Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Теорема: Определение смежных классов по Идеалу корректно.↑ ⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7 Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Док. Если а+ =а1+ и b+ =>ab+ a1b1+ a+ =a1+ т.к. a=a+0=a a+ =>a a1+ =>a=a1+x, где x b+y=b1+ b=b1+y, где y ab=(a1+x)(b1+y)=a1b1+(a1y+b1x+yx) a1b1+ =>ab ab=ab+0 Значит(а1b1+ ) (ab+ )не = 0/ Смежные классы задают разбиение К1 значит они не не пересекаются или совпадают => Классы ровны a1b+ =ab+ док.
44.Фактор=кольца. Определение, примеры, свойства. Теорема: К кольцо, фактор множества К/ с операцией сложения и умножения классов является кольцом. Док. <К/ ; +> ком. Адд. Группа => из теоремы групп т. к.(отмет. выше) классы определены в соответствии с операцией + в группе <К; +> 2.0.Выполним по опр. 2.1.а+ b+ ;с+ из К/ и тогда ((а+ )(b+ ))(c+ )=(ab+ )(c+ )=((ab)c+ )= (а+ )((b+ )(c+ ))=(a+ )(bc+ )=(a(bc)+ )= 2.2.Возьмем (а+ )((b+ )(c+ ))=(a+ )((а+c)+ )=а(b+c)+ = (а+ )(b+ )+ (а+ )(c+ ))=(ab+ )(аc+ )=а(b+c)+ 2.3.((а+ )+(b+ ))(c+ )=(a+ )(c+ )=(b+ )(c+ )=(ac+ )(bc+ )=c(а+b)+ Пример:К=Z, , Z/5Z
Свойство: Если К-ком. Кольцо, то К/ -ком. Кольцо; Если К-кольцо с 1, то К/ тоже кольцо с 1. (а+ )(b+ )=ab+ = bа+ =(b+ )(а+ ) (а+ )(1+ )=a*1+ )=(а+ ) (1+ ) (а+ )= а+
45. Главные идеалы. Кольца главных идеалов. Определение и примеры. Пусть К -кольцо, а из К. Обозначим (а)={k a|k K} тогда (а) идеал К, который называется главным идеалом, порожденным элементом а. Док-во: k1 a, k2 a (a) k1 a+k2 a=(k1+k2)a (a) k K k(k1a)=(kk1)a (a) Теорема: Кольцо Z – это кольцо главных идеалов, т.е. любой идеал в Z явл. Главным Док-во: Пусть I идеал в Z, возможны 2 случая 1) I={0}; I=(0) главный идеал нуля 2) I {0} Рассмотрим все ненулевые элементы из I и их модули. Среди них выберем наименьшее а, по теореме о делении с остатком Для любого b из I, b=аq+r, где q,r , 0 r<a. r = b + (- q) a => r I, 0 r<a. По выбору а, r не может быть натуральным, значит r = 0, значит b=a q I = (a) Теорема: Пусть P поле. Тогда Р[х] – кольцо главных идеалов Док-во: Пусть I идеал Р[х] 1) I={0} тогда I=(0) 2) I {0} Рассмотрим deg f(x), таких, что f(x) I\{0} и найдем многочлен f0(x), у которого степень найменьшая. Для любого многочлена h(x) I выполним деление с остатком на f0(x) h(x)= f0(x) q(x)+r(x) q(x), r(x) P[x], 0 deg r(x) < deg f0(x) или r(x) 0 r(x)=h(x)+(-q(x)) f0(x) => r(x) по выбору f0(x), deg r(x) не может быть меньше f0(x) значит r(x) 0, значит h(x)= f0(x)q(x)=>h(x) (f0(x)); I=(f0(x)) Теорема: Пусть К произвольное кольцо. А из К. Тогда множество I={k1a1+k2a2+…+ksas|ki K, ai A} является идеалом кольца К Док-во: Возьмем k1a1+k2a2+…+ksas I a1+ a2+…+ as k1a1+k2a2+…+ksas-( a1+ a2+…+ as)=(k1- )a1+(k2- )a2+(ks- )as Для любого k из К k(k1a1+k2a2+…ksas)=(kk1)a1+(kk2)a2+…+(kks)as По критерию идеала I идеал. Св-во: К кольцо, I идеал. Тогда смежный класс а+I = I ó a Док-во: 1) а+I=I т.к. 0 то a+0 a+I=I => a 2) a Для любого b a+I, b=a+a0, a0 => a+I C I C другой стороны I=0+I (смежные классы или совпадают, или пересекаются) I и а+I – это смежные классы, не пересекаться они не могут, т.к. а+I C I значит они совпадают. Естесственный гомоморфизм кольца на его фактор-кольцо. Пусть <K1;+; > и <K1; ; > -кольца. Отображение f:K1 K2 наз. гомоморфизмом колец, если оно сохраняет операцию, т.е.
Опред: Гомоморфизм f колец наз. -- вложением, если f - инъекция; --эпиморфизмом, если f - сюръекция; -- изоморфизмом, если f - биекция. Св-во: Пусть К1 и К2 – кольца и f:K1 K2 гомоморфизм, тогда - подкольцо, К1 f( ) – подкольцо К1 - подкольцо, К2 f-1( ) – подкольцо К1 I2 – идеал, К2 f-1( ) – идеал К1 Максимальные идеалы. Фактор-кольцо по максимальному идеалу. Опред: К -кольцо. Его идеал I наз. максимальным, если из того, что I1 идеал К такой, что I C I1 C K, следует, что I1=I или I1=K Пример: (6) С Z – не явл. максимальным. (6) С (2) С (Z) Теорема: В любом кольце К любой идеал I содержится в нек. максимальном идеале. Простые идеалы. Фактор-кольцо по простому идеалу. Определение: Пусть К кольцо, элемент а из К наз. делителем нуля если: 1) а 0, 2) b из К\{0} такое что b a=0 Свойство: Обратимый элемент кольца не может быть делителем нуля (в частности в поле нет делителей нуля) Док-во: Пусть а обратим в кольце К, значит существует а-1 из К От противного Допустим что а делитель нуля, то есть существует b из К\{0} такое что b a=0| b b=0 противоречие Определение: Пусть К кольцо. Идеал I кольца К наз. простым, если, из того, что , следует, что или Свойство: Если I простой идеал кольца К, то К/I не имеет делителей нуля Док-во: От противного Пусть а+I и b+I К/I\{0+I} и (а+I)(b+I)=0+I Тогда (ab)+I=I ab => a или b a+I=0+I или b+I=0+I противоречие Св-во: К –кольцо, I – идеал, К/I без делителей нуля, следовательно идеал I простой идеал K. Св-во: Главный идеал nZ=(n) явл простым идеалом кольца Z ó n простое число.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-20; просмотров: 333; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.15.228.171 (0.006 с.) |