Левые смежные классы элементов группы по подгруппе и классы эквивалентности.

ОПРЕД.: H<G, g G. Левый смежный класс элемента g – множество g◦H={g◦h|h H}

ТЕОРЕМА: Левые смежные классы группы G по подгруппе H являются классами эквивалентности относительно отношения ͂H на G. g◦H= =[g] _͂H

Д-во:g₁ [g] _͂H (по определению) g_{1 H}g (по симметричности) g _Hg₁ (по опред.) g^-1◦g₁ H g^-1◦g=h h H g₁=gh h H g₁ g◦H.

ОПРЕД.: Фактор-множество группы G относительно эквивалентности ͂H – G/ _͂H или G/_H – фактор-множество группы G по подгруппе H.

Пример: G=< >, H=4 ={4k|k }. Найти: G/_H

Решение: 0◦H=0+4 ={0+4k|k }=

1◦H=1+4 ={1+4k|k }=

2◦H=2+4 ={2+4k|k }=

3◦H=3+4 ={3+4k|k }=

/ _͂4 ={ , , , }=(по опред.)=G/_4Z={0+4 , 1+4 , 2+4 , 3+4 }

ОПРЕД.: Пусть дана группа <G;◦>, A G, A , =B G, тогда будем обозначать A◦B={a◦b|a A, b B}

СВОЙСТВО: Левый смежный класс g◦H группы G по подгруппе H элемента g равен произведению многочленов {g}◦H в смысле предыдущего опред.

 

 

22. Нормальные делители группы. Операции со смежными классами по нормальному делителю. Корректность определения операции.

ОПРЕД.: Пусть <G;◦> - группа, x G, g G, тогда элемент g^-1◦x◦g называется элементом, сопряженным к элементу x (с пом. элемента x).

ОПРЕД.: Пусть <G;◦> - группа, подмножество N G называется нормальным делителем группы G или инвариантом подгруппы, если:

1) N<G

2) n N, g G g^-1◦n◦g N (обозначается N G)

СВОЙСТВО: <G;◦> - группа, N_i G, i , тогда N= G

Д-во:1) N_i G (по условию) N_i G (из 1-го пункта определения)

2) (т.к. N_i G) , т.к. N G

ОПРЕД.: Пусть <G;◦> - группа, N G, g₁ G, g₂ G. Определим – правило умножения смежных классов по N.

Пример: / _͂4 ={0+4 , 1+4 , 2+4 , 3+4 }

4 , g^-1◦(4g₁)◦g=(-g)+4g₁+g=4g₁

ТЕОРЕМА: предыдущее определение корректно, т.е. результат операции над классами не зависит от того, через каких представителей записаны эти классы.

Д-во: 1 часть. Пусть .Доказать,

Причем слева – определение умножения класса или умножение двух множеств.

2 часть. Аналогично 1 части показываем

3 часть. _N

Однако, по условию

– истина.

Фактор-множество группы по нормальному делителю.

ТЕОРЕМА: Фактор-множество G/_N группы G по нормальному делителю N с введенной над ней операцией (правило умножения смежных классов по N) является группой.

Д-во: 1) ассоциативность

2)нейтральный в G/_N – это , т.е. нужно доказать, что

3)симметричный к - , т.е. нужно д-ть, что

 

24. Гомоморфизмы групп. Определение, примеры, простейшие свойства.

ОПРЕД.: Пусть даны две группы <G₁;◦>, <G₂; >. Гомоморфизм из группы G₁ в G₂ – отображение f: , которое «сохраняет операцию», т.е.

ПРИМЕРЫ: 1) – мн-во невыраженных квадратных матриц размерности n x m, ;

, каждой матрице ставится в соответствие ее определитель.

Рассмотрим

– верно.

^{Умножение матриц умножение чисел}

2) Рассмотрим аддитивные группы и отображение

– истина.

3) , зададим отображение

– истина.

СВОЙСТВО: При гомоморфизме образ нейтрального элемента является нейтральным. Т.е. (1)

Д-во:

СВОЙСТВО: При гомоморфизме образ обратного элемента является обратным к образу данного. Т.е. если задан гомоморфизм (1), тогда

Д-во:

 

 

Гомоморфный образ подгруппы

ОПРЕД.: Пусть даны две группы <G₁;◦>, <G₂; >. Гомоморфизм из группы G₁ в G₂ – отображение f: , которое «сохраняет операцию», т.е.

Св-во. Гомоморфный образ подгруппы является подгруппой.

Док-во. Пусть дан гомоморфизм <G₁, °>; <G₂,*> — группа. f: G₁ ®G₂ — гомоморфизм, то тогда

H₁<G₁Þf (H₁)<G₂. f (H₁)={f(h₁)/h₁ H₁}={h₂|h₂ H₂ сущ. h₁|h₁ H₁ и f(h₁)=h₂}. по критерию подгруппы f(H₁) содержит f(h₁) и f(H₁) f(h₁~)Þh₂^-1*h₂~ f(H₁)Þh₂^-1*h₂~ = =f(h₁)^-1*f(h₁~)=f(h₁^-1)*f(h₁~) =f(h₁^-1°h₁~) f(H₁) По критерию подгруппы f(H₁)<G₂. Доказано.

Прообраз подгруппы при гомоморфизме

Св-во. Пусть дан гомоморфизм <G₁, °>; <G₂,*> — группа. f: G₁ ®G₂ — гомоморфизм. H₂<G₂(f^-1(H₂)<G₁). При гомоморфизме полный прообраз подгруппы явл. подгруппой.

Док-во. f^-1(H₂)={h₁/h₁ G₁ и f(h₁) H₂} e₂ H₂ и f(e₁)=e₂ H₂Þe₁ f^-1(H₂)Þf^-1 (H₂)≠ø.

h₁ f^-1(H₂) и h₁~ f^-1(H₂)Þ(h₁^-1°h₁~) f^-1 (H₂)

f(h₁) H₂ и f(h₁) H₂Þ(f(h₁)^-1)*f(h₁~) H₂Þf(h₁^-1)* f(h₁~) H₂Þf(h₁^-1 ° h₁~) H₂Þ (h₁^-1 ° h₁~) f^-1 (H₂) По критерию получим, что f^-1 (H₂)<G₁. Доказано.

Прообраз нормального делителя при гомоморфизме

Св-во. Гомоморфный прообраз нормального делителя, является нормальным делителем.

Пусть дан гомоморфизм <G₁, °>; <G₂,*> — группа. f: G₁ ®G₂ — гомоморфизм и N₂ G₂Þ f^-1 (N₂) <G₁

Док-во. Т.к. N₂ G₂Þ f^-1 (N₂) <G₁. Нужно доказать, f^-1 (N₂) выдерживает сопряжение с g₁ G₁

h₁ f^-1 (N₂)[f(n₁) N₂]. g₁ G₁ (g₁^-1°n₁°g₁) f^-1 (N₂).

f(g₁^-1°n₁°g₁)=f(g₁^-1)*f(g₁)*f(n₁)=(f(g₁))^-1*f(n₁)*f(g₁) N₂Þf(g₁^-1°n₁°g₁) N₂Þ/(f(g₁))^-1=g₂^-1, f(g₁) N₂ , f(g₁)=g₂ / Þ g₂^-1 *n₂*g₂ Þ (g₁^-1°n₁°g₁) f^-1 (N₂)

Композиция гомоморфизмов

Композиция гомоморфизмов групп является гомоморфизмом групп. <G₁, °>; <G₂,*>, <G3, >.

f:G₁→G₂ h:G₂→G₃ — гомоморфизм, тогда h°f ÷G₁→G₃— гомоморфизм.

Док-во. h°f, G₁→G₃ — определено.

g₁, g₁~ (h°f)(g₁°g₁~)=(h°f)g₁ (h°f) g₁~Þ (h°f)(g₁°g₁~)=h(f(g₁°g₁~))=/f—гомоморфизм/ =h(f(g₁)*f(g₁~))= /g₂= f(g₁), g₂~=f(g₁~)/=h(g₂*g₂~)= /h— гомоморфизм/ =h(g2) h(g2~)= =h(f(g₁)) h(f(g₁~))=(h°f)g₁ (h°f) g₁~

 

 

29.Изоморфизм групп. Определения, примеры, простейшие свойства.

Опр. 12.1 Если отображение f из <G₁, °>; <G₂,*> — группы.

f:G₁®G₂ — гомоморфизм, инъективно, то гомоморфизм f— вложение G1 в G2.

Опр. 12.2 Если в <G₁, °>; <G₂,*> — группы. f: G₁ ®G₂ — гомоморфизм, отображение f является сюръективным, то гомоморфизм f называется эпиморфизмом.

Опр.12.3 Если гомоморфизм <G₁, °>; <G₂,*> — группы. f: G₁ ®G₂ — гомоморфизм, является и вложением, и эпиморфизмом, то группы G₁, G₂ называются изоморфными при помощи изоморфизма f. Или пишут: G₁ G₂.

Св-во. 12.6 Каждая группа изоморфна сама себе.

Док-во. Пусть дана группа <G₁, °>. Докажем, что G₁ id G₁

Id:G₁→G₁; x→x (тождественное отображение). id (g₁ °g₁~)= g₁ °g₁~=id(g₁)°id(g₁~) (сохраняет операцию). Заметим, что id —биекция.

Теорема.12.7 Пусть даны группы <G₁, °>; <G₂,*>, G_{1 f} G₂, тогда G_{2 f}^-1 G₁.

Док-во. По условию f: G₁ ®G₂ —изоморфизмÞf—биекцияÞ f ^-1: G₂ ®G_1. f ^-1 °f=idG₁. f ^-1 —биекция. Покажем, что f ^-1сохраняет операцию

g₂, g₂~ f ^-1(g₂*g₂~)=f ^-1(g₂)°f ^-1(g₂~). Т.к.f—биекция, то g₁, g₁~ из G₁/f(g₁)=g₂ и f(g₁~)=g₂~. Тогда имеем f ^-1(g₂* g₂~)= f ^-1 (f(g₁)* f(g₁~))=/ f —гомоморфизм/= f ^-1 (f(g₁) ° f(g₁~))=(f ^-1 °f)(g₁° g₁~)= =idG₁(g₁° g₁~)= g₁° g₁~=/g1= f ^-1 (g2), g₁~= f ^-1 (g₂~)/= f ^-1 (g₂) ° f ^-1 (g₂~).

Теорема.12.8 Отношение «быть изоморфным» является отношением эквивалентности на множестве групп.

Док-во. 1)рефлексивность G G G (12.6)

2)симметричность G_1,G₂ G₁ G₂ G₂ G₁ (12.7)

3)транзитивность G_1,G_2, G₃ G_{1 f} G₂ и G_{2 h} G₃ Þ G_{1 h° f} G₃ h° f G₁ ®G₃ h° f — гомоморфизм (12.3). По условию h° f — биекция Þ h° f — изоморфизм.

Теорема 12.9 Пусть f: G₁ ®G₂ — вложение. Тогда f₁: G₁ ® f (G₁ ): x→f(x), (т.е. x G₁(f₁(x))=f(x)) то тогда f₁ является изоморфизмом групп G и f(G₁).

Док-во. 1) отображение f₁ инъективно. X₁ x₁~ допустим f₁(x₁)= f₁(x₁~)Þf(x₁)= f (x₁~), что противоречит тому, что f инъективно. Значит f₁(x₁) f₁(x₁~)

2) f₁ сюръекция Þ f₁ — изоморфизм.

Свойства вложений групп

Св-во: Пусть f:G₁→G₂ вложение. Тогда отображение f₁:G₁→Imf(Imf∙f(G₁)∙{f(g₁),g₁ G₁}. g₁ G₁ f₁(g₁)=f(g₁)-изоморфизм(G₁ Imf)

Док-во: Знаем, что если G₁ подгруппа G₂, то f(G₁<G₂) Imf<G₂

g₁ => f(g₁) => f₁(g₁) инъекция

g₂ Imf, значит g₁ G₁ f(g₁)=g₂, т.е. f₁(g₁)=g₂ –сюрьекция

g₁ , f₁( = f( = | f- гомоморфизм |= f(g₁)*f()=f₁(g₁)* f₁() (по опред)