Св-ва эпоморфизмов групп . Каноническое отображение группы на её фактор-группы. (Естественный гомоморфизм).

Св-во 12.10 <G₁, °>— группа, N—нормальный делитель G. Тогда <G_/N, °>— фактор-группа. Тогда отображение f:G→ G_/N; g → g° N является эпиморфизмом и Kerf=N.

Док-во. f — задано. Докажем, что g₁,g₁~ f(g₁° g₁~)= f(g₁) ° f(g₁~)=(g₁° g₁~)° N.

f(g₁° g₁~)=(g₁° g₁~)° N.

f(g₁) ° f(g₁~)=(g₁° N) ° (g₁~° N)= (g₁° g₁~)° N.

Доказать Kerf=N

е° N= N

е° N={ е° n/n N}={n/n N}=N

Доказать N Kerf

n N е^-1° n= n N е^—=n^— нейтральный в G_/N Þ е° N= n ° N f(n)= n° N= n^—=е^— нейтральный в G_/N n Kerf

Докажем, что Kerf c N

Покажем, что x KerfÞf(x)=е°NÞе°N=x°NÞе^—=x^—Þe~_NxÞе^-1°x NÞx N Kerf c N.

Опр.12.11 f:G→ G_/N из св-ва 12.10 называется естественным гомоморфизмом группы G на фактор группе G_/N.

Св-во 12.12 Пусть дано <G₁,°>; <G₂,*> и отображение

f: G₁®G₂ —эпиморфизм у которого N= Kerf, то тогда G₁/N G_2.

Док-во. F: G₁/N®G₂: g₁° N®f(g₁). Покажем, что F это отображение. Т.е.результат действия F на смежные классы не зависит от того, через каких представителей записаны эти классы. Пусть g₁° N= g₁~° N. Тогда g₁^— = g₁~Þ g₁ ~_N g₁~Þ g₁^-1 °g₁~ NÞ Þ g₁^-1 °g₁~= x NÞf(g₁^-1 °g₁~)=f(n) Þf(g₁)^-1 *f(g₁)=e₂ Þf(g₁~)=f(g₁). Покажем, что F — сюръективно. Возьмем g₂ G₂. Т.к.f— эпиморфизм g₁ G₁ , f(g₁)= g₂, F(g₁° N)=g₂. Покажем, что F — инъекция. Пусть g₁° N g₁~° N, но F(g₁° N)= F(g₁~°N)Þf(g₁)=f(g₁~) /* f(g₁^-1 )/ Þ f(g₁^-1 )* f(g₁)= f(g₁^-1 )* f(g₁~)Þ f(g₁^-1 °g₁)= f(g₁^-1 °g₁~)Þf(e₁)= f(g₁^-1 °g₁~)Þ e₂=f(g₁^-1 °g₁~)Þg₁^-1 °g₁~ Ker fÞg₁^-1 °g₁~ Þg₁ ~_N g₁~ Þg₁^— =g₁^—~Þ g₁° N= g₁~° N — противоречие.

Докажем, что F — гомоморфизм. F((g₁° N) ° (g₂° N))=F((g₁° g₂ )° N)=f(g₁)*f(g₂).

F(g₁° N)* F(g₂° N)= f(g₁)*f(g₂). Т.к.правые части равны, то левые тоже равны.

 

 

Теорема Лагранжа

Лемма: G-группа,Н-подгруппа,тогда для любого g принадл. G отображение lg:H

является биекцией.Док-во: lg-отображение,инъекция; пусть h1 , lg(h1) (т.е не является инъекцией) g°h1= g°h2 тогда g°h1=g^-1°g°h2 след-но h1= h2(противоречие);

lg-сюрьекция?для любого g°h принадлежит H, то lg(h)= g° h.

Опр. Если конечное множество и модуль G⁄H=k то число к –индекс подгруппы H в группе G.Обознач:[G:H]

Теорема Лагранжа: G-конечная группа, |G| =m, H⁄G, |H|= h, [G:H]=к,тогда |G|=|H|*[G:H] или m=n*k(порядок группы=произв. порядка подгруппы на ее индекс)

Док-во: т.к явл. отношением эквивалентности, при этом для любого g принадл. G, g с чертой= g°H, то левые смежные классы по подгруппе H задают разбиение множества G, т.е G= g1 °H

Модуль G=модуль g1 °H∪g2°H∪…∪gк°H отсюда |G|= |g1°H|+ |g2°H|+..+ |gк°H|,но по лемме gi°H = |H| след-но m=n+n+n+…+n(k-раз)

Следствие: m=n*k порядок подгруппы в конечной группе делит порядок подгруппы.

Группа подстановок

S(M)-группа подстановок на множестве М,если во множестве М=n элементов, то S(M)=sim(n)симметрическая группа на мн-ве из n элементов.Элементы из S(M)-подстановка элем.мн-ва.

Теорема: Пусть G конечная группа,модуль G=n, тогда существует G1< такое,что G <Sn.Док-во: для любого g принадл. G отображение lg: G → G:х (умножение слева)

1) lg-биекция.Инъективность х1 , lg(х1)=lg(х2)отсюда g*х1= g*х2 тогда g^-1°g°х1=g^-1°g°х2, х1= х2(противоречие);

2) lg-сюрьекция: для любого у принадлежит G: то lg(х)= у, g*x=у,то х= g^-1*у,

lg(g^-1*у)=у

3)lg-биекция.cлед-но для любого g принадл. G, lg принадл.S(G)отображение F:G S(G):g lg.Покажем,что F инъекция:g1 , lg1=lg2 след-но, lg1(е)=lg2(е) отсюда g*е= g*е тогда g1= g2(противоречие);Покажем, что сохраняет операцию:

Для любого g1, g2 F(g1,*g2)= F(g1) F(g2) отображение F:G→ G

Для любого x: F(g1,*g2)(x)- lg1*g2(x)= (g1*g2)*x=F(g1*g2)(x) знач. F(g1,*g2)= F(g1)° F(g2)

F-инъективный гомоморфизм,т.е F вложение.

Cтепени элементов в группе

Опр. Пусть <G, > g принадл. G, n принадл. Z,тогда n=0,то =е,

n пррнадл.N, =g (n раз),

n<0, n=-n₁, n₁ .N: gⁿ= = )ⁿ¹ =(g^-1)ⁿ¹=g^-1°g^-1(n1 раз).

Теорема:Пусть G-группа,g принадл. G, n, m принадл. Z тогда

 

1) ; 2) g^-m=(g^-1)^m= )^-1; 3) (g^m)ⁿ=(g)^mn

−во:

1).m=0: g^m °gⁿ=g⁰ gⁿ=eºgⁿ =gⁿ=g⁰⁺ⁿ=g^m+n

n=0: g^m °gⁿ =g⁰ ºg^m=e° g^m=g^m=g^0+m=g^m+n

m>0,n>0: g^m °gⁿ = (g°g°g°g°…°g)

(g°g°g°g°…°g)= g°g°g°g°…°g=g^m+n

m<0, n<0: n=-n1,m=-m1: g^m °gⁿ =g^-m1° g^-n1= (g^-1)^{m 1}°(g^-1)ⁿ¹ =

=(g^-1)^m1+n1=g^m+n

m<0, n<0,n=-n1: g^m °gⁿ =g^m° g^-n1= (g^m)°(g^-1)ⁿ¹ =

g°g°g^-1g°…°g=A

m=n1: A= g°g°g^(-1)g°…°g=g^e=g^m-n1=g^m+n

m>n1: A= (g°g°g^(-1)g°…°g)(m-n1раз)=g^m-n1=g^m+n

m<n1: A= g°g°g^(-1)g°…°g=(g^-1)^n1-m=g^m+n

2) g^-m=(g^-1)^m=(g^m)^-1;

m=0:g⁰=(g^-1)⁰ e=e^-1верно

m принадл N: g^-m=(g^-1)^m

g^m g^-1 = g°g°(g^(-1)g)°…°g=e

(g^m)^-1=(g^-1)^m: (g^-1)^m g^m=e.

 

37. Доказать, что

 

Циклические подгруппы и группы.

Подгруппа «g» называется циклической подгруппой группы G, порожденная элементом g (образующим g)

Если в группе «G;◦» g G, то G – циклическая группа с порождающим элементом g

«G;◦» - группа, g G. Говорят, что элемент g является элементом конечного порядка группы G, если такие к N, что =e. Если к , то элемент g имеет бесконечный порядок.

Если элемент g группы G имеет конечный порядок, то наименьшее число | =e – порядок элемента g и обозначается =Р(g)

Если – порядок g, то |«g» |= и «g»={e= ; ; …; }

Дак.: 1) «g» Разделим S на с остатком S = m+r 0≤r<

= ◦ = ◦ = e ◦ =

{e= ; ; …; } Покажем. Что все элементы множества разные

От противного: = 0≤ ≤ <

=e N

< – противоречие т.к. наименьший

|«g» |=

 

В любой конечной группе G порядок любого элемента делит порядок группы

Дак.: |G|=m, g G |«g» |= =P(g) [G; <g>] m:

 

 

Кольца

Непустое множество А – кольцо, если на нем задана бинарная операция, обычно обозначаемая «+» и называемая сложением. Такая, что «К;+» - аддетивная камуттативная группа.

а, в а+в К

0 К, а а+0=0+а=а

а (-а) а+(-а)=(-а)+а=0

а,в а+в=в+а

а,в,с (а+в)+с=а+(в+с)

На К задана бинарная операция обозначаемая «*» и называемая умнажением, такая что «К;*»-полугруппа

а,в а*в К

а,в,с (а*в)*с=а*(в*с)

Операция сложения и умножения в К согласованы условиями дистрибутивности т.е.

а,в,с а(в+с)=ав+ас

а,в,с (а+в)с=ас+вс

Кольцо К – коммуттативно если операция умножения коммуттативна т.е.

а,в ав=ва

Кольцо К – кольцо с единицей если в нем элемент нейтральный относительно умножения т.е.

а К а*1=1*а=а

Прим:

«Z;+;*» - комуттативное кольцо с 1

«5Z;+;◦» - коммуттативное кольцо без 1

«С;+; ◦» - кольцо

 

 

40. Подкольца. Определение, примеры, простейшие свойства. Критерий подкольца.

Пусть «К;+;◦»-кольцо. Непустое подмножество К в К –подкольцо в К, если оно само является кольцом относительно операций в К.

Критерий подкольца: «К;+;◦» - кольцо; К1 К, К1 К1 – подкольцо в К ó 1) К1- аддитивная подгруппа в К; 2) а*в К1

Доказательство:

Если К1- подкальцо, тогда К1-оддитивная подгруппа в К, тогда п. 1;2 выполняются

Обратно п. 1;2 – выполняются, тогда очивидно выполняются все пункты определения кольца т.к. они выполняются для всех элементов из К

Примеры:

5Z- подкальцо в Z

К= Mat(nxn;R) K1 = где a,b,c R

41.Идеалы колец.Определение. Корректность определения.

Опр. Пусть <К +, *> комутат. кольцо, непустое подмножество в К-идеалом кольца К если:

1. – подкольцо в К.

2. k К K*a (Если выдерживает умножение на эл-ты из К)

Теорема1: - подкольцо в К <=>

1. аддитивная подгруппа в К

2. k К k К K*a K*a

 

 

Критерий идеала.

Док. Если подкольцо то 1 и 2 выполнимы.

Пусть 1 и 2 выполнимы k = b по критерию подкольца это подкольцо в К.

А пункт 2 показывает что .

Пример: В качестве К = Z, = 5Z = { 5k / k Z }

В качестве = Мат {()|a, b, d R}

1. К- любое кольцо ={0}

К*0=0 Идеал

2.

3. К = Z,

4. K = Mat(2x2; R); ={ ()| a, b, d R }

-подкольцо, но не идеал. = а не = 0

 

43.Операции с идеалом.Определение. Корректность определения.

Опр. Пусть К кольцо идеал а ; а + ={a+x|x }. Пусть это левый смежный класс элемента а. <К +>- аддетю коммут. Группа. Если -идеал в К, то является нормальным делителем аддет. Группы К, тогда а+ ,

Более того К/ -это множество левых смежных классов наделяется структурой группой, если определитель (а+ )+(b+ )=(a+b)+

<К/ , +> комутат. группа

<| K адд. k ;

(-k)+a+k=(-k)+k+a=0+a=a

Опр. К-кольцо -идеал. Определено * смежных классов из К/ сл. Образом

(а+ )(b+ )=(ab)+