Устойчивость дискретных систем

Рассмотрим устойчивость импульсных систем как класса дискретных САУ

В общем случае свободное движение в замкнутой дискретной системе описывается разностным уравнением «n»-го порядка:

         (1.14.1)

или соответствующим ему характеристическим уравнением:

                                  (1.14.2)

Решение уравнения (1.14.1) имеет вид:

                                                        (1.14.3)

Z_k – корни характеристического уравнения (1.14.2),

q_{k –}  полюса ПФ Ф*(q) – ПФ замкнутой системы.

В асимптотически устойчивой системе выполняются условия:

 в установившемся режиме.

Из выражения (1.14.3) видно, что для устойчивости системы необходимо, чтобы вещественная часть полюсов была отрицательной , а .
Если хотя бы один корень , то система будет неустойчивой.

Корни z_k должны лежать внутри окружности единичного радиуса.

Если хотя бы один из корней лежит на окружности, то система находится на границе устойчивости.

Для того, чтобы можно было применить критерий устойчивости непрерывных систем переходят от z  формы к W - форме.

При этом характеристическое уравнение имеет 1.14.2 приобретает вид:

                                             (1.14.4)

и необходимое условие устойчивости - положительность коэффициентов b_i:

Для уравнения второго порядка необходимое условие является и достаточным.

В случае устойчивой системы все корни z_k (уравнение 1.14.2). лежащие внутри единичного круга, перейдут в левую полуплоскость W.

Положительность коэффициента а _i не является необходимым условием устойчивости.  Покажем это на примере ЦСАУ с характеристическим уравнением замкнутой системы второго порядка:

.

Перейдем от z – формы к w форме – немодифицированное преобразование:

где коэффициенты b_i определяются выражениями:

Условием устойчивости ИС будет положительность коэффициентов  

 b_i  > 0,  но не а_i  > 0.

Пусть , тогда , ,

 Необходимое условие устойчивости не выполняется, хотя исходное уравнение имеет все «+» коэффициенты.

Вычислим корни исходного уравнения.

для устойчивости требуется , а здесь

     Замкнутая ИС будет устойчива, если все корни w_i  уравнения (1.14.4) лежат в левой полуплоскости, т.е. выполняется условие

После перехода к W- форме для исследования устойчивости дискретных систем можно применять критерии непрерывных систем. Однако, существуют специальные критерии устойчивости дискретных систем (аналоги критериев непрерывных систем).

                     1.14.2 Аналог критерия Михайлова

Аналог критерия Михайлова для ИС основан на рассмотрении характеристического полинома:

                          (1.14.5)

Построим на плоскости q контур L, лежащий в правой части полосы и образованный отрезком мнимой оси L ₁ , границами этой полосы L ₂ и L ₄,  и бесконечно удаленным отрезком прямой L ₃, параллельным мнимой оси (рисунок 1.14.2)

 

Рисунок 1.14.2

 

Предположим, что на самом контуре нет нулей и полюсов , тогда, на основании принципа аргумента при изменении q вдоль контура в отрицательном направлении, то есть так, чтобы область, ограниченная контуром L, оставалась справа, то приращение аргумента функции  будет равно:

                                                            (1.14.6)

где Ри N соответственно число полюсов и нулей функции , лежащих в области ограниченной контуром L. Учитывая, что для число полюсов Р=0, то для устойчивости замкнутой АИС необходимо и достаточно, чтобы в этой области отсутствовали нули функции , , то есть N =0. Тогда из выражения (1.14.6) получим условие устойчивости:

                                  (1.14.7)

На отрезке мнимой оси  и поэтому

.                               (1.14.8)

При изменении q вдоль отрезка L ₂, при σ изменяющемся от , до , функция будет изменяться вдоль действительной оси от до значения .                                                                      (1.14.9)

При изменении q вдоль прямой L ₄  от  до , функция будет изменяться от значения до в направлении противоположном предыдущему и, значит, .                                                                                                            (1.14.10)

На бесконечно удаленном участке L ₄ имеем и приближенно  можно представить в виде старшего члена ряда , а приращение аргумента

            (1.14.11)

Подставляя найденные значения аргументов (1.14.8 - 1.14.11) в (1.14.7),

получим , откуда .

Это необходимое и достаточное условие устойчивости импульсной системы.

 В силу симметричности  относительно действительной оси можно рассмотреть интервал ,

если при этом ,                        (1.14.12)

 то замкнутая ИС устойчива.

Выражение (1.14.12) является аналогом критерия Михайлова для дискретных систем.

Подставим в .   (1.14.13)

В крайних точках интервала  и получим

,  ,

т.е. АФХ ИС в этих точках имеет вещественные значения.

АФХ ИС - можно представить в виде вещественной и действительной части и в координатах Х, Y  изобразить аналог кривой Михайлова.

                                        а)                                       б)

Рисунок 1.14.3 – Аналоги кривой Михайлова.

Для системы третьего порядка случай устойчивой системы имеет вид а), неустойчивой системы  – вид б).

Аналог критерия Найквиста

Рассмотрим ПФ разомкнутой импульсной системы:

                                                                    

Примем e=0 и введём вспомогательную функцию

,                                                                  (1.14.15)

где - характеристический полином замкнутой системы, - характеристический полином разомкнутой системы, порядки полиномов равны между собой и равны m.

Из аналога критерия Михайлова следует, что для устойчивости замкнутой системы необходимо выполнение условия:

                                                   (1.14.16)

Возможны три случая состояния разомкнутой системы:

Устойчивая разомкнутая система

В этом случае по аналогу критерия Михайлова можно записать .

 Поскольку замкнутая система должна быть устойчивой, то

а приращение аргумента вспомогательной функции

Т.е. годограф  не должен охватывать начало координат.

Таким образом, для устойчивости замкнутой системы, при устойчивой разомкнутой, необходимо и достаточно, чтобы годограф вспомогательной функции не охватывал начало координат, а соответствующий годограф АФХ не охватывал точку   (рисунок 1.14.4).

 

Рисунок 1.14.4

В случае астатической системы степени ν также как и для непрерывных систем, годограф АФХ (рис.1.14.5) дополняется дугой бесконечного радиуса на угол , затем применяется предыдущий критерий.

 

 ν=1

Рисунок 1.14.5 

 

В случае неустойчивой разомкнутой системы уравнение  имеет l корней вне окружности единичного радиуса, то , при .

 Тогда приращение аргумента вспомогательной функции

Для устойчивости замкнутой системы при неустойчивой разомкнутой необходимо и достаточно, чтобы разность числа положительных и отрицательных переходов годографа АФХ (рисунок 1.14.6) через отрезок действительной оси (- 1; j 0) была равна .

Рисунок 1.14.6

Например, если разомкнутая система неустойчива и  имеет два правых корня (), то согласно рис.1.14.6 замкнутая ИС будет устойчива.