Минимальные алг. Элементов и их свойства

Поле

Опр. 1.1 Пусть Х-непустое мн-во,будем говорить,что на Х задана бинарная алг. Операция,если для х,у Х задан элемент х у

Опр. 1.2 Бинарная операция на мн. Х наз ассоциативной если , если опер. Ассоц,то <X, > наз. подгруппой

Опр. 1.3 Пусть на непустом мн М задана ассоц.опер. ,эл-т наз нейтральным, если если операция обозн. «+» и наз сложением,то тогда эл-т е наз нулевым,если операция обозн «» и на умнож. то нейтральный эл-т обычно наз еденицей, если в полугр. М есть нейтр. эл-т,то М наз моноидом

Опр. 1.4 если в моноиде <M, > для эл-та х ,то эл-т у наз. симметричным эл-ту х;если операция «+»,то эл-т у наз противоположным эл-ту х и обозн у=-х;если операция «»и наз умнож,то тогда у=х^-1 наз обратным к х(х )

Опр.1.5 Пусть <M, > монод и каждому эл-т из М-обратимый,т.e. к нему есть обратный,тогда М наз. группой

Опр. 1.6 Пусть на непустом мн К задана бинарная алг.опер <K;+>-коммут.группа(аддитивная тоже);<K; >-полугруппа и эти операц. связаны условием дистрибутивности,т.е. ,то тогда К-наз кольцом

Если операц. умнож в К-коммут,то кольцо К наз. коммут.Если в кольце К есть еденица,то кольцо К наз кольцом с еденицей

Опр.1.7 если в кольце К,кот комм.и с еденицей,у каждого ненулевого эл-та сущ обратный,то тогда К наз полем

Опр. 1.8 Пусть F-поле,PсF,кот само явл полем относ операции слож и умнож кот в F,тогда говорят,что Р-подполе поля F или,что F явл расширением поля Р

Опр. 1.9 Пусть Р-некот.поле, V≠ зада бинарная опер слож на 0

1) 1) слож ассоц

2) 8) 1

3) Слож коммут = 3) 4)

0) определено умнож в скалярах(эл-тов из Р) на векторы (эл-ты из Р) т.е.

5) 6 )

7)

Тогда говорят,что явл линейным(векторным)пространством над Р

Опр. 1. 10 Пусть F-поле,непустое подмножество Р наз подполем поля F,если само явл полем отномит тех операций которые сущ в F,в этом случае еще говорят,что F явл расширением поляР

2-3 Простое расширение поля.

Опр 2.1. Пусть Р-подполе в F, РсА и z F.Будем обозначать P(z)={ / }

Теор. 2.2 В условиях опр 2.1 Р(z) явл полем и это найм подполе а F,содержит Р и эл-т z

Опр 2.3 Р(z) наз простым расширением поля Р с помощью примитивного элемента z

Прим2.4 P=Q F=К z=

Q()={ / }

={a+b /a,b Q} Q cQ f(x)=a+bx g(x)=1

Ввиду минимальности расширения получаем =Q f(x)=x²-2 g(x)=1

Опр. 2.5 Пусть РсF,эл-т z наз алгебраическим над Р,если сущ многочлен f(x) такой,что f(x) 0 и при этом f(z)=0.Если элемент z не явл алгебраич над Р,то он наз трансцендентным над Р

Опр.2.6 PcF. Расширение P(z) наз простым алг расширением,если эл-т z алгебр над Р и трансцинд,если z-трансцинд над Р

1.1.Простое расширение поля.

Пусть P[x] — кольцо полиномов от x над полем P, где P — подполе поля F. Напомним, что элемент a поля F называется алгебраическим над полем P, если a является корнем какого-нибудь полинома положительной степени из P [x].

Определение. Пусть P < F и a0F. Простым расширением поля P с помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

Пусть a0F, P [x] — кольцо полиномов от x и P[x]={f(a)*f0P[x]},т. е. P [a] есть множество всех выражений вида a₀ + a ₁ a+...+ a_naⁿ, где а₀, a₁,...a_n0P и n — любое натуральное число.

Теорема 1.1. Пусть P [x]— кольцо полиномов от х над P и P (a)— простое расширение поля P. Пусть y — отображение P[x] на P[a] такое, что y(f)=f(a) для любого f из P[x]. Тогда:

(а) для любого а из Р y (а) = а; (b) y(x) = a; (с) y является гомоморфизмом кольца P [x] на кольцо P [a];

(d) Ker y ={f0P[x]*f(a)=0}; (е) фактор-кольцо P [x]/Кег y изоморфно кольцу P [a].

Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) непосредственно следуют из определения y. Отображение y сохраняет главные операции кольца P [x], так как для любых f и g из P[x] y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.

Далее, по условию, y есть отображение Р[х] на Р[a]. Следовательно, y является гомоморфизмом кольца P [x] на кольцо P [a]. Утверждение (d) непосредственно следует из определения отображения y.Поскольку y — гомоморфизм кольца P [x] на P [a], то фактор-кольцо P[x]/Кег y изоморфно кольцу P [a].

Следствие 1.2. Пусть a — трансцендентный элемент над полем P. Тогда кольцо полиномов P [x] изоморфно кольцу P [a].

Доказательство. В силу трансцендентности a над P Kery={0}. Поэтому P[x]/{0}– P [a]. Кроме того, фактор-кольцо кольца P [x] по нулевому идеалу изоморфно P [x]. Следовательно, P [x]– P [a].

ТЕОРЕМА(о строении простого расширения с примитивным алгебраическим элементом):

, z – алгебраический над , p(x) – min полином z.

Тогда , где

P(z) P(z), f(x)=f(z)/1 P(z). Тогда , но НОД(g(x),p(x))=1 существуют u(x),v(x) ,g(x)u(x)+p(x)v(x)=1

g(z)u(z)+p(z)v(z)=1, но p(z)=0 g(z)u(z)=1

 

 

Конечное расширение поля.

Пусть P — подполе поля F. Тогда мы можем рассматривать F как векторное пространство над P, т. е. рассматривать векторное пространство F + { 0P},где - операция умножения элементов из F на скаляр 0P.

Определение. Расширение F поля P называется конечным, если F, как векторное пространство над P, имеет конечную размерность. Эта размерность обозначается через [F: P].

Cв-во 2.1. Если a — алгебраический элемент степени n над P, то [P (a):P]=n.Это свойство непосредственно следует из теоремы (Пусть a — алгебраический над полем P элемент положительной степени n. Тогда любой элемент поля P(a) однозначно представим в виде линейной комбинации n элементов 1, a,..., a_n-1 с коэффициентами из Р.).

Определение. Расширение F поля P называется алгебраическим, если каждый элемент из F является алгебраическим над P.

Теорема 2.2. Любое конечное расширение F поля P является алгебраическим над P.

Доказательство. Пусть n-размерность F над P. Теорема, очевидно, верна, если n = 0. Предположим, что n>0. Любые n+1 элементов из F линейно зависимы над P. В частности, линейно зависима система элементов 1, a,..., an, т. е. существуют в P такие элементы с₀, с₁,…,c_n не все равные нулю, что с₀1+ с₁a+…+c_n aⁿ = 0.

Следовательно, элемент a является алгебраическим над P.

Отметим, что существуют алгебраические расширения поля, не являющиеся конечными расширениями.

Теор.2.7 Конечное расширение конечного расширения явл конечным

Пусть F — конечное расширение поля L и L — конечное расширение поля P. Тогда F является конечным расширением поля P и [F: P] = [F: L][ L: P].

Доказательство. Пусть(1) a₁,…,a_m — базис поля L над P (как векторного пространства) и (2) ₁,…, _n— базис поля F над L. Любой элемент d из F можно линейно выразить через базис:(3) d = l_{1 1}+...+l_{n n} (l_k L).

Коэффициенты 1_k можно линейно выразить через базис (1):(4) l_k = p_1k a +…+ p_mk a_m (p_ik P).Подставляя выражения для коэффициентов l_k в (3), получаем d = p_ik a_{i k}. i {1,…,m}k {1,…,n}.Таким образом, каждый элемент поля F представим в виде линейной комбинации элементов множества B, где B = { a _{i k} /{1,..., m}, k 0 {l,..., n}}.Отметим, что множество B состоит из nm элементов.Покажем, что B есть базис F над полем P. Нам надо показать, что система элементов множества B линейно независима. Пусть (5) c_ika_{i k} = 0, I,k

где c_ik 0 P. Так как система (2) линейно независима над L, то из (5) следуют равенства (6) с_1ka ₁+...+с_mka _m = 0 (k = 1,..., n).

Поскольку элементы a₁,..., a_m линейно независимы над P, то из (6) следуют равенства c_1k = 0,…,cmk = 0 (k = 1,..., n),показывающие, что все коэффициенты в (5) равны нулю. Таким образом, система элементов B линейно независима и является базисом F над P.Итак установлено, что [F, P] = nm = [F: L][L: P]. Следовательно, F является конечным расширением поля P

 

Конечно порождённые расширения. Определения и строение.

Опр.5.1 Пусть заданы вложения полей Р с Т с F (1)’. Тогда (1) наз. цепочкой расширения.

P=P₁ c P₂ c…c Pz=F (1). Включения могут оказаться равенствами.

5.2 Пусть Р с F, z₁, z₂ Î F. Рассм. P₁=P(z₁)- простое расширение Р. Р₁ с F, P1(z₂)=P(z₁)(z₂).

Т 5.3 Пусть Р – подполе поля F. Z₁, z₂ ÎF.

Р(z₁)(z₂)=

Док-во: M c P(z₁;z₂); ; f(x;y)

f(x;y) = (x) , (z1)

g(x;y)

x=z₁

f(z₁;y)=

f(z₁;z₂)=

g(z₁;z₂)=

Возьмём произвольный эл-т из P(z₁)(z₂)

t= (*)

t , все

Домножим числитель и знаменатель на общий знаменатель дробей, который получается в результате сложения Получим, что в числителе и знаменателе из Р₁=Р(z₁) на степени элементов z₂ F₂

 

По определению P[x;y]=P(x)(y)

Р(z₁)

Св-во 5.4 Пусть Р – подполе F. Z₁, z₂ .

Тогда P(z₁;z₂)=P(z₂;z₁)

Док-во: Р(z₂;z₁)=

Поэтому М=М1. Отсюда P(z₁)(z₂)=P(z₂;z₁). Это расширение обозначим P(z₁;z₂) и назавём расширением Р,с порождающими z₁, z₂.

Опр. 5.5. Аналогично предыдущему, если дано включение полей P c F, z₁, z₂ Рассм. P(z₁,z₂,….,z_k), кот. наз. Расширением поля P c конечным числом (сk) пораждающих.

 

Алгебраические расширения.

Опр.6.1 Пусть Р с F. Расширение F наз. Алгебраическим расширением Р, если

Пр 6.2.1 R с C, z= a+bi; a, b Î R.

f(x) =(x-(a+bi))(x-(a-bi))=((x-a)-bi)((x-a)+bi)=(x-a)²-(bi)² = x²-2ax+(a²+b²)

f(a+bi)=0

комплексное число явл. корнем многочлена с комплексными коэффициентами, значит

C является алгебраическим расширением R.

Пр.6.2.2 Q c Q[ ]

a+b

(x-(a+b ))(x+(a-b ))=((x-a)-b )((x+a)+b )= (x-a)²-2b²=x²-2ax+(a²-2b²)

Т 6.3. конечное расширение явл. алгебраическим.

Д-во: Пусть дано P c F. [F:P]=n.

Возьмём z F,

(n+1) эл-тов dim . Значит 1, - линейно зависим. над Р. Это значит

Т.е. произвольный эл-т из F является алгебраическим над Р, значит F- алгебраическое расширение Р.

Следствие6.4. Пусть дано расширение P c F, z F, z – алгебр. эл-т над P. => Р(z) - алгебраическое расширение Р.

Следствие6.5. Р(z) - алгебраическое расширение Р. Пусть z – алгебр. эл-т над P => такой, что р(х) – min z. В таком случае [P(z):P]= deg p(x)

Тогда по 6.4. расширение P(z) поля Р – конечно.

Св-во 6.6. Пусть дано расширение P c F, z₁,z₂ F, – алгебр. эл-т над P, a z₂ - алгебр. эл-т над P₁=P₁(z₁). Тогда z₂- алгебраичен над Р.

Док-во: P c P(z₁) c P(z₁)(z₂) c F. z₁ – алгебр. эл-т над P=> deg [P(z₁):P] =m = deg p(x)

z₂ – алгебр. эл-т над P₁=> deg [P₁(z2):P₁] =k deg p₁(x)

где р(х) – min эл-т z₂ над Р₁.

[P(z₁)(z₂):P]= [P(z₁)(z₂):P(z₁)]

P c P(z₁)(z₂) – его степень над Р =mk, т.е. она конечна, зн. она алгебр. над P. z₂ этому расширению => z₂- алгебр. над Р эл-т.

 

 

 

Поле алгебраических чисел.

Лемма 7.1. Пусть Р c F и u, v . Тогда P(u;v) явл. подполем в К, где К – мн-во всех алгебраических над Р эл-тов из (u,v - алгебраичны над

Из § 6(Алгебраические расширения) => P(u;v) – конечное алгебраическое расширение поля Р, значит все эл-ты из расширения P(u;v) алгебраичны над Р => P(u;v) с К (подмножество).

Т. 7.2 В обозначениях Леммы 7.1 К является полем.

Док-во: Возьмём Они принадлежат P(u;v), кот. само содержится в К. =>

u+v

u-v

K – замкнуто относительно сложения и умножения эл –тов

1

u u^-1

0

(-u)

Аксиомы ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности выполняются в К так как они выполняются в F => К – поле.

Р с => Р с К – расширение полей.

Обозначение 7.3. В обозначении 7.2 и 7.2 К= _F и называется алгебраическим замыканием поля Р в поле F.

Обозначение 7.4. Т.к. имеет место расширение Q c R. Тогда _R – алгебраическое замыкание поля Q в поле R.

Q c C => _R c

Алгебраическое замыкание _R и являются алгебраическими расширениями Q и не являются конечными расширениями.

Имеем Q c _R c . Q c C => _R является алгебраическим расширением

_R не является конечным расширением Q. По признаку Эйзенштейна р_n(х)=xⁿ-2 неприводим.

[Q():Q]=n

Q() c Q_R и эл-ты 1, ,….., _R

^{линейно независ.}

Получим _R линейно независимых эл-тов на Q₂.

[ _R:Q]=m

 

T.7.7 - алгебраическое замкнутое поле!.

Док-во: Возьмём р(x)= a₀, а₁x,…., а_nxⁿ [x], т.е. возьмём многочлен с коэффициентами из алгебраического замыкания.

Т.к. поле С комплексных чисел алгебраически замкнуто, то такое, что z- корень р(х).

Эл-ты a₀, а₁,…., а_n . В таком случае по определению, они все алгебр. над Q. Тогда по 6.7(P c F, z₁, z₂,…..,z_n . Тогда расширение P c P(z₁;z₂;……;z_n) явл. конечным и алгебраичным расширением поля Р) расширение Q(a₀, а₁,…., а_n)- алгебраическое расширение Q. Но тогда Q(a₀, а₁,…., а_n)(z₁) – простое расширение Q(a₀, а₁,…., а_n) с примитивмым алгебраическим эл-том z. Имеем, зная, что оно конечно, [Q(a₀, а₁,…., а_n,z): Q(a₀, а₁,…., а_n)]=m. Мы отмечаем, что [Q(a₀, а₁,…., а_n):Q]=k (конечно). Тогда [Q(a₀, а₁,…., а_n,z): Q]= m => оно алгебраическое расширение Q => z – алгебраический эл-т над Q => z => - алгебраически закнуто.

Следствие 7.8 Пусть поле Р является алгебраическим замыканием поля F. Тогда алгебраическое замыкание _F является алгебраически замкнутым полем.

Док-во: В предыдущем док-ве заменить Q P, C F, _F

Опр.7.9 – поле алгебраических чисел.

Р с Т . . (P[x] c T[x])

f – корень g(x)

f – алгебраичен над Т => T c F - алгебр..

2) Пусть Р с Т и Т с F - алгебраические.

Т с F => a₀, а₁,…., а_n T, а_n .

f – корень g(x)= a₀, а₁x,…., а_nxⁿ

a₀, а₁,…., а_n – алгебраические над Р. Тогда по 6.8. Р(a₀, а₁,…., а_n)[x] и f - корень g(x), то f – алгебраический над Р(a₀, а₁,…., а_n). Имеем Р(a₀, а₁,…., а_n)(f) ⊃ Р(a₀, а₁,…., а_n) с помощью примитивного алгебраического эл-та. Это расширение конечное Р(a₀, а₁,…., а_n)⊃Р

Следствие: Алгебраическое расширение алгебраического расширения явл. алгебраическим расширением.

Р с Т – алгебраическое расширение и Т с F – алгебраическое расширение => Р c F - алгебраическое расширение.

Опред.

Пусть дана группа <G;◦> и H<G. Введем на G бинарное отношение(~_н) определив g₁~_H g₂ тогда и только тогда, когда g₁^-1◦g₂ из Н.

 

Теорема. Бинарное отношение ~_Н на G из определения является отношением эквивалентности.

Док-во: 1) Рефлексивность

Для любого х, х ϸ х, где ϸ=~_Н, х=g из G

Для любого g, g~_H g тогда и только тогда, когда для любого g, g^-1◦g=e из Н.

2) Симметричность

Для любых х,у (х ϸ у) следует у ϸ х

Для любых g₁, g₂ g₁~_H g₂ следует g₂~_H g₁

g₁~_H g₂ ↔ g₁^-1◦g₂ из Н ↔│Н-группа│↔(g₁^-1◦g₂)^-1 из Н ↔g₂^-1◦g₁^-1 из Н ↔g₂^-1◦g₁ из Н ↔g₂~_H g₁

Транзитивность

Для любых x,y,z (x ϸ y и y ϸ z) следует х ϸ z

Для любых g₁, g₂, g₃ g₁~_H g₂ и g₂~_H g₃ cледует g₁~_H g₃ -?

g₁~_H g₂ и g₂~_H g₃ ↔g₁^-1◦g₂ из Н↔g₂^-1◦g₃ из Н→(т.к. Н<G)→(g₁^-1◦g₂)◦(g₂^-1◦g₃) из Н→ g₁^-1◦((g₂◦g₃^-1)◦g₃)=g₁^-1◦(e◦g₃) из Н→g₁^-1◦g₃ из Н→g₁~_H g₃

©

Опред. Фактор-множество группы G относительно эквивалентности ~_Н -- G/_~Н-фактор-множество группы G по подгруппе Н.

 

 

 

Гомоморфный образ подгруппы

ОПРЕД.: Пусть даны две группы <G₁;◦>, <G₂; >. Гомоморфизм из группы G₁ в G₂ – отображение f: , которое «сохраняет операцию», т.е.

Св-во. Гомоморфный образ подгруппы является подгруппой.

Док-во. Пусть дан гомоморфизм <G₁, °>; <G₂,*> — группа. f: G₁ ®G₂ — гомоморфизм, то тогда

H₁<G₁Þf (H₁)<G₂. f (H₁)={f(h₁)/h₁ H₁}={h₂|h₂ H₂ сущ. h₁|h₁ H₁ и f(h₁)=h₂}. по критерию подгруппы f(H₁) содержит f(h₁) и f(H₁) f(h₁~)Þh₂^-1*h₂~ f(H₁)Þh₂^-1*h₂~ = =f(h₁)^-1*f(h₁~)=f(h₁^-1)*f(h₁~) =f(h₁^-1°h₁~) f(H₁) По критерию подгруппы f(H₁)<G₂. Доказано.

Композиция гомоморфизмов

Композиция гомоморфизмов групп является гомоморфизмом групп. <G₁, °>; <G₂,*>, <G3, >.

f:G₁→G₂ h:G₂→G₃ — гомоморфизм, тогда h°f ÷G₁→G₃— гомоморфизм.

Док-во. h°f, G₁→G₃ — определено.

g₁, g₁~ (h°f)(g₁°g₁~)=(h°f)g₁ (h°f) g₁~Þ (h°f)(g₁°g₁~)=h(f(g₁°g₁~))=/f—гомоморфизм/ =h(f(g₁)*f(g₁~))= /g₂= f(g₁), g₂~=f(g₁~)/=h(g₂*g₂~)= /h— гомоморфизм/ =h(g2) h(g2~)= =h(f(g₁)) h(f(g₁~))=(h°f)g₁ (h°f) g₁~

 

 

29.Изоморфизм групп. Определения, примеры, простейшие свойства.

Опр. 12.1 Если отображение f из <G₁, °>; <G₂,*> — группы.

f:G₁®G₂ — гомоморфизм, инъективно, то гомоморфизм f— вложение G1 в G2.

Опр. 12.2 Если в <G₁, °>; <G₂,*> — группы. f: G₁ ®G₂ — гомоморфизм, отображение f является сюръективным, то гомоморфизм f называется эпиморфизмом.

Опр.12.3 Если гомоморфизм <G₁, °>; <G₂,*> — группы. f: G₁ ®G₂ — гомоморфизм, является и вложением, и эпиморфизмом, то группы G₁, G₂ называются изоморфными при помощи изоморфизма f. Или пишут: G₁ G₂.

Св-во. 12.6 Каждая группа изоморфна сама себе.

Док-во. Пусть дана группа <G₁, °>. Докажем, что G₁ id G₁

Id:G₁→G₁; x→x (тождественное отображение). id (g₁ °g₁~)= g₁ °g₁~=id(g₁)°id(g₁~) (сохраняет операцию). Заметим, что id —биекция.

Теорема.12.7 Пусть даны группы <G₁, °>; <G₂,*>, G_{1 f} G₂, тогда G_{2 f}^-1 G₁.

Док-во. По условию f: G₁ ®G₂ —изоморфизмÞf—биекцияÞ f ^-1: G₂ ®G_1. f ^-1 °f=idG₁. f ^-1 —биекция. Покажем, что f ^-1сохраняет операцию

g₂, g₂~ f ^-1(g₂*g₂~)=f ^-1(g₂)°f ^-1(g₂~). Т.к.f—биекция, то g₁, g₁~ из G₁/f(g₁)=g₂ и f(g₁~)=g₂~. Тогда имеем f ^-1(g₂* g₂~)= f ^-1 (f(g₁)* f(g₁~))=/ f —гомоморфизм/= f ^-1 (f(g₁) ° f(g₁~))=(f ^-1 °f)(g₁° g₁~)= =idG₁(g₁° g₁~)= g₁° g₁~=/g1= f ^-1 (g2), g₁~= f ^-1 (g₂~)/= f ^-1 (g₂) ° f ^-1 (g₂~).

Теорема.12.8 Отношение «быть изоморфным» является отношением эквивалентности на множестве групп.

Док-во. 1)рефлексивность G G G (12.6)

2)симметричность G_1,G₂ G₁ G₂ G₂ G₁ (12.7)

3)транзитивность G_1,G_2, G₃ G_{1 f} G₂ и G_{2 h} G₃ Þ G_{1 h° f} G₃ h° f G₁ ®G₃ h° f — гомоморфизм (12.3). По условию h° f — биекция Þ h° f — изоморфизм.

Теорема 12.9 Пусть f: G₁ ®G₂ — вложение. Тогда f₁: G₁ ® f (G₁ ): x→f(x), (т.е. x G₁(f₁(x))=f(x)) то тогда f₁ является изоморфизмом групп G и f(G₁).

Док-во. 1) отображение f₁ инъективно. X₁ x₁~ допустим f₁(x₁)= f₁(x₁~)Þf(x₁)= f (x₁~), что противоречит тому, что f инъективно. Значит f₁(x₁) f₁(x₁~)

2) f₁ сюръекция Þ f₁ — изоморфизм.

Свойства вложений групп

Св-во: Пусть f:G₁→G₂ вложение. Тогда отображение f₁:G₁→Imf(Imf∙f(G₁)∙{f(g₁),g₁ G₁}. g₁ G₁ f₁(g₁)=f(g₁)-изоморфизм(G₁ Imf)

Док-во: Знаем, что если G₁ подгруппа G₂, то f(G₁<G₂) Imf<G₂

g₁ => f(g₁) => f₁(g₁) инъекция

g₂ Imf, значит g₁ G₁ f(g₁)=g₂, т.е. f₁(g₁)=g₂ –сюрьекция

g₁ , f₁( = f( = | f- гомоморфизм |= f(g₁)*f()=f₁(g₁)* f₁() (по опред)

 

Теорема Лагранжа

Лемма: G-группа,Н-подгруппа,тогда для любого g принадл. G отображение lg:H

является биекцией.Док-во: lg-отображение,инъекция; пусть h1 , lg(h1) (т.е не является инъекцией) g°h1= g°h2 тогда g°h1=g^-1°g°h2 след-но h1= h2(противоречие);

lg-сюрьекция?для любого g°h принадлежит H, то lg(h)= g° h.

Опр. Если конечное множество и модуль G⁄H=k то число к –индекс подгруппы H в группе G.Обознач:[G:H]

Теорема Лагранжа: G-конечная группа, |G| =m, H⁄G, |H|= h, [G:H]=к,тогда |G|=|H|*[G:H] или m=n*k(порядок группы=произв. порядка подгруппы на ее индекс)

Док-во: т.к явл. отношением эквивалентности, при этом для любого g принадл. G, g с чертой= g°H, то левые смежные классы по подгруппе H задают разбиение множества G, т.е G= g1 °H

Модуль G=модуль g1 °H∪g2°H∪…∪gк°H отсюда |G|= |g1°H|+ |g2°H|+..+ |gк°H|,но по лемме gi°H = |H| след-но m=n+n+n+…+n(k-раз)

Следствие: m=n*k порядок подгруппы в конечной группе делит порядок подгруппы.

Группа подстановок

S(M)-группа подстановок на множестве М,если во множестве М=n элементов, то S(M)=sim(n)симметрическая группа на мн-ве из n элементов.Элементы из S(M)-подстановка элем.мн-ва.

Теорема: Пусть G конечная группа,модуль G=n, тогда существует G1< такое,что G <Sn.Док-во: для любого g принадл. G отображение lg: G → G:х (умножение слева)

1) lg-биекция.Инъективность х1 , lg(х1)=lg(х2)отсюда g*х1= g*х2 тогда g^-1°g°х1=g^-1°g°х2, х1= х2(противоречие);

2) lg-сюрьекция: для любого у принадлежит G: то lg(х)= у, g*x=у,то х= g^-1*у,

lg(g^-1*у)=у

3)lg-биекция.cлед-но для любого g принадл. G, lg принадл.S(G)отображение F:G S(G):g lg.Покажем,что F инъекция:g1 , lg1=lg2 след-но, lg1(е)=lg2(е) отсюда g*е= g*е тогда g1= g2(противоречие);Покажем, что сохраняет операцию:

Для любого g1, g2 F(g1,*g2)= F(g1) F(g2) отображение F:G→ G

Для любого x: F(g1,*g2)(x)- lg1*g2(x)= (g1*g2)*x=F(g1*g2)(x) знач. F(g1,*g2)= F(g1)° F(g2)

F-инъективный гомоморфизм,т.е F вложение.

Cтепени элементов в группе

Опр. Пусть <G, > g принадл. G, n принадл. Z,тогда n=0,то =е,

n пррнадл.N, =g (n раз),

n<0, n=-n₁, n₁