Алгебраичность алгебраического расширения алгебраического расширения.

Следствие 6.6. Пусть элементы z₁,z₂ из F, где Р c F, алгебраичны над Тогда P(z₁)(z₂) = P(z₁;z₂) явл. алгебр. расширением Р.

Док-во: Т.к. z₁ – алгебр. над Р=>P(z₁)- алгебр. конечное расширение над Р.

z₂ – алгебр. над Р=>P(z₁)- т.к. P[x} c P(z₁)[x]=> z₂ - алгебр. над Р(z₁), значит расширение P(z₁)(z₂) является конечным алгебраическим расширением поля P(z₁).Тогда имеем цепочку конечных расширений P c P(z₁) c P(z₁)(z₂).

Т.к. конечное расширение конечных расширений явл. конечным расширением, то P c P(z₁;z₂) явл. конечным => алгебр..

Следствие 6.7. P c F, z₁, z₂,…..,z_n . Тогда расширение P c P(z₁;z₂;……;z_n) явл. конечным и алгебраичным расширением поля Р.

Док-во: n=1 P(z₁) – конечное алгебраич.

n=k P(z₁, z₂,…..,z_k) - конечное алгебраич. расшир. Р.

n=k+1 P(z₁, z₂,…..,z_k,z_k+1) = P(z₁, z₂,…..,z_k)(z_k+1).

Т.к. z_k+1 алгебр. над P, то он алгебр. и над P(z₁, z₂,…..,z_k).

Тогда P(z₁, z₂,…..,z_k)(z_k+1)- простое расширение P(z₁, z₂,…..,z_k) с помощью алгебр. эл-та z_k+1 Имеем P(z₁, z₂,…..,z_k,z_k+1) P(z₁, z₂,…..,z_k) конечное, а по посылке индукции P(z₁, z₂,…..,z_k) – конечное P => P(z₁, z₂,…..,z_k,z_k+1) P.

Конечное расширение явл. алгебраическим.

Св-во 6.8. Классы конечных и классы конечно порождённых алгебраических расширений совпадают.

Док-во: Р с Т с F и [T:P]=n. z₁, z₂,….,z_n – базис T над P.

Т.к. Т – поле, то, очевидно, что Т= P(z₁, z₂,…..,z_n) => Т – алгебраическое расширение Р. Пусть Т- конечно порождающее алгебраическое расширение Р. Тогда по 6.7. Т – конечно.

Т. 6.9. Пусть дана цепочка расширений P c Т с F. Тогда расширение явл. алгебраическим тогда и только тогда, когда расширение Р с Т и Т с F - алгебраические.

Док-во: 1) Пусть P c F – алгебр..

Р с Т . . (P[x] c T[x])

 

 

f – корень g(x)

f – алгебраичен над Т => T c F - алгебр..

2) Пусть Р с Т и Т с F - алгебраические.

Т с F => a₀, а₁,…., а_n T, а_n .

f – корень g(x)= a₀, а₁x,…., а_nxⁿ

a₀, а₁,…., а_n – алгебраические над Р. Тогда по 6.8. Р(a₀, а₁,…., а_n)[x] и f - корень g(x), то f – алгебраический над Р(a₀, а₁,…., а_n). Имеем Р(a₀, а₁,…., а_n)(f) ⊃ Р(a₀, а₁,…., а_n) с помощью примитивного алгебраического эл-та. Это расширение конечное Р(a₀, а₁,…., а_n)⊃Р

Следствие: Алгебраическое расширение алгебраического расширения явл. алгебраическим расширением.

Р с Т – алгебраическое расширение и Т с F – алгебраическое расширение => Р c F - алгебраическое расширение.

 

Поле алгебраических чисел.

Лемма 7.1. Пусть Р c F и u, v . Тогда P(u;v) явл. подполем в К, где К – мн-во всех алгебраических над Р эл-тов из (u,v - алгебраичны над

Из § 6(Алгебраические расширения) => P(u;v) – конечное алгебраическое расширение поля Р, значит все эл-ты из расширения P(u;v) алгебраичны над Р => P(u;v) с К (подмножество).

Т. 7.2 В обозначениях Леммы 7.1 К является полем.

Док-во: Возьмём Они принадлежат P(u;v), кот. само содержится в К. =>

u+v

u-v

K – замкнуто относительно сложения и умножения эл –тов

1

u u^-1

0

(-u)

Аксиомы ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности выполняются в К так как они выполняются в F => К – поле.

Р с => Р с К – расширение полей.

Обозначение 7.3. В обозначении 7.2 и 7.2 К= _F и называется алгебраическим замыканием поля Р в поле F.

Обозначение 7.4. Т.к. имеет место расширение Q c R. Тогда _R – алгебраическое замыкание поля Q в поле R.

Q c C => _R c

Алгебраическое замыкание _R и являются алгебраическими расширениями Q и не являются конечными расширениями.

Имеем Q c _R c . Q c C => _R является алгебраическим расширением

_R не является конечным расширением Q. По признаку Эйзенштейна р_n(х)=xⁿ-2 неприводим.

[Q():Q]=n

Q() c Q_R и эл-ты 1, ,….., _R

^{линейно независ.}

Получим _R линейно независимых эл-тов на Q₂.

[ _R:Q]=m

 

T.7.7 - алгебраическое замкнутое поле!.

Док-во: Возьмём р(x)= a₀, а₁x,…., а_nxⁿ [x], т.е. возьмём многочлен с коэффициентами из алгебраического замыкания.

Т.к. поле С комплексных чисел алгебраически замкнуто, то такое, что z- корень р(х).

Эл-ты a₀, а₁,…., а_n . В таком случае по определению, они все алгебр. над Q. Тогда по 6.7(P c F, z₁, z₂,…..,z_n . Тогда расширение P c P(z₁;z₂;……;z_n) явл. конечным и алгебраичным расширением поля Р) расширение Q(a₀, а₁,…., а_n)- алгебраическое расширение Q. Но тогда Q(a₀, а₁,…., а_n)(z₁) – простое расширение Q(a₀, а₁,…., а_n) с примитивмым алгебраическим эл-том z. Имеем, зная, что оно конечно, [Q(a₀, а₁,…., а_n,z): Q(a₀, а₁,…., а_n)]=m. Мы отмечаем, что [Q(a₀, а₁,…., а_n):Q]=k (конечно). Тогда [Q(a₀, а₁,…., а_n,z): Q]= m => оно алгебраическое расширение Q => z – алгебраический эл-т над Q => z => - алгебраически закнуто.

Следствие 7.8 Пусть поле Р является алгебраическим замыканием поля F. Тогда алгебраическое замыкание _F является алгебраически замкнутым полем.

Док-во: В предыдущем док-ве заменить Q P, C F, _F

Опр.7.9 – поле алгебраических чисел.

Р с Т . . (P[x] c T[x])

f – корень g(x)

f – алгебраичен над Т => T c F - алгебр..

2) Пусть Р с Т и Т с F - алгебраические.

Т с F => a₀, а₁,…., а_n T, а_n .

f – корень g(x)= a₀, а₁x,…., а_nxⁿ

a₀, а₁,…., а_n – алгебраические над Р. Тогда по 6.8. Р(a₀, а₁,…., а_n)[x] и f - корень g(x), то f – алгебраический над Р(a₀, а₁,…., а_n). Имеем Р(a₀, а₁,…., а_n)(f) ⊃ Р(a₀, а₁,…., а_n) с помощью примитивного алгебраического эл-та. Это расширение конечное Р(a₀, а₁,…., а_n)⊃Р

Следствие: Алгебраическое расширение алгебраического расширения явл. алгебраическим расширением.

Р с Т – алгебраическое расширение и Т с F – алгебраическое расширение => Р c F - алгебраическое расширение.