Свойства операций на множествах

Определение 5. Бинарная операция ∘ на множестве М называется коммутативной, если a, b М: a ∘ b = b ∘ a.

Определение 6. Бинарная операция ∘ на множестве М называется ассоциативной, если a, b, c М: (a ∘ b)∘ c = a ∘(b ∘ c).

Пример. Операции и на множестве P (U) являются коммутативными и ассоциативными, + и ‧ на ℤ – ассоциативные и коммутативные.

Замечание 1. Бинарная операция на множестве М может быть ассоциативной и коммутативной, но не быть алгебраичной.

Пример. М= {1, 2, 3}, + - коммутативный и ассоциативный, но 2+3 = 5 M.

Определение 7. Пусть ∘- бинарная алгебраическая операция на множестве М , элемент e называется нейтральным элементом относительно операции ∘, если a ∘ e = e ∘ a = a, a М.

Пример. <ℕ, +>: a +0 = 0+ a = a, но 0 ℕ 0 – нейтральный элемент относительно сложения, но не принадлежит ℕ.

Теорема 11. (Свойство нейтрального элемента).

Если во множестве М существует нейтральный элемент относительно бинарной алгебраической операции ∘, то он единственен.

Доказательство. Пусть е₁, е₂ – нейтральные элементы в М относительно операции ∘, покажем, что е₁ = е₂.

Так как е₁ – нейтральный элемент относительно операции ∘, то из определения 7 a ∘ e ₁ = e ₁∘ a = a, a М. Выберем, например, a = e ₂Î М: e ₂∘ e ₁= e ₁∘ e ₂ = e ₂ (1).

Так как е₂ – нейтральный элемент относительно операции ∘, то из определения 7 e ₂∘ a = a ∘ e ₂ = a a М. Выберем a = e ₁Î М: e ₂∘ e ₁ = e ₁∘ e ₂ = e ₁ (2).

Из (1) и (2) е ₁= е ₂ . Теорема доказана.

Определение 8. Пусть ∘- бинарная алгебраическая операция на множестве М , е – нейтральный элемент в М относительно операции ∘, элемент а ’ называется симметричным элементом для элемента a М относительно операции ∘, если а ∘ а ’ = a ’∘ a = e.

Пример. 3 ℕ, относительно «×» симметричным является элемент , так как 3× = ×3 = 1 (но Ïℕ).

Теорема 12. (свойство симметричного элемента). Пусть∘- бинарная алгебраическая операция на множестве М , е – нейтральный элемент в М относительно операции ∘.Если операция ∘ ассоциативна на М, и в М для элемента a М существует симметричный элемент, то он единственен.

Доказательство. Пусть a ’ и а ” – симметричные элементы для элемента a М, a ’, а ” М. Покажем, что a ’= а ”.

Так как а ’ симметричный элемент для элемента a относительно операции ∘, то, по определению 8, а ∘ а ’ = a ’∘ a = e (1).

Так как а ” симметричный элемент для элемента a относительно операции ∘, то, по определению 8, а ∘ а ” = a ”∘ a = e (2).

Тогда а ’=(по опр.7)= а ’∘ e =(из (2))= а ’∘(а ∘ а ”)=(ассоциативность ∘) = (a ’∘ a)∘ а ” =(из(1))= е ∘ а ” = (по опр.7)= а ”. Теорема доказана.

Определение 9. Пусть ∘,* - бинарные алгебраические операции на множестве М . Операция ∘называется дистрибутивной относительно операции *, если a, b, c М: a ∘ (b * c) = (a ∘ b)*(a ∘ c) и (b * c) ∘ a = (b ∘ a)*(c ∘ a).

Пример. Умножение дистрибутивно относительно операции + на ℝ; дистрибутивно относительно и наоборот.

Теорема 13. Пусть∘ -ассоциативная бинарная алгебраическая операция на множестве М . Тогда применение операции ∘ к любым n элементам множества М не зависит от расстановки скобок, и значит, скобки можно опускать.

Определение 10. Группоид < M,∘> Называется полугруппой, если операция ∘ ассоциативна на М.

Определение 11. Полугруппа < M,∘> называется моноидом, если в М существует нейтральный элемент относительно операции ∘.

Определение 12. Полугруппа < M,∘> называется полугруппой с сокращением, если из а ∘ с = b ∘ c (c ∘ a = c ∘ b) a = b a, b, c М.

 

Группы.

Определение 13. Непустое множество G с определённой на нём бинарной алгебраической операцией ∘ называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

1) Операция ∘ ассоциативна на G,т. е.

а ∘(b ∘ c) = (a ∘ b)∘ c, "a, b, c Î G.

2) В G существует нейтральный элемент относительно операции ∘ т. е.

$ e Î G: " a Î G: a ∘ e = e ∘ a = a.

3) Для каждого элемента из G в G существует симметричный ему элемент, относительно операции ∘, т. е.

" a Î G $ a' Î G: a∘ a' = a' ∘ a = e.

Примеры.

<ℕ, +> - не является группой, так как не выполняется аксиома 2) (0 Ï ℕ), но является полугруппой с сокращением;

<ℕ, ‧> - не является группой, так как не выполняется аксиома 3) (5 Î ℕ, но 1/5 ∉ ℕ), но является моноидом и полугруппой с сокращением;

<ℤ, +> - группа;

<ℤ, ‧> - не является группой, так как не выполняется аксиома 3) (5 Î ℤ, но 1/5 ∉ ℤ), но является моноидом и полугруппой с сокращением (для ℤ^#);

<ℚ, +>, <ℝ, +> - группы;

<ℚ, ‧>, <ℝ, ‧> - не являются группами, так как не выполняется аксиома 3) (для нуля нет обратного);

<ℚ^#, ‧>, <ℝ^#, ‧> - группы.

Определение 14. Группа G относительно операции ∘ называется абелевой, если операция ∘ коммутативна на G, т. е. a ∘ b = b ∘ a, " a, b Î G.

Определение 15. Группа относительно сложения называется аддитивной. Нейтральный элемент е в ней называется нулевым и обозначается 0. Симметричный элементу а элемент а ’ называется противоположным и обозначается – а.

Определение 16. Группа относительно умножения называется мультипликативной. Нейтральный элемент е в ней называется единичным и обозначается 1. Симметричный элементу а элемент а ’ называется обратным и обозначается а ^-1.

Пример. ℤ, ℚ, ℝ – аддитивные группы; ℝ^#, ℚ^# - мультипликативные группы.

Определение 17. Группа G называется конечной, если она содержит конечное число элементов. В противном случае группа называется бесконечной.

Определение 18. Порядком конечной группы G называется число элементов группы G, и обозначается | G |.

Определение группы можно сформулировать следующим образом:

Определение 13'. Непустое множество G с определённой на нём бинарной алгебраической операцией ∘ называется группой, если выполняются следующие аксиомы:

1)' а ∘(b ∘ c) = (a ∘ b)∘ c, "a, b, c Î G.

2)' $ e Î G: a ∘ e = a, " a Î G (e – правыйнейтральныйэлемент ).

3)' " a Î G $ a' ÎG: a∘ a' = e (a' – правыйсимметричныйэлемент ).

Покажем, что определение 13 и определение 13' равносильны.

Доказательство.

1) Пусть выполняются аксиомы 1) – 3). 1)' – 3)'. Действительно, если G удовлетворяет условиям 1) – 3), то G удовлетворяет условиям 1)' – 3)'.

2) Пусть выполняются аксиомы 1)'–3)'. Покажем, что выполняются 1)–3).

Аксиома 1) = аксиоме 1)'.

Покажем, что выполняется аксиома 3). Достаточно показать, что a '∘ a = e. Пусть (a ')' – симметричный элемент для a ', тогда по аксиоме 3)': a '∘(a ')' = e, тогда a '∘ a = (a '∘ a)∘ a '∘= (a '∘ a)∘(a '∘(a ')') = a '∘(a∘ a ')∘ (a ')' = (a '∘ e)∘ (a ')' = a '∘(a ')' = e. Таким образом a '∘ a = e => выполняется аксиома 3).

Покажем, что выполняется аксиома 2). Достаточно показать, что e ∘ a = a. e ∘ a = (a ∘ a ')∘ a = a ∘(a '∘ a) = a ∘ e = a. Таким образом, e ∘ a = a => выполняется аксиома 2).

Следовательно, определения 13 и 13' равносильны. ч. т. д.

Замечание. Для группы можно также сформулировать ещё одно определение 13'', в котором вместо правых нейтрального и симметричного элементов рассматриваются левые.

 

Простейшие свойства групп.

Пусть G – мультипликативная группа. Тогда справедливы свойства:

1. Применение операции «⋅» к любым n элементам группы G не зависит от расстановки скобок, и значит, их можно опустить.

Доказательство следует из теоремы 13.

2. Пусть a и b Î G, тогда уравнение ax = b (1) (ya = b) имеет в G единственное решение: x = a ^-1 b (y = ba ^-1).

Доказательство.

1) Докажем, что уравнение (1) имеет в G решение. Таккак a Î G то, поопределению 13аксиома 3), $ a^-1 Î G, тогда умножим обе части (1) на а ^-1 слева: ax = b Þ
a^-1(ax) = a^-1b Þ (a^-1a)x = a^-1b Þ ex = a^-1b Þ x = a^-1b.

2) Покажем, что a ^-1 b – единственное решение уравнения (1).

Пусть x ₀ – решение уравнения (1) Þ ax ₀ = b – верное равенство. Умножим на a ^-1 слева. x ₀ = a ^-1 b => x = x _0. Свойство доказано.

3. " a, b, c Î G: ac = bc Þ a = b (ca = cb Þ a = b), т. е. в G выполняется закон сокращения.

Доказательство проводится домножением обеих частей равенства ac = bc (ca = cb)на с^-1 справа (слева).

4. " a, b, Î G: ab = a Þ b = e.

Доказательство. Пусть ab = a Þ ab = ae Þ b=e.

5. " a, b, Î G: (ab)^-1 = b ^-1 a ^-1.

Доказательство. Покажем, что b ^-1 a ^-1 является обратным элементом для ab: (ab)(b ^-1 a ^-1) = a (bb ^-1) a ^-1 = aea ^-1 = aa ^-1 = e = 1 Þ b ^-1 a ^-1 = (ab)^-1.

6. Единичный элемент в группе G определяется однозначно, т. е. он единственен.

7. Для каждого элемента группы симметричный элемент единственен.

Доказательство следует из теорем 11 и 12.

Замечание. Свойства 1 – 7 для аддитивных групп имеют вид:

1) Применение операции + к любым n элементам группы G не зависит от расстановки скобок, и значит, их можно опустить.

2) Уравнение a + x = b имеет единственное решение: x = - a + b.

3) a + c = b + c Þ a = b.

4) a + b = a Þ b = 0.

5) –(a + b) = (-b) + (-a).

6) Нулевой элемент в группе G определяется однозначно, т. е. он единственен.

7) Для каждого элемента группы противоположный элемент единственен.