Аппроксимация операции выборки и хранения звеном чистого запаздывания.

Этот метод инженерный (приближённый), и к применению его для решения задач синтеза следует относится с осторожностью.

Рассмотрим синтез цифровой системы управления с аналоговым регулятором, включенным последовательно.

 

Рисунок 2.11.1.1

 

 

ПФ разомкнутой скорректированной системы может быть записана с помощью  – преобразования.

Запишем частотную ПФ разомкнутой импульсной системы, соответствующую (2.11.2)

.                              (2.11.3)

Примем смещение ε=0, и учитывая (2.6.5), (2.11.2), и что 2π=ω₀Т, представим выражение (2.11.3) в виде

  (2.11.4)

Поскольку для САУ характерно, что W_об(jω) имеет свойства фильтра нижних частот, а в области низких частот отношение   , то

выражение  (2.11.1.2) можно аппроксимировать  первым членом ряда (r = 0), тогда получим:

                                               (2.11.5)

Из выражения (2.11.5) следует, что операция выборки и хранения заменяется чистым запаздыванием на величину, равную половине периода квантования.

Структурная схема эквивалентной непрерывной системы имеет вид:

Рисунок 2.11.1.2

Эффект замены УВХ звеном чистого запаздывания поясняется рисунком (2.11.1.2). Рисунок показывает, что если аппроксимировать выходной сигнал экстраполятора пунктирной линией, проходящей через середины плоских вершин, соответствующих импульсов, то будет получен непрерывный сигнал h (t) почти такой же формы как сигнал v (t) на входе квантователя  , но сдвинутый в сторону запаздывания на половину периода квантования Т/2.

Приближенность рассмотренного метода состоит в недостаточной обоснованности замены ряда (2.11.4) всего одним членом. Это допустимо в том случае, если частота среза системы . Если замена УВХ чистым запаздыванием является обоснованной, то ПФ W ку(S) находится методами, разработанными для непрерывных САУ.

Пример, иллюстрирующий скрытые опасности.

ПФ нескорректированной системы W (S):

                                                       (2.11.6)

ФЧХ звена чистого запаздывания

Рисунок 2.11.1.3

 

Из рисунка (2.11.1.3) видно, что в нескорректированной системе запас по фазе равен нулю. В точно построенных ЛЧХ (без аппроксимации УВХ) запас по фазе равен 15° т.е. этот метод дает заниженную оценку устойчивости. Кроме того, при  (в данном примере 4рад/с) истинная ФЧХ претерпевает разрыв, т.к. множитель    в этой точке меняет знак ().

Если же пользоваться выражением (2.11.6), то ФЧХ будет непрерывной при всех значениях ω.

Предположим, что необходимо обеспечить запас по фазе γ=45° и выбрать вид последовательного КУ для обеспечения устойчивости. КУ может быть фазоопережающего  и фазоотстающего типа. Известно, что фазоопережающее (дифференцирующее) КУ увеличивают . В данном случае ФЧХ имеет крутопадающий вид после ω=1с^-1, поэтому коррекция с опережением по фазе может оказаться неэффективной, т.к. дополнительного положительного фазового сдвига может быть недостаточно для компенсации резкого убывания фазы нескорректированной системы в окрестности новой частоты среза.

Поэтому более подходящей для данной системы оказывается коррекция фазоотстающего (интегро - дифференцирующего) типа:

Рисунок 2.11.1.4

 

Из ФЧХ (рисунок 2.11.1.3) нескорректированной системы видно, что запас по фазе γ=45° можно получить на частоте среза ω_ср =0,4с^-1.

Для исключения влияния коррекции на запас по фазе выберем

Для проверки качества системы найдем z ПФ разомкнутой системы:

Ей соответствует переходной процесс в замкнутой системе

Рисунок 2.11.1.5

 

Из переходной характеристики видно, что она имеет сильно колебательный характер со слабым затуханием, что не соответствует запасу по фазе 45°. В данном случае этот метод дает большую погрешность т.к.  недостаточно мала по сравнению с 2/Т.

 

2.11.2 Синтез с помощью W-преобразования

Рассмотрим прямой метод синтеза цифровых САУ с аналоговыми регуляторами, основанный на применении W – преобразования. Этот метод не связан с какой-либо аппроксимацией УВХ.

Применительно к структуре с последовательным аналоговым КУ методика синтеза состоит из следующих этапов:

Методика синтеза последовательного КУ:

1. Определяем ПФ нескорректированной системы в W – форме.

2. Строим логарифмические и частотные () характеристики нескорректированной системы и определяем запасы устойчивости.

3. В случае необходимости методами непрерывных систем находятся ПФ последовательного КУ W ку(w). Следует отметить, что W ку(w) может не иметь прямой аналогии на s- плоскости.

4. По полученной ПФ скорректированной системы

W ск(w) = W э(w) W ку(w) W об(w) переходят сначала к выражению W ск(s), а затем уже находят W ку(s) = W ск(s)/(W э(s) W об(s)).

Важно отметить, что ПФ W ку(s) должна быть физически реализуемой т.е. степень знаменателя должна быть не меньше степени числителя. Желательно также, чтобы Wk у(S) могла быть реализована в виде схемы, содержащей только R и C. Отсюда вытекают следующие требования к Wk у(S).

а) полюсы функции Wky (S) должны лежать в левой полуплоскости и быть простыми и вещественными;

б) Количество полюсов Wky (S) должно быть больше числа нулей или равно ему. В общем случае нули Wky (S) могут быть как в левой, так и в правой pl, полюса только в левой.

5. Если найдено W э(w) W ку(w) W об(w) то, чтобы получить W э(s) W ку(s) W об(s) необходимо сделать обратный переход от переменной W к переменной S.

      (2.11.2.1)

Выражение в правой части раскладывается на простые слагаемые, затем с помощью подстановки w =  находят z- изображение каждого слагаемого, а затем с помощью таблиц соответствия находится отношение , а из него находится W _ку (s) т.к. ПФ объекта известна.

Из-за несоответствия нулей и полюсов на плоскостях s и w ПФ W ку(s) обычно физически нереализуема. Чтобы сделать W ку(s) физически реализуе-мой,  нужно добавить требуемое число удаленных полюсов слабо влияющих на динамические свойства системы.

Пример: Решим ту же задачу, что и в предыдущем случае, но с помощью w-преобразования.

Необходимо найти ПФ нескорректированной системы:

Рисунок 2.11.2.1

 

Из рисунка 2.11.2.1 видно, что ФЧХ пересекает уровень –180 при частоте ω*=1 и нескорректированная система практически не имеет запаса по фазе. Чтобы получить запас 45 градусов, частоту среза нужно сдвинуть в точку ω*=0.4, где mod(WэWоб(W)) = 8 дБ.

Выберем КУ фазоотстающего типа.

Для исключения влияния коррекции на запас по фазе выберем

Найдём ПФ разомкнутой системы в Z-форме с помощью подстановки .

Переходная функция скорректированной системы:

Рисунок 2.11.2.2

 

Из рисунка 2.11.2.2 видно, что система скорректирована лучше, чем в предыдущем случае.

Для завершения процедуры синтеза необходимо найти W_k (s).

Выражение в скобках обозначим  и его необходимо разложить на простейшие слагаемые. При этом нужно учитывать вид ПФ . Поскольку  имеет два полюса s = 0, а согласно таблице операционных соответствий функции  соответствует W- преобразование, содержащее в числителе член , то чтобы сохранить этот член, необходимо раскладывать на элементарные дроби выражение .

Для обеспечения физической реализуемости ПФ W_k (S) в выражение КУ  добавлен удаленный полюс s=10 (постоянная времени Т_i = 0,1c).