Алгебраически замкнутые поля. Алгеброич. замык. Поля рац.чисел

 

В обозначениях предыдущей леммы и теоремы K= P _F называют алгебраическим замыканием Р в поле F (min подгруппа F, которая содержит Р)

Т.к. Q R, Q_R – алгебраическое замыкание Q над R

Св-во 7.5 Q_R Q, но Q_R ≠ R, т.к. i Q, i Q_R, x²+1 алгебраич.замыкание Q_R и Q является алгебрач.расширением и не является конечным расширением. Q_R не является конечным расширением Q. n N p_n(x)=xⁿ-2 по признаку Эенштейна p_n(x)=xⁿ-2 неприводим, р=2

[Q()]=n

Qⁿ () Q _R и эл-ты 1, , …, -линейно независимы и Q _R в.

n N в Q _R n линейно независимых эл-тов над Q, это говорит о том, что [Q_R ]=n невозможно

Теорема. Q алгебраически замкнутое поле.

Док-во. Возьмем р(х)= а₀+а₁ х+…+а_n хⁿ Q [x], deg f(x)≥1, т к поле С комплексных чисел алгебраически замкнуто, то z C, такой что z- корень р(х). эл-ты а₀,а₁,…,а_n Q, тогда по орпеделенію оні все алгебраически над Q, тогда Q (а₀,а₁,…,а_n)(z)- простое расширение Q (а₀,а₁,…,а_n) с примитивным алгебраическим эл-том z,

[Q (а₀,а₁,…,а_n,z): Q (а₀,а₁,…,а_n)]=m

[Q (а₀,а₁,…,а_n): Q ]=k, тогда [Q (а₀,а₁,…,а_n,z): Q ]=mk. Получили конечное расширение, значит его алгебраич.расширение Q, значит z алгебраич. эл-т над Q, значит z Q, значит Q- алгебраически замкнуто.

Следствие. Пусть P F, F - алгебраически замкнуто, тогда P _F - алгебраически замкнутое поле.

Док-во: в теореме заменить Q на P, C на F, Q на P_F.

Определение. Q- поле алгебраических чисел.

 

Группы. Определение, прим., с-ва.

Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией ^о называется группой, если выполнены следующие аксиомы:

1. ассоциативность: (g₁ ^о g₂₎ ^о g_{3 =}g₁ ^о (g₂^о g₃₎;

2. наличие нейтрального элемента: e^og= g^oe= e;;

3. наличие обратного элемента: g^og^-1 =g^{-1 o}g=e

Обозн. <G; ^o> или G

Опр. Если в группе операция + (сумма или сложение) то группа называется аддитивной, нейтральный в ней-0, симметричный g^-1=-g и называется противоположным

Если в группе операция ^. (умножение или произведение) то группа называется мультипликативной, нейтральный в ней-1, симметричный g^-1=-g и называется обратным.

Опр. <G; ^o>, в которой для любых g₁, g₂: g₁ ^о g₂₌ g₂^о g₁ называется коммутативной или абелевой.

ПР. Явл-ся ли группой?

<N;+>НЕТ, нет нейтрального. <Z;+ >-да.. <С;^. >-нет обратного к 0. GL_n(P) =A Mat(n.n), detA≠1)- да.

Cв-во. Нейтральный в группе единственен

Док-во е₁ ^oе₂ =е и е₁ ^o е₂ =е значит е₁=е₂

Cв-во. С имметричныйв группе единственен

Док-во. Пусть (g^-1)₁≠(g^-1)_2. Рассмотрим (g^-1)₁ o g o (g^-1)₂ =((g^-1)₁ o g) o (g^-1)₂ =e o (g^-1)₂ с другой стороны (g^-1)₁ o (g o (g^-1)₂)= (g^-1)₁ o e= (g^-1)₁ значит (g^-1)₁=(g^-1)_2. ?!

Cв-во. в любой группе e^-1 =e

Cв-во. (g^-1)^-1=g. Док-во. g^-1 o g= g o g^-1=e, значит (g^-1)^-1=g.

Cв-во. в любой группе ( g₁ o g₂) ^-1= g₂ ^-1 o g ^-1_1.

Док-во. Нужно показать 1) ( g₁ o g₂) o(g₂ ^-1 o g ^-1₁)=e 2) (g₁ ^-1 o g₂ ^-1) o (g₁ o g₂)=e.

Докажем 1) ( g₁ o g₂) o(g₂ ^-1 o g ^-1₁)=g₁ o g₂ o g₂ ^-1 o g ^-1₁= g₁ o (g₂ o g₂ ^-1)o g ^-1₁= =g₁ o e o g ^-1₁= (g₁ o e) o g ^-1₁= g₁ o g ^-1₁=e. Аналогично 2)

15. уравнение g₁ o х= g₂

Т-ма в группе для любых g₁, g₂ уравнение g₁ o х= g₂ (1)имеет единственное решение: х= g₁ ^-1 o g₂

Док-во. Подставить (х) в (1) и показать, что решение ед-но:

g₁ o (g₁ ^-1 o g₂)= g_2,

₍g₁ o g₁ ^-1)o g₂= g_{2 .}

еo g₂= g_{2 .}

 

Единственность: пусть х₀ другой корень и

g₁ o х₀= g₂ –верно,

g₁ ^-1 o g₁ o х₀= g₁ ^-1 o g₂

(g₁ ^-1 o g₁₎ o х₀= g₁ ^-1 o g₂

е o х₀= g₁ ^-1 o g₂

х₀= g₁ ^-1 o g₂, значит

х₀=х

16. х o g₁ = g₂

Теорема 8.11 в группе для любых g₁, g₂ уравнение х o g₁ = g₂(1) имеет единственное решение:

х= g₂ o g₁ ^-1.

Док-во Подставить (х) в (1) и показать, что решение ед-но:

(g₂ o g₁ ^-1) o g₁ = g_2,

g₂ o (g₁ ^-1o g₁)= g_{2 .}

g₂o е = g_{2 .}

Единственность: пусть х₀ другой корень и

х₀ o g₁ = g₂ –верно,

х₀ o g₁ o g₁ ^-1 = g₂ o g₁ ^-1

х₀ o (g₁ o g₁ ^-1) = g₂ o g₁ ^-1

х₀ o е = g₂ o g₁ ^-1

х₀= g₂ o g₁ ^-1, значит

х₀=х

Подгруппы. Первый критерий подгруппы.

Опред. Пусть дана группа <G;◦>, H<G, H≠Ø. Если H является группой относительно операции существующий в G, то в таком случае H-подгруппа группы в G. Обозначается H<G.

Критерий подгруппы1. <G;◦>- группа, H подгруппа G, H≠Ø. H<G тогда и только тогда, когда (для любых h₁, h₂ из Н h₁^-1◦h₂ из Н)

Док-во:(2 курс)

Если H<G, то тогда для любых h₁,h₂ из Н, h₁^-1 из Н cледовательно h₁^-1◦h₂ из Н.

Пусть для любых h₁, h₂ из Н, h₁^-1◦h₂ из Н

1)h₂=h₁ ,h₁^-1◦h₁=e из Н

2)h₂=e, h₁^-1◦e=h₁^-1 из Н

3)h₁→h₁^-1, (h₁^-1)^-1◦h₂=h₁◦h₂ из Н

Показали Н замкнуто относительно определения. Ассоциативности в Н выполняется т.к. она выполняется в G.

Подгруппы. Второй критерий подгруппы.

Критерий подгруппы2. <G;◦>- группа, H подгруппа G, H≠Ø. H<G тогда и только тогда, когда для любых h₁, h₂ из Н h₁◦h₂^-1 из Н

Док-во:(2 курс)

Если H<G, то тогда для любых h₁,h₂ из Н, h₂^-1 из Н cледовательно h₂^-1◦h₁ из Н.

Пусть для любых h₁, h₂ из Н, h₂^-1◦h₁ из Н

1)h₁=h₂,h₂^-1◦h₂=e из Н

2)h₁=e, h₂^-1◦e=h₂^-1 из Н

3)h₂→h₂^-1, (h₂^-1)^-1◦h₁=h₂◦h₁ из Н

Показали Н замкнуто относительно определения. Ассоциативности в Н выполняется т.к. она выполняется в G.

Подгруппы. Третий критерий подгруппы.

Критерий подгруппы3. <G;◦>- группа, H подгруппа G, H≠Ø. H<G тогда и только тогда, когда

 

1)для любых h₁, h₂ из Н h₁◦h₂ из Н

 

2)для любого h из H, h^-1 из H

 

Отношение эквивалентности, задаваемое подгруппой на группе. Фактор-множество группы по подгруппе

Опред.

Пусть дана группа <G;◦> и H<G. Введем на G бинарное отношение(~_н) определив g₁~_H g₂ тогда и только тогда, когда g₁^-1◦g₂ из Н.

 

Теорема. Бинарное отношение ~_Н на G из определения является отношением эквивалентности.

Док-во: 1) Рефлексивность

Для любого х, х ϸ х, где ϸ=~_Н, х=g из G

Для любого g, g~_H g тогда и только тогда, когда для любого g, g^-1◦g=e из Н.

2) Симметричность

Для любых х,у (х ϸ у) следует у ϸ х

Для любых g₁, g₂ g₁~_H g₂ следует g₂~_H g₁

g₁~_H g₂ ↔ g₁^-1◦g₂ из Н ↔│Н-группа│↔(g₁^-1◦g₂)^-1 из Н ↔g₂^-1◦g₁^-1 из Н ↔g₂^-1◦g₁ из Н ↔g₂~_H g₁

Транзитивность

Для любых x,y,z (x ϸ y и y ϸ z) следует х ϸ z

Для любых g₁, g₂, g₃ g₁~_H g₂ и g₂~_H g₃ cледует g₁~_H g₃ -?

g₁~_H g₂ и g₂~_H g₃ ↔g₁^-1◦g₂ из Н↔g₂^-1◦g₃ из Н→(т.к. Н<G)→(g₁^-1◦g₂)◦(g₂^-1◦g₃) из Н→ g₁^-1◦((g₂◦g₃^-1)◦g₃)=g₁^-1◦(e◦g₃) из Н→g₁^-1◦g₃ из Н→g₁~_H g₃

©

Опред. Фактор-множество группы G относительно эквивалентности ~_Н -- G/_~Н-фактор-множество группы G по подгруппе Н.