Уравнение a + x = b имеет единственное решение: x = - a + b.

3) a + c = b + c Þ a = b.

4) a + b = a Þ b = 0.

5) –(a + b) = (-b) + (-a).

6) Нулевой элемент в группе G определяется однозначно, т. е. он единственен.

7) Для каждого элемента группы противоположный элемент единственен.

 

Виды колец.

Определение 27. Кольцо K называется ассоциативным, если операция умножения ассоциативна на K, т.е. .

Определение 28. Кольцо K называется коммутативным, если операция умножения коммутативна на K, т.е. .

Определение 29. Кольцо K называется ассоциативно-коммутатитвным, если K - ассоциативное кольцо и коммутативное кольцо.

Определение 30. Кольцо K называется кольцом с единицей, если в K существует единичный элемент, т.е. 1 .

Определение 31. Элементы а и b кольца K называются делителями нуля, если но .

Определение 32. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется областью целостности.

Простейшие свойства колец.

Свойство 1. Для кольца K выполняются все свойства аддитивной группы (см. Замечание 1 из вопроса Простейшие свойства групп) 1-7.

Свойство 2.

Доказательство Докажем, что , т.е. что а это противоположный элемент –а. Действительно,

Свойство 3. т.е. в K выполняется дистрибутивность умножения относительно разности

Доказательство Рассмотрим равенство Þ Þ Þ Þ Þ

Свойство 4. (правило знаков)

1)

2)

3)

Доказательство. 1)

2)

3)

Свойство 5.

Доказательство.

Свойство 6. Пусть Тогда Аналогично

Доказательство. Проведем методом математической индукции по параметру n

1) Пусть верно, т.к. K – кольцо.

2) Предположим, что утверждение верно при n=k, т.е.

3).Докажем, что утверждение верно при n=k+1, т.е. докажем что

Действительно, =

Из 1)-3) по методу математической индукции утверждение верно .

Свойство 7. Пусть Тогда

Доказательство.

 

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть H -подкольцо кольца K. Докажем, что выполняются условия 1)-2).Т.к. H -подкольцо кольца K H -кольцо H -аддитивная абелева группа H -подгруппа группы K выполняются условия 1) и 2).

Т.к. H -кольцо операция умножения алгебраична на H выполняется условие 3)

2) Достаточность. Пусть выполняются условия 1)-3).Докажем, что Н подкольцо кольца K. В силу определения 33, достаточно проверить, что Н -кольцо.

Т.к. выполняются условия 1) и 2) то по теореме 14 Н -подгруппа аддитивной группы K Þ Н - аддитивная группа операция умножения является алгебраической на Н.

Т.к и в K выполняется коммутативность сложения и дистрибутивные законы Н -кольцо Н подкольцо кольца K.

Определение 34. Отображение кольца K в кольцо K , называется гомоморфным отображением или гомоморфизмом, если выполняются условия:

Замечание1. Определения мономорфизма, эпиморфизма, изоморфизма,

эндоморфизма, автоморфизма колец формулируется аналогично соответствующим определениям для групп.

 

9. Поле. Простейшие свойства полей.

Определение 35. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, в котором любой ненулевой элемент обратим, называется полем.

Определение 35'. Непустое множество Р с определёнными на нём бинарными алгебраическими операциями «+» и «×» называется, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы поля).

1. < Р,+> - абелева группа, т. е.

а) ассоциативность +, т. е. (а + b) + с = а + (b + с), " а, b, c Î Р;

б) $ 0 Î Р: а + 0 = 0 + а = а, " а Î Р;

в) " а Î Р, $ (- а) Î Р: а + (- а) = - а + а = 0;

г) коммутативность +, т. е. a + b = b + a, " a, b Î P.

2. В Р выполняются дистрибутивные законы, т. е.

а) (a + b) · c = ac + bc, " a, b, c Î P – правый дистрибутивный закон;

б) c· (a + b) = ca + cb, " a, b, c Î P – левый дистрибутивный закон.

3. < Р ^#, ⋅> - абелева группа, т. е.

а) ассоциативность «‧» ·, т. е. (ab) c = a (bc), " a, b, c Î P ^#;

б) $ 1Î Р ^#: а ⋅1 = 1⋅ а = а, а Î Р ^#;

в) " а Î Р ^# ·: $ a ^-1 Î Р ^# а ⋅ а ^-1 = а ^-1 ⋅а =1;

г) коммутативность «‧» ·, т. е. ab = ba, " a, b Î P ^#.

Простейшие свойства полей.

Свойство 1. Для поля Р выполняются все простейшие свойства колец (св. 1–7).

Свойство 2. В поле нет делителей нуля.

Доказательство. Допустим, что $ a, b Î P, а ≠ 0, b ≠ 0, ab = 0 (1). Т. к. b ≠ 0 Þ b Î P ^# Þ $ b ^-1Î P^#. Умножим обе части (1) на b ^-1 справа : (ab) b ^-1 = 0 · b ^-1Þ a (bb ^-1) = 0 Þ a = 0, противоречие. Þ в Р нет делителей нуля. Теорема доказана.

 

Поле комплексных чисел

Во множестве действительных чисел неразрешимо уравнение x ²+1=0, поэтому возникает необходимость расширить множество действительных чисел так, чтобы в новом множестве данное уравнение было бы разрешимо.

Пусть ℂ=ℝ×ℝ={(a,b)| a,b ∈ℝ}

Определение 1. Элементы (a,b) и (c,d) ∈ℂ называются равными, если а = с и b = d.

Определение 2. Суммой элементов (a,b) и (c,d) ∈ℂ, называется упорядоченная пара т. е. (1).

Произведением элементов (a,b) и (c,d) ∈ℂ, называется упорядоченная пара , т. е. (2).

Теорема 1. Множество ℂ с заданными на нем операциями «+» и «⋅» по правилам и , является полем.

Доказательство.

Из определений следует что заданные на ℂ операции «+» и «⋅» являются алгебраическими, так как ∀(a,b) и (c,d) ∈ℂ, ∈ℂ, ∈ℂ.

I. Покажем что <ℂ,+>абелева группа.

1), 4) Т.к. сложение элементов из ℂ сводится сложению действительных чисел, а на множестве действительных чисел операция “+” ассоциативна и коммутативна, то операция “+”ассоциативна и коммутативна на ℂ.

2) ∃Ө=(0,0) ∈ℂ такое что ∀(a, b)∈ℂ выполняется: (a, b)+Ө=(a +0, b +0)=(a, b)

3 ) ∀ (a,b) ∈ℂ ∃ (-a,-b) ∈ℂ, такоечто (a,b)+ (-a,-b) =(a-a, b-b)= (0,0)= Ө

Из пунктов 1)-4) следует что <ℂ,+>абелева группа.

II. Проверим, что в ℂ выполняются дистрибутивные законы

5) ∀ (a₁,b₁), (a₂,b₂), (a₃,b₃) ∈ℂ

[(a₁,b₁)+(a₂,b₂)] (a₃,b₃)=(a₁+a₂,b₁+b₂ )⋅(a₃,b₃)=
((a₁+a₂) a₃-(b₁+b₂)b₃, (a₁+a₂)b₃+ (b₁+b₂)a₃) (3)

(a₁,b₁)⋅(a₃,b₃)+(a₂,b₂)⋅(a₃,b₃)=(a₁a₃-b₁b₃, a₁b₃+b₁a₃)+(a₂a₃-b₂b₃, a₂b₃+b₂a₃)= (a₁a₃+a₂ a₃-b₁b₃-b₂b₃, a₁b₃+b₁a₃+a₂b₃+b₂a₃) (4)

Элементы (3) и (4) равны, значит, правый дистрибутивный закон выполняется. Справедливость левого дистрибутивного закона на ℂ следует из коммутативности операции «⋅», см далее аксиому 6).

III. Покажем, что <ℂ^#,⋅>- абелева группа.

6) Покажем что операция «⋅» коммутативна на ℂ. ∀ (a₁,b₁), (a₂,b₂) ∈ℂ

(a₁,b₁)⋅(a₂,b₂)=(a₁a₂-b₁b₂,a₁b₂+a₂b₁) (5)

(a₂,b₂)⋅(a₁,b₁) =(a₂a₁-b₂b₁, a₂b₁+a₁b₂) (6)

(5)=(6), поскольку умножение действительных чисел коммутативно. Следовательно операция «⋅» коммутативна на ℂ.

7) Покажем, что «⋅» ассоциативна на ℂ^# , ∀ (a₁,b₁), (a₂,b₂), (a₃,b₃) ∈ℂ ^#

[(a₁,b₁)⋅(a₂,b₂)]⋅(a₃,b₃) = (a₁a₂-b₁b₂,a₁b₂+a₂b₁)⋅(a₃,b₃)=((a₁a₂-b₁b₂)a₃ - (a₁b₂+a₂b₁)b₃, (a₁a₂-b₁b₂)b₃+(a₁b₂+a₂b₁)a₃) (7)

(a₁,b₁)⋅[(a₂,b₂)⋅(a₃,b₃)]=(a₁,b₁)(a₂ a₃ - b₂ b₃ , a₂ b₃+b₂ a₃)=
(a₁(a₂ a₃ - b₂ b₃) – b₁(a₂ b₃+b₂ a₃), a₁(a₂ b₃+b₂ a₃)+b₁(a₂ a₃ - b₂ b₃ )) (8)

(7)=(8) в силу дистрибутивных и коммутативных законов на множестве действительных чисел. Следовательно «⋅» ассоциативна на ℂ^#.

8) Существование нейтрального элемента относительно операции «⋅», т.е.∃ e =(1,0) ∈ℂ^#, такой что ∀(a, b) ℂ^# выполняется: (a, b)(1,0)=(a⋅ 1- b⋅ 0, a⋅ 0+ b⋅ 1)=(a, b)

9) Существование обратного элемента относительно операции «⋅» на ℂ^#, т.е. ∀(a, b) ℂ^# ∃(c, d) ∈ℂ^#, найдем неизвестные с и d.

(a, b)(c, d)=(1,0)

(ac - bd, ad + bc)=(1,0) (по определению равенства элементов) , . Вычитая уравнения почленно, получим - b²d-a²d=b;-d(a²+b²)=b;

∈ℝ. Аналогично, исключая неизвестную d, получим ∈ℝ. Таким образом ∀(a, b) ∈ℂ^# существует обратный элемент (, )∈ℂ^#

Из пунктов 6)-9) следует что <ℂ^#,⋅>- абелева группа.

Из пунктов I-III следует, что ℂ- поле.

Определение 3. Множество ℂ с заданными на нем операциями «+» и «⋅» по правилам (1)

и (2)

называется полем комплексных чисел, а его элементы называются комплексными числами.

Теорема 2. Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел.

Доказательство. Докажем, что множество действительных чисел ℝ изоморфно некоторому подмножеству поля ℂ, а именно, подмножеству вида ℝ₁={(a,0)׀ a ℝ}Íℂ.

Зададим отображение :ℝ ℝ₁, по правилу ∀ a ℝ (a)=(a,0) (*)
и покажем, что - изоморфизм колец (полей).

1. Покажем что - гомоморфизм ℝ в ℝ₁. Пусть a, b ∈ℝ. Тогда

а) (a+b) (a + b,0);

(a)+ (b) (a,0)+(b,0) (a+b,0). Значит, (a+b)= (a)+ (b).

б) (ab) (ab,0).

(a)⋅ (b) (a,0)(b,0) (ab-0,0+0)=(ab,0). Значит, (ab)= (a)⋅ (b)

Из а), б) следует, что - гомоморфизм

2. Покажем, что - биекция

a) Покажем, что - инъекция. Пусть образы элементов a и b равны, т.е.
(a)= (b) (a,0)=(b,0) (по определению равенства) a = b.

б) Покажем, что - сюръекция. ∀ (a,0)∈ℝ₁∃ a ∈ℝ, такойчто (a)=(a,0).

Из 1,2 следует, что - изоморфизм ℝ ℝ₁. Учитывая, что ℝ₁Íℂ, можно считать, что ℝ изоморфно вкладывается в ℂ, отожествляя число a ∈ℝ с парой (a,0)∈ℝ₁, т.е. (a,0) a, и можем считать что ℝÍℂ.

Теорема 3. В поле ℂ уравнение x²+1=0 разрешимо.

Доказательство. Рассмотрим x ²+1=0 как уравнение с коэффициентами из ℂ. А именно, согласно теореме 2, отождествим 1 (1,0), 0 (0,0). Уравнение примет вид x ²+(1,0)=(0,0). Обозначим i =(0,1) и покажем, что i удовлетворяет уравнению. Действительно, i ²=(0,1)(0,1) (0-1,0+0)=(-1,0), и i ²+(1,0)=(-1,0)+(1,0) (0,0). Cледовательно i – решение уравнения x ²+1=0.

Отметим что i= (0,1) не принадлежит множеству ℝ₁={(a,0)׀ a ℝ} ℝ. Таким образом, i не является действительным числом. Элемент i называют мнимой единицей.

Определение 4. Мнимой единицей называетсякорень i уравнения x ²+1=0, т.е. число, удовлетворяющее условию i ²=-1.

 

Глава II. Алгебры. Алгебраические системы.

1. Операции на множествах.

Под операциями на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняются некоторые действия над элементами множества М.

Пример. Операции на множестве P (U), операции +, -, ⋅, / на множествах ℕ, ℤ, ℚ,ℝ.

Под бинарной операцией на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняется некоторое действие над двумя элементами множества М; под унарной операцией на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняется некоторое действие над одним элементом из М.

Пример. - бинарные; - унарная.

В общем случае результат выполнения операции на множестве М не обязан принадлежать множеству М.

Пример. На множестве ℕ: 3-5 ℕ.

В общем случае результат выполнения операции не обязан определяться однозначно.

Пример. « ∘» на ℕ a ∘ b = a b.

Операции на множествах, для которых результат определяется однозначно и принадлежит исходному множеству, называются алгебраическими.

Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется отображение , которое любым двум элементам a, b из М, необязательно различным, взятым в указанном порядке, ставит в соответствие единственный элемент (a, b) из М

Вместо (a, b) пишут также а b. Бинарные алгебраические операции в общем виде обозначают «⋅», «∘», «*» и т.д.

Пример. «+»: а + b = с.

Определение 2. Непустое множество М с определенными на нем алгебраическими операциями и отношениями называется алгебраической системой.

₁ – совокупность некоторых алгебраических операций на множестве М .

₂ – совокупность некоторых отношений на множестве М .

Тогда полученную алгебраическую систему обозначают < M, ₁, ₂ >.

Пример. <ℤ, {+, ⋅}, { }> - алгебраическая система.

Определение 3. Непустое множество с определенными на нем алгебраическими операциями называется алгеброй.

Из определений 2 и 3 алгебра – частный случай алгебраической системы, когда W₂ отсутствует.

Пример. < Z, {+,⋅}> - алгебра.

Определение 4. Алгебра < М, ∘ > называется группоидом, если ∘- бинарная алгебраическая операция.

Определение 4’. Непустое множество с определенной на нем бинарной алгебраической операцией называется группоидом.