Измеримые по Лебегу множества. Критерий измеримости.

Определение 1. Множество A X называется измеримым по Лебегу относительно меры m, если для него выполнено равенство (A) + (X \ A) = m(X).

Совокупность всех измеримых множеств обозначим через . Если множество A измеримо, то назовем его мерой внешнюю меру, т. е. (A) = (A), A .

Заметим, что понятие измеримого множества зависит от исходноймеры m, заданной на алгебре K(S).

Теорема 1. (Критерий измеримости). Пусть задано множество X и алгебра K(S) с σ -аддитивной конечной мерой m. Тогда для любого множества A X следующие утверждения эквивалентны: 1) A измеримо по Лебегу относительно меры m; 2) для любого > 0 существует элементарное множество B K(S) такое, что (A B) <

Следствие1. Множество A X измеримо, если для любого > 0 существует измеримое множество B такое, что (A B) <

Теорема 2. Совокупность измеримых по Лебегу множеств образует σ –алгебру множеств, содержащую исходную алгебру K(S).

Следствие 2. Счетное пересечение измеримых множеств измеримо.

Теорема 3. Сужение внешней меры на класс измеримых множеств задает счетно-аддитивную меру .

Таким образом, лебеговым продолжением меры m; заданной на алгебре K (K(S)) называется функция (A), определенная на классе измеримых множеств и совпадающая на K(K(S)) с (A), а на с (A).

Определение 2. Мера m, заданная на алгебре K, называется полной, если из m(A) = 0 следует, что любое подмножество B A принадлежит K и m(B) = 0.

Определение 3. Мера заданная на кольце K P(X), называется σ -конечной, если существует последовательность множеств A1 A2 … An … такая, что (An) < + для всех n и X = An.

Определение 4. Множество A X называется измеримым относительно σ -конечной меры, если для любого n измеримо множество A An.

Следовательно, множество A X измеримо, если оно состоит из измеримых в An множеств A An.

Для измеримого множества A можно ввести определение меры множества по формуле

(A) = lim (A An) при n к бесконечности.

Можно показать, что значение (A) не зависит от способа разбиения множества X.

 

5. σ-аддитивность меры Лебега, σ -алгебра измеримых по Лебегу множеств.

Пусть X – произвольное множество, K(S) ⊂ P(X) – алгебра его подмножеств, на которой задана σ-аддитивная конечная мера и для каждого множества A ⊂ X определена внешняя мера .

Определение

Множество A ⊂ X называется измеримым по Лебегу относительно меры m, если для него выполнено равенство (A) + (X \ A) = m(X).

Теорема (Критерий измеримости).

Пусть задано множество X и алгебра K(S) с σ-аддитивной конечной мерой m. Тогда для любого множества A ⊂ X следующие утверждения эквивалентны:

1) A измеримо по Лебегу относительно меры m;

2) для любого ε>0 существует элементарное множество B ∈ K(S) такое, что (A ∆ B) < ε.

Следствие

Множество A ⊂ X измеримо, если для любого ε > 0 существует измеримое множество B такое, что

(A ∆ B) < ε.

Теорема

Совокупность Σ измеримых по Лебегу множеств образует σ-алгебру множеств, содержащую исходную алгебру K(S).

Следствие

Счетное пересечение измеримых множеств измеримо.

Теорема

Сужение внешней меры на класс измеримых множеств Σ задает счетно-аддитивную меру µ.

Определение

Мера m, заданная на алгебре K, называется полной, если из m(A) = 0 следует, что любое подмножество B ⊂ A принадлежит K и m(B) = 0.

Определение

Мера µ заданная на кольце K ⊂ P(X), называется σ-конечной, если существует последовательность множеств ⊆ ⊆... ⊆ ⊆... такая, что µ() < +∞ для всех n и X = .

Определение

Множество A ⊂ X называется измеримым относительно σ-конечной меры, если для любого n измеримо множество A ∩ An.

Для измеримого множества A можно ввести определение меры множества по формуле

(A) = lim (A An) при n к бесконечности.

Можно показать, что значение (A) не зависит от способа разбиения множества X.

 

6. Непрерывность меры Лебега

14. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега
Теорема: Пусть f(x) суммируемая на множестве А функция. Тогда для любого для всякого измеримого множества Е (А такого, что .

Теорема: Пусть f суммируемая функция на множестве А и пусть А = , где все измеримые множества. Тогда f суммируема по каждому и

причем ряд справа сходится абсолютно.

Следствие: Если f суммируема на измеримом множестве А, то f суммируема на любом подмножестве B A;

Теорема: Пусть измеримое множество А = и на каждом функция f суммируема, причём ряд сходится. Тогда функция f суммируема на А и
Определение: Произвольная (конечная) -аддитивная функция v, определённая на некоторой -алгебре множества Х, называется знакопеременной мерой или зарядом.