Подгруппы. Критерий подгруппы.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Подгруппы. Критерий подгруппы.



Определение 19. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и обозначается Н£G(Н – подгруппа группы G).

Определение 20. Если Н£G и H G, то Н называется подгруппой группы G собственно содержащейся в G,и обозначается H<G.

Замечание 1.Любая группа G имеет следующие подгруппы: G£G, , где Е – единичная подгруппа группы G.

Определение 21. Подгруппы Е и G группы G называются тривиальными подгруппами группы G. Все остальные подгруппы группы G нетривиальными или собственными.

Теорема 14 (Критерий подгруппы). Пусть Н – непустое множество, НÍG, G – группа (мультипликативная группа). Н£G выполняются два условия:

1) h1, h2 H: h1h2 H;

2) h H: h-1 H.

Доказательство:

1. Необходимость: Пусть Н£G.Покажем, что выполняются условия 1) -2).

Так как Н£G H - группа выполняется условие 2).Так как умножение является алгебраической операцией в группе, то выполняется условие 1).

2. Достаточность: Пусть выполняются условия 1) и 2). Докажем, что Н£G. В силу определения подгруппы достаточно показать, что Н – непустое множество, Н G, H-группа относительно умножения, заданного в G.

По условию, Н – непустое множество и Н G.Покажем, что Н – группа.

Достаточно показать, что Н удовлетворяет определению группы.

Из условия 1) операция «‧» - алгебраическая на Н. Покажем, что в Н выполняются аксиомы 1-3(аксиомы группы):

а). Так как H G и операция умножения ассоциативна на G (G-группа) операция умножения ассоциативна на Н.

б). Так как Н – непустое множество h H h-1 H hh-1 H (hh-1=e), то есть е Н.

в). Из условия 2) Н удовлетворяет аксиоме 3.

Вывод: из а) – в) Н – группа относительно умножения, заданного на G H£G.

Теорема 14’(критерий подгруппы в аддитивной записи) Пусть Н – непустое множество, НÍG.

Н£G выполняются два условия: 1). h1, h2 H: h1 + h2 H.

2). h H: (-h) H.

Замечание 2.Критерий подгруппы можно использовать также в следующем виде: Пусть Н – непустое множество, Н G, G – группа, H£G выполняется условие h1, h2 H: h1h2-1 H (в аддитивной записи h1 + (-h2) H).

Замечание 3. Алгебраическая операция вычитания в группе <G, + > определяется по правилу a, b G: a-b=а+(-b).

Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.

Определение 22. Пусть < G , ∘ >, < G1 , * > - группы. Отображение G G1 называется гомоморфным отображением, если G.

Определение 23. Инъективный гомоморфизм называется мономорфизмом. Сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом. Биективный – изоморфизмом. Гомоморфизм группы G в G называется эндоморфизмом. Изоморфизм группы G на G называется автоморфизмом.


 

мономорфизм

 

1 изоморфизм

 

-гомоморфизм 2 эпиморфизм

 

3автоморфизм

 

эндоморфизм

где 1 - -инъекция; 2 - -сюръекция; 3 - : G G.

Определение 24. Взаимно однозначное отображение группы G на G1 называется изоморфизмом, если - гомоморфизм.

Определение 25. Группы G и G1 называются изоморфными, и обозначаются G G1, если существует изоморфизм G на G1.

Замечание. - изоморфизм 1). - гомоморфизм; 2). - биекция.

 

Кольцо. Виды колец. Простейшие свойства колец.

Определение 26. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы кольца):

1.<K, +> абелева группа, т.е.

а) ассоциативность сложения на K: с =

б) K:

в)

г) Операция «+» коммутативна на K:

2.В K выполняются дистрибутивные законы, т.е.

а) - правый дистрибутивный закон

б) -левый дистрибутивный закон

Примеры:

ℕ-не является кольцом, т. к. ℕ не явл. аддитивной группой. ℤ-кольцо, ℚ,ℝ-кольца.

Виды колец.

Определение 27.Кольцо K называется ассоциативным, если операция умножения ассоциативна на K, т.е. .

Определение 28. Кольцо K называется коммутативным, если операция умножения коммутативна на K, т.е. .

Определение 29. Кольцо K называется ассоциативно-коммутатитвным, если K - ассоциативное кольцо и коммутативное кольцо.

Определение 30. Кольцо K называется кольцом с единицей, если в K существует единичный элемент, т.е. 1 .

Определение 31.Элементы а и b кольца K называются делителями нуля, если но .

Определение 32.Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется областью целостности.

Простейшие свойства колец.

Свойство 1 .Для кольца K выполняются все свойства аддитивной группы (см. Замечание 1 из вопроса Простейшие свойства групп) 1-7.

Свойство 2.

ДоказательствоДокажем, что , т.е. что а это противоположный элемент –а. Действительно,

Свойство 3. т.е. в K выполняется дистрибутивность умножения относительно разности

Доказательство Рассмотрим равенство Þ Þ Þ Þ Þ

Свойство 4.(правило знаков)

1)

2)

3)

Доказательство.1)

2)

3)

Свойство 5.

Доказательство.

Свойство 6. Пусть Тогда Аналогично

Доказательство. Проведем методом математической индукции по параметру n

1) Пусть верно, т.к. K – кольцо.

2) Предположим, что утверждение верно при n=k, т.е.

3).Докажем, что утверждение верно при n=k+1, т.е. докажем что

Действительно, =

Из 1)-3) по методу математической индукции утверждение верно .

Свойство 7. Пусть Тогда

Доказательство.

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-06-06; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.110.106 (0.02 с.)