Свойства операций на множествах



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Свойства операций на множествах



Определение 5. Бинарная операция ∘ на множестве М называется коммутативной, если a,b М: ab = ba.

Определение 6. Бинарная операция ∘ на множестве М называется ассоциативной, если a, b, c М: (ab)∘c = a∘(bc).

Пример. Операции и на множестве P(U) являются коммутативными и ассоциативными, + и ‧ на ℤ – ассоциативные и коммутативные.

Замечание 1. Бинарная операция на множестве М может быть ассоциативной и коммутативной, но не быть алгебраичной.

Пример. М= {1, 2, 3}, + - коммутативный и ассоциативный, но 2+3 = 5 M.

Определение 7. Пусть ∘- бинарная алгебраическая операция на множестве М , элемент e называется нейтральным элементом относительно операции ∘, если ae = ea =a, a М.

Пример. <ℕ, +>: a+0 = 0+a = a, но 0 0 – нейтральный элемент относительно сложения, но не принадлежит ℕ.

Теорема 11. (Свойство нейтрального элемента).

Если во множестве М существует нейтральный элемент относительно бинарной алгебраической операции ∘, то он единственен.

Доказательство. Пусть е1, е2 – нейтральные элементы в М относительно операции ∘, покажем, что е1=е2.

Так как е1 – нейтральный элемент относительно операции ∘, то из определения 7 ae1 = e1a =a, a М . Выберем, например, a=e2Î М: e2e1= e1e2 =e2 (1).

Так как е2 – нейтральный элемент относительно операции ∘, то из определения 7 e2a = ae2 = a a М. Выберем a=e1Î М: e2e1 = e1e2 =e1 (2).

Из (1) и (2) е1=е2 . Теорема доказана.

Определение 8. Пусть ∘- бинарная алгебраическая операция на множестве М , е – нейтральный элемент в М относительно операции ∘, элемент а’ называется симметричным элементом для элемента a М относительно операции ∘, если аа’ = a’∘a = e.

Пример. 3 ℕ, относительно «×» симметричным является элемент , так как 3× = ×3 = 1 (но Ïℕ) .

Теорема 12. (свойство симметричного элемента). Пусть∘- бинарная алгебраическая операция на множестве М , е – нейтральный элемент в М относительно операции ∘ .Если операция ∘ ассоциативна на М, и в М для элемента a М существует симметричный элемент, то он единственен.

Доказательство. Пусть a’ и а” – симметричные элементы для элемента a М, a’, а М. Покажем, что a’= а”.

Так как а’ симметричный элемент для элемента a относительно операции ∘, то, по определению 8, аа’ = a’∘a = e (1).

Так как а” симметричный элемент для элемента a относительно операции ∘, то, по определению 8, аа” = a”∘a = e (2).

Тогда а’=(по опр.7)=а’∘e =(из (2))=а’∘(аа”)=(ассоциативность ∘) = (a’∘a)∘а” =(из(1))= еа” = (по опр.7)= а”. Теорема доказана.

Определение 9. Пусть ∘,* - бинарные алгебраические операции на множестве М . Операция ∘называется дистрибутивной относительно операции *, если a, b, c М: a∘ (b*c) = (ab)*(ac) и (b*c) ∘a = (ba)*(ca).

Пример. Умножение дистрибутивно относительно операции + на ℝ;дистрибутивно относительно и наоборот.

Теорема 13. Пусть∘ -ассоциативная бинарная алгебраическая операция на множестве М . Тогда применение операции ∘ к любым n элементам множества М не зависит от расстановки скобок, и значит, скобки можно опускать.

Определение 10. Группоид <M,∘> Называется полугруппой, если операция ∘ ассоциативна на М.

Определение 11. Полугруппа <M,∘> называется моноидом, если в М существует нейтральный элемент относительно операции ∘.

Определение 12. Полугруппа <M,∘> называется полугруппой с сокращением, если из а ∘ с =bc (ca = cb) a=b a, b, c М.

 

Группы.

Определение 13. Непустое множество G с определённой на нём бинарной алгебраической операцией ∘ называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

1) Операция ∘ ассоциативна на G ,т. е.

а∘(bc) = (ab)∘c, "a, b, c Î G.

2) В G существует нейтральный элемент относительно операции ∘ т. е.

$e Î G : " a Î G: ae = ea = a.

3) Для каждого элемента из G в G существует симметричный ему элемент, относительно операции ∘, т. е.

" a ÎG $ a' Î G : a∘ a' = a'a = e.

Примеры.

<ℕ, +> - не является группой, так как не выполняется аксиома 2) (0 Ï ℕ), но является полугруппой с сокращением;

<ℕ, ‧> - не является группой, так как не выполняется аксиома 3) (5 Î ℕ, но 1/5 ∉ ℕ), но является моноидом и полугруппой с сокращением;

<ℤ, +> - группа;

<ℤ, ‧> - не является группой, так как не выполняется аксиома 3) (5 Î ℤ, но 1/5 ∉ ℤ), но является моноидом и полугруппой с сокращением (для ℤ#);

<ℚ, +>, <ℝ, +> - группы;

<ℚ, ‧>, <ℝ, ‧> - не являются группами, так как не выполняется аксиома 3) (для нуля нет обратного);

<ℚ#, ‧>, <ℝ#, ‧> - группы.

Определение 14. Группа G относительно операции ∘ называется абелевой, если операция ∘ коммутативна на G, т. е. ab = ba, " a, bÎG.

Определение 15. Группа относительно сложения называется аддитивной. Нейтральный элемент е в ней называется нулевым и обозначается 0. Симметричный элементу а элемент а’ называется противоположным и обозначается –а.

Определение 16. Группа относительно умножения называется мультипликативной. Нейтральный элемент е в ней называется единичным и обозначается 1. Симметричный элементу а элемент а’ называется обратным и обозначается а-1.

Пример. ℤ, ℚ, ℝ – аддитивные группы; ℝ#, ℚ# - мультипликативные группы.

Определение 17. Группа G называется конечной, если она содержит конечное число элементов. В противном случае группа называется бесконечной.

Определение 18. Порядком конечной группы G называется число элементов группы G, и обозначается |G|.

Определение группы можно сформулировать следующим образом:

Определение 13'. Непустое множество G с определённой на нём бинарной алгебраической операцией ∘ называется группой, если выполняются следующие аксиомы:

1)' а∘(bc) = (ab)∘c, "a, b, c Î G.

2)' $ e Î G : ae = a, " a Î G (e – правыйнейтральныйэлемент).

3)' " a Î G $ a' ÎG : a∘ a' = e (a' – правыйсимметричныйэлемент).

Покажем, что определение 13 и определение 13' равносильны.

Доказательство.

1) Пусть выполняются аксиомы 1) – 3). 1)' – 3)'. Действительно, если G удовлетворяет условиям 1) – 3), то G удовлетворяет условиям 1)' – 3)'.

2) Пусть выполняются аксиомы 1)'–3)'. Покажем, что выполняются 1)–3).

Аксиома 1) = аксиоме 1)'.

Покажем, что выполняется аксиома 3). Достаточно показать, что a'∘a = e. Пусть (a')' – симметричный элемент для a', тогда по аксиоме 3)' : a'∘(a')' = e , тогда a'∘a = (a'∘a)∘ a'∘= (a'∘a)∘(a'∘(a')' ) =a'∘(a∘ a')∘ (a')' = (a'∘e)∘ (a')' = a'∘(a')' = e. Таким образом a'∘a = e => выполняется аксиома 3).

Покажем, что выполняется аксиома 2). Достаточно показать, что ea = a. ea = (aa')∘a = a∘(a'∘a) = ae = a. Таким образом, ea = a => выполняется аксиома 2).

Следовательно, определения 13 и 13' равносильны. ч. т. д.

Замечание. Для группы можно также сформулировать ещё одно определение 13'', в котором вместо правых нейтрального и симметричного элементов рассматриваются левые.

 

Простейшие свойства групп.

Пусть G – мультипликативная группа. Тогда справедливы свойства:

1. Применение операции «⋅» к любым n элементам группы G не зависит от расстановки скобок, и значит, их можно опустить.

Доказательство следует из теоремы 13.

2. Пусть a и b Î G, тогда уравнение ax = b (1) (ya = b) имеет в G единственное решение: x = a-1b (y = ba-1).

Доказательство.

1) Докажем, что уравнение (1) имеет в G решение. Таккак a ÎG то, поопределению 13аксиома 3), $a-1 ÎG, тогда умножим обе части (1) на а-1 слева: ax = b Þ
a-1(ax) = a-1b
Þ (a-1a)x = a-1b Þ ex = a-1b Þ x = a-1b.

2) Покажем, что a-1b – единственное решение уравнения (1).

Пусть x0 – решение уравнения (1) Þ ax0 = b – верное равенство. Умножим на a-1 слева. x0 = a-1b => x = x0. Свойство доказано.

3. " a, b, c ÎG: ac = bc Þ a = b (ca = cb Þ a = b), т. е. в G выполняется закон сокращения.

Доказательствопроводится домножением обеих частей равенства ac = bc (ca = cb)на с-1 справа (слева).

4. " a, b, Î G: ab = a Þ b = e.

Доказательство. Пусть ab = a Þ ab = ae Þ b=e.

5. " a, b, ÎG: (ab)-1 = b-1a-1.

Доказательство.Покажем, что b-1a-1 является обратным элементом для ab: (ab)( b-1a-1) = a(bb-1)a-1 = aea-1 = aa-1 = e = 1 Þ b-1a-1 = (ab)-1.

6. Единичный элемент в группе G определяется однозначно, т. е. он единственен.

7. Для каждого элемента группы симметричный элемент единственен.

Доказательствоследует из теорем 11 и 12.

Замечание.Свойства 1 – 7 для аддитивных групп имеют вид:

1) Применение операции + к любым n элементам группы G не зависит от расстановки скобок, и значит, их можно опустить.

2) Уравнение a + x = b имеет единственное решение: x = -a + b.

3) a + c = b + c Þ a = b.

4) a + b = a Þ b =0.

5) –(a + b) = (-b) + (-a).

6) Нулевой элемент в группе G определяется однозначно, т. е. он единственен.

7) Для каждого элемента группы противоположный элемент единственен.

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-06; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.197.197.23 (0.012 с.)