Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Подгруппы. Критерий подгруппы.Содержание книги Поиск на нашем сайте
Определение 19. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и обозначается Н £ G (Н – подгруппа группы G). Определение 20. Если Н £ G и H G, то Н называется подгруппой группы G собственно содержащейся в G,и обозначается H < G. Замечание 1. Любая группа G имеет следующие подгруппы: G £ G, , где Е – единичная подгруппа группы G. Определение 21. Подгруппы Е и G группы G называются тривиальными подгруппами группы G. Все остальные подгруппы группы G нетривиальными или собственными. Теорема 14 (Критерий подгруппы). Пусть Н – непустое множество, Н Í G, G – группа (мультипликативная группа). Н £ G выполняются два условия: 1) h1, h2 H: h1 ‧ h2 H; 2) h H: h-1 H. Доказательство: 1. Необходимость: Пусть Н £ G. Покажем, что выполняются условия 1) -2). Так как Н £ G H - группа выполняется условие 2).Так как умножение является алгебраической операцией в группе, то выполняется условие 1). 2. Достаточность: Пусть выполняются условия 1) и 2). Докажем, что Н £ G. В силу определения подгруппы достаточно показать, что Н – непустое множество, Н G, H -группа относительно умножения, заданного в G. По условию, Н – непустое множество и Н G. Покажем, что Н – группа. Достаточно показать, что Н удовлетворяет определению группы. Из условия 1) операция «‧» - алгебраическая на Н. Покажем, что в Н выполняются аксиомы 1-3(аксиомы группы): а). Так как H G и операция умножения ассоциативна на G (G -группа) операция умножения ассоциативна на Н. б). Так как Н – непустое множество h H h -1 H h ⋅ h -1 H (h ⋅ h -1= e), то есть е Н. в). Из условия 2) Н удовлетворяет аксиоме 3. Вывод: из а) – в) Н – группа относительно умножения, заданного на G H £ G. Теорема 14’ (критерий подгруппы в аддитивной записи) Пусть Н – непустое множество, Н Í G. Н£ G выполняются два условия: 1). h 1, h 2 H: h 1 + h 2 H. 2). h H: (- h) H. Замечание 2. Критерий подгруппы можно использовать также в следующем виде: Пусть Н – непустое множество, Н G, G – группа, H £ G выполняется условие h 1, h 2 H: h 1⋅ h 2-1 H (в аддитивной записи h 1 + (- h 2) H). Замечание 3. Алгебраическая операция вычитания в группе <G, + > определяется по правилу a, b G: a - b = а +(- b). Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Определение 22. Пусть < G, ∘ >, < G1, * > - группы. Отображение G G 1 называется гомоморфным отображением, если G. Определение 23. Инъективный гомоморфизм называется мономорфизмом. Сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом. Биективный – изоморфизмом. Гомоморфизм группы G в G называется эндоморфизмом. Изоморфизм группы G на G называется автоморфизмом.
мономорфизм
1 изоморфизм
-гомоморфизм 2 эпиморфизм
3 автоморфизм
эндоморфизм где 1 - -инъекция; 2 - -сюръекция; 3 - : G G. Определение 24. Взаимно однозначное отображение группы G на G 1 называется изоморфизмом, если - гомоморфизм. Определение 25. Группы G и G 1 называются изоморфными, и обозначаются G G 1, если существует изоморфизм G на G 1. Замечание. - изоморфизм 1). - гомоморфизм; 2). - биекция.
Кольцо. Виды колец. Простейшие свойства колец. Определение 26. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы кольца): 1.< K, +> абелева группа, т.е. а) ассоциативность сложения на K: с = б) K: в) г) Операция «+» коммутативна на K: 2.В K выполняются дистрибутивные законы, т.е. а) - правый дистрибутивный закон б) -левый дистрибутивный закон Примеры: ℕ-не является кольцом, т. к. ℕ не явл. аддитивной группой. ℤ-кольцо, ℚ,ℝ-кольца. Виды колец. Определение 27. Кольцо K называется ассоциативным, если операция умножения ассоциативна на K, т.е. . Определение 28. Кольцо K называется коммутативным, если операция умножения коммутативна на K, т.е. . Определение 29. Кольцо K называется ассоциативно-коммутатитвным, если K - ассоциативное кольцо и коммутативное кольцо. Определение 30. Кольцо K называется кольцом с единицей, если в K существует единичный элемент, т.е. 1 . Определение 31. Элементы а и b кольца K называются делителями нуля, если но . Определение 32. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется областью целостности. Простейшие свойства колец. Свойство 1. Для кольца K выполняются все свойства аддитивной группы (см. Замечание 1 из вопроса Простейшие свойства групп) 1-7. Свойство 2. Доказательство Докажем, что , т.е. что а это противоположный элемент –а. Действительно, Свойство 3. т.е. в K выполняется дистрибутивность умножения относительно разности Доказательство Рассмотрим равенство Þ Þ Þ Þ Þ Свойство 4. (правило знаков) 1) 2) 3) Доказательство. 1) 2) 3) Свойство 5. Доказательство. Свойство 6. Пусть Тогда Аналогично Доказательство. Проведем методом математической индукции по параметру n 1) Пусть верно, т.к. K – кольцо. 2) Предположим, что утверждение верно при n=k, т.е. 3).Докажем, что утверждение верно при n=k+1, т.е. докажем что Действительно, =
Из 1)-3) по методу математической индукции утверждение верно . Свойство 7. Пусть Тогда Доказательство.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-06-06; просмотров: 2624; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.65.133 (0.006 с.) |