Уравнение состояния идеальных газов

Законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Шарля устанавливают связь только между двумя из трех основных параметров идеального газа –  при условии, что значение третьего остается неизменным.

Уравнение состояния устанавливает связь между тремя основными параметрами идеального газа.

Переведем идеальный газ, заключенный в цилиндре под поршнем с параметрами , в состояние с параметрами . Осуществим этот переход в два этапа.

Сначала уменьшим давление газа от  до , поддерживая температуру  постоянной путем подвода к газу определенного количества теплоты. Вследствие этого газ окажется в некотором промежуточном состоянии с параметрами . Затем при неизменном давлении будем подогревать газ до конечной температуры  и удельного объема .

Рассмотрим изменение параметров газа при этих переходах.

Так как на первом этапе переход газа из одного состояния в другое происходит при постоянной температуре, то по закону Бойля-Мариотта:

,

откуда

.                                                     (3.4)

На втором этапе переход происходит при постоянном давлении, поэтому согласно закону Гей-Люссака

откуда

.                                                      (3.5)

В уравнениях (3.4) и (3.5) правые части равны одной и той же величине, т.е. можно записать:

             или          

Начальные и конечные состояния газа были выбраны произвольно, поэтому отношение произведений давления на удельный объем к температуре в любом состоянии идеального газа равны между собой:

Эту постоянную величину называют удельной газовой постоянной. Обозначив ее буквой , получим:

или

.                                                   (3.6)

Уравнение (3,6) называется уравнением состояния идеального газа или уравнением Клапейрона. Если умножить левую и правую части этого уравнения на произвольную массу газа , то получим:

или

,                                                    (3.7)

Закон Авагадро

Закон Авогадро (1802 г,) первоначально формулировался так: все идеальные газы содержат в равных объемах при одинаковых давлении и температуре одинаковое число молекул.

Поскольку в одном и том же количестве вещества содержится одно и тоже число его частиц, современная формулировка закона Авогадро следующая: в равных объемах любых идеальных газов при одинаковых давлениях и температуре содержится одно и тоже количество вещества. Из этого определения и уравнения (1.1) следует, что молярный объем любого идеального газа при одинаковых давлении и температуре один и тот же.

Этот вывод можно распространить и на реальные газы при относительно невысоких давлениях и относительно высокой температуре.

На основании научных исследований значение молярного объема идеальных газов при нормальных физических условиях ( ^оС и Па) принято равным:

 м³/моль (приближенно 22,4 м³/кмоль).

По известному значению молярной массы идеального газа () можно определить его удельный объем () и плотность () при нормальных физических условиях:

;                                           (3.8)

,                                          (3.9)

Уравнение Менделеева

Умножим обе части уравнения состояния идеального газа (3.6) на молярную массу (), получим:

,                                              (3.10)

после подстановки  получим:

 

или

.

Правая часть последнего уравнения – величина, имеющая одно и то же значение для всех идеальных газов, так как в соответствии с законом Авогадро объем любого идеального газа при одинаковых давлениях и температуре один и тот же. Из этого следует, что и левая часть уравнения является одинаковой для всех идеальных газов, поэтому она называется универсальной или молярной газовой постоянной и обозначается :

.                                                     (3.11)

Поэтому можно записать

.                                                   (3.12)

Уравнение (3.12) было выведено Д.И. Менделеевым для количества вещества
1 моль. Вычислим значение универсальной газовой постоянной . Для этого подставим в уравнение (3.12) значения:  К,  Па и  м³/кмоль, получим:

 Дж/(моль∙К).

Следовательно, уравнение Менделеева можно записать:

.                                               (3.13)

Из уравнения (3.11) можно получить удельную газовую постоянную(), которая измеряется в джоулях на килограмм, на кельвин Дж/(кг∙К):

.                                                    (3.14)

Это уравнение очень удобно для вычисления газовой постоянной, так как для ее определения нужно знать только значение молярной массы, числовое значение которой, как уже говорилось, равно относительной молекулярной массе.

Для примера найдем газовую постоянную углекислого газа СО ₂. Так как относительная молекулярная масса этого газа  = 44,01, то молярная масса его
 = 44,01·10^-3 кг/моль, а удельная газовая постоянная:

 Дж/кг∙К.

Пользуясь уравнением (3.13), можно определить молярный объем идеального газа при любых давлениях и температуре:

.

Умножая обе части уравнения (3.11) на количество вещества , получим

или

,

что является другой формой записи уравнения Менделеева.

Примеры решения задач

Пример 3.1

Резервуар вместимостью 4 м³ заполнен углекислым газом. Найти массу газа и его вес, если избыточное давление в резервуаре 40 кПа, температура 80 ^оС, а барометрическое давление 102,4 кПа.

Решение

Абсолютное давление газа равно:

 кПа.

Из уравнения состояния найдем массу газа:

 кг.

Вес газа равен:

 Н.

Пример 3.2

В баллоне содержится кислород массой 2 кг при давлении 8,3 МПа и температуре 15 ^оС. Вычислить вместимость баллона.

Решение

Из уравнения состояния (3.7) получим:

 м³.

Значение R взято из приложения 1.

3.7. Задачи для самостоятельного решения

3.1. Для автогенной сварки привезен баллон кислорода вместимостью 100 л. Найти массу кислорода, если его давление 10,8 МПа при температуре 17 ^оС. Наружное давление 100 кПа.

Ответ: 14,45 кг.

3.2. В баллоне массой 117 кг и вместимостью 100 л содержится кислород при температуре 20 ^оС. Определить давление кислорода в баллоне, если масса порожнего баллона 102 кг.

Ответ: 11,42 МПа.

3.3. Давление кислорода в баллоне вместимостью 100 л равно 883 кПа при температуре 20 ^оС. Определить массу кислорода, который нужно подкачать в баллон, чтобы повысить давление в нем до 10,2 МПа при температуре 70 ^оС. Наружное давление 101 кПа.

Ответ: 10,27 кг.

3.4. По трубопроводу протекает кислород при температуре 127 ^оС и давлении по манометру 294 кПа. Найти массовый расход кислорода, если объемный расход его составляет 10 м³/мин

Ответ: 28,3 кг/мин.

3.5. Найти объем 1 кмоль газа при давлении 0,5 МПа и температуре 30 ^оС.

Ответ: 5,04 м³.