Нахождение истинных и средних теплоёмкостей

Для нахождения истинных теплоемкостей чаще всего используется табличный способ.

Средняя удельная теплоёмкость в интервале температур  и  может быть принята как среднеарифметическая между истинными теплоёмкостями  (при температуре ) и  (при температуре ), т.е.

.

В приложении 2 приведены истинные удельные теплоёмкости воздуха и отдельных газов.

Теплоёмкость смесей

На практике чаще всего приходится сталкиваться не с отдельными газами, а с их смесями, поэтому необходимо знать определение теплоемкости смеси. При нагревании газовой смеси подведенная теплота расходуется на нагревание отдельных ее компонентов, и теплоемкость смеси определяется по ее составу.

При задании смеси массовыми долями подведенную теплоту можно определить следующим образом:

или

,

где , - удельная теплоемкость и масса i -го компонента соответственно,

следовательно,

.

Деля левую и правую части последнего уравнения на , получим:

.

Но поскольку  – массовая доля i –того компонента, то можно записать

.

Таким образом, массовая теплоемкость смеси равна сумме произведений массовых теплоемкостей газов, входящих в смесь, на их массовые доли.

При задании смеси объемными долями, учитывая, что  и , получим:

,

т.е. объемная теплоемкость газовой смеси равна сумме произведений объемных теплоемкостей газов, входящих в состав смеси, на их объемные доли.

При задании смеси молярными долями, исходя из того, что объемные и мольные доли равны, запишем:

,

т.е. молярная теплоемкость газовой смеси равна сумме произведений молярных теплоемкостей газов, входящих в состав смеси, на их молярные доли.

Примеры решения задач

Пример 5.1

При постоянном давлении найти среднюю удельную массовую теплоёмкость кислорода при повышении его температуры от 600 до 2000 ^оС.

Решение

Искомую теплоёмкость принимаем равной истинной удельной изобарной теплоёмкости при средней арифметической температуре ():

 = (600 + 2000) / 2 = 1300 ^оС

Находим в приложении 2 истинную удельную изобарную теплоёмкость кислорода при температуре 1300 ^оС:  = 1,1476 кДж/(кг·К). Это значение теплоёмкости равно средней удельной изобарной теплоёмкости  кислорода в интервале температур 600…2000 ^оС.

Пример 5.2

Найти среднюю молярную изобарную теплоёмкость углекислого газа  при повышении его температуры от 200 до 1000 ^оС.

Решение.

Найти эту теплоёмкость можно найти из первого соотношения (5.1), из которого получаем:

.

Предварительно находим молярную массу (М). Относительная молярная масса углекислого газа М_г = 44,01. Следовательно, его молярная масса РАВНА:

М = 44,01·10^-3 кг/моль.

Среднюю удельную изобарную теплоёмкость () находим из приложения 2 как истинную удельную изобарную теплоёмкость при средней температуре . В нашем примере эта температура равна:

 = (200 + 1000) / 2 = 600 ^оС.

Из приложения 2 находим, что при этой температуре искомая истинная удельная теплоёмкость = 1,1962 кДж/(кг·К). Значит, средняя удельная изобарная теплоёмкость в данном интервале температур тоже равна:

 = 1,1962 кДж/(кг·К).

Теперь можно найти искомую среднюю молярную изобарную теплоёмкость:

 = 1,1962 · 44,01·10^-3 = 52,89 кДж/(моль·К).

Пример 5.3

Воздух, содержащийся в баллоне вместимостью 12,5 м³ при температуре 20 ^оС и абсолютном давлении 1МПа, подогревается до температуры 180 ^оС. Найти подведённую теплоту Q.

Решение

Из определения удельной теплоемкости с учетом того, что процесс нагревания происходит при постоянном объеме, можно записать:

,

откуда

.

Принимая во внимание, что при температуре  = 20 ^оС давление воздуха составляет  = 1 МПа, массу воздуха () найдём из уравнения состояния:

 = 1·10⁶ · 12,5 / (287,1 · 293) = 148,6 кг,

где  = 287,1 Дж/(кг·К) – удельная газовая постоянная воздуха (см. приложение 1).

Среднюю удельную изохорную теплоёмкость принимаем равной истинной теплоёмкости при средней температуре воздуха 100 ^оС, т.е.

 = 722,6Дж/(кг·К).

Следовательно, искомое количество подведенной теплоты равно:

 = 722,6 · 148,6·(180 – 20) = 17,2 МДж.

Пример 5.4

Температура смеси, состоящей из азота массой 3 кг и кислорода массой 2 кг, в результате подвода к ней теплоты при постоянном объёме повышается от 100 до 1100 ^оС. Найти количество подведённой теплоты.

Решение

Искомое количество теплоты (Q) найдем из выражения:

.

Среднюю удельную изохорную теплоёмкость смеси найдём согласно уравнению:

,

где  и  – массовые доли компонентов азота и кислорода.

По условию задачи масса смеси = 3 + 2 = 5 кг. Следовательно, массовая доля равна:

азота                         = 3 / 5 = 0,6;

кислорода               = 2 / 5 = 0,4.

Для нахождения теплоёмкостей компонентов смеси  и  воспользуемся приложением 2. Примем, что они равны истинной удельной изохорной теплоёмкости при средней арифметической температуре:

 = (100 + 1100) / 2 = 600 ^оС.

При этой температуре:

для азота                  = 843 Дж/(кг·К);

для кислорода        = 809 Дж/(кг·К).

Найдем теплоёмкость смеси:

 = 0,6 · 843 + 0,4 · 0,809 = 829 Дж/(кг·К)

Подведённая к смеси теплота равна:

 = 5·829·(1100 – 100) = 4,1 МДж.

Пример 5.5

Состав продуктов сгорания бензина в цилиндре двигателя внутреннего сгорания в молях следующий: углекислого газа СО₂ – 71,25, кислорода О₂ – 21,5, азота N ₂ – 488,3; паров воды Н₂О – 72,5. Температура газов 800 ^оС. Определить долю тепловых потерь с уходящими газами, если теплота сгорания бензина 43950 кДж/кг.

Решение

Найдём сначала теплоту (Q ₁) уходящих газов. Предположим, что сгорание происходит при постоянном давлении, поэтому можно записать:

,

где  – средние молярные изобарные теплоёмкости соответственно всей смеси и её компонентов;  – количество вещества соответственно всей смеси и её компонентов.

При среднеарифметической температуре процесса

 = (0 + 800) / 2 = 400 ^оС

средние удельные теплоёмкости компонентов, а также их молярные массы согласно даным, представленных в приложении 2, равны:

для углекислого газа  = 1,11 кДж/(кг·К), М₁ = 44·10^-3 кг/моль;

для кислорода         = 1,02 кДж/(кг·К), М₂ = 32·10^-3 кг/моль;

для азота                  = 1,09 кДж/(кг·К), М₃ = 28·10^-3 кг/моль;

паров воды              = 2,08 кДж/(кг·К), М₄ = 18·10^-3 кг/моль.

По найденным значениям удельных теплоёмкостей и молярных масс вычислим значения молярных теплоёмкостей компонентов смеси:

углекислого газа

 = 1,11·44·10^-3 = 48,84 Дж/(моль·К);

кислорода

= 1,02·32·10^-3 = 32,64 Дж/(моль·К);

азота

= 1,09·28·10^-3 = 30,52 Дж/(моль·К);

паров воды

 = 2,06·18·10^-3 = 37,08 Дж/(моль·К).

Найдем количество теплоты, уносимой смесью (выхлопными газами):

;

 = 800·(71,25 · 48,84 + 21,5 · 32,64 + 488,3 · 30,52 + 72,5 · 37,08) = 17,418 кДж.

Обозначив теплоту сгорания бензина через Q, получим, что потеря теплоты с выхлопными газами в процентах составляет:

100 = (17418 / 43950)·100 = 39,6 %.

5.6. Задачи для самостоятельного решения

5.1. Найти средние удельные изохорную и изобарную теплоёмкости кислорода в интервале температур 1800…1200 ^оС.

Ответ:  = 0,9 кДж/(кг·К);  = 1,16 кДж/(кг·К).

5.2. Найти среднюю молярную изохорную теплоёмкость кислорода при нагревании его от 0 до 1000 ^оС.

Ответ: 25,3 кДж/(моль·К),

5.3. В помещении размером 6х5х3 м температура воздуха 27 ^оС при давлении 101 кПа. Найти количество теплоты, которую нужно отвести от этого воздуха, чтобы понизить его температуру до 17 ^оС при том же давлении. Средняя удельная изобарная теплоёмкость воздуха 1,004 кДж/(кг·К). Массу воздуха в помещении условно принять постоянной.

Ответ: 1,06 МДж.

5.4. От азота, заключённого в баллоне, отводится 1700 кДж теплоты. При этом температура его понижается от 800 до 200 ^оС. Найти массу азота, заключённого в баллоне.

Ответ: 34,6 кг.

5.5. В трубчатом воздухоподогревателе воздух нагревается при постоянном давлении от 10 до 90 ^оС. Найти массовый расход воздуха, проходящего через воздухоподогреватель, если ему сообщается 210 МДж/ч теплоты.

Ответ: 2610 кг/ч.

5.6. Найти средние изобарную и изохорную молярные теплоёмкости продуктов сгорания топлива при охлаждении их от 1100 до 300 ^оС. Молярные доли компонентов этих продуктов сгорания следующие:  = 0,09;  = 0,083;  = 0,758,  = 0,069.

Ответ:  = 32,3 Дж/(моль·К);  = 27,0 Дж/(моль·К).

5.7. Состав отработавших газов двигателя внутреннего сгорания в молях следующий:  = 74,8;  = 68;  = 119;  = 853. Найти количество теплоты, выделенной этими газами при понижении их температуры от 380 до 20 ^оС при постоянном давлении.

Ответ: 13,84 МДж

Первое начало термодинамики