Уравнения и ПФ разомкнутых импульсных систем

К линейным импульсным системам относятся амплитудно-импульсные системы с линейным импульсным элементом и линейной непрерывной частью (рисунок 1.8.1).

 

НЧ- непрерывная часть, ИЭ импульсный элемент

Рисунок 1.8.1

 

Разомкнем систему и расчленим условно ИЭ на две части: простейший импульсный элемент, и формирователь импульса (S (t)). На выходе простейшего импульсного элемента появляется сигнал U(t) в виде последовательности «δ» – импульсов. Немодулированная последовательность d- импульсов описывается выражением:

                                                                          (1.8.1)

В общем случае сигнал на выходе квантователя имеет вид решетчатой функции:

,                                                        (1.8.2)

g (t) – модулирующая функция, U [ nT ] – результат модуляции.

Формирователь импульса придает каждому d-импульсу определенную форму. γ T.

Обычно импульс на выходе АИЭ имеет прямоугольную форму. Рассмотрим определение ПФ W _ф (S) формирователя импульсов прямоугольной формы.

Представим процесс получения прямоугольника в виде разности:

                                                                               (1.8.3)

Рисунок 1.8.2

Изображение единичного скачка

L {1(t)}=1/ S

                                                                         (1.8.4)

                                       (1.8.5)

Второй метод состоит в нахождении преобразования Лапласа импульса (рис.1.8.2)

                      (1.8.6)

ПФ формирователя объединяют с ПФ непрерывной части и получают ПФ приведенной части.

W_n (S)= W _ф (S) W _н (S)                                                                              (1.8.7)

Реакция приведенной непрерывной части на «δ» – импульс представляет собой импульсную переходную функцию непрерывной части k (t).

Таким образом, выходная величина  представляет собой (рисунок 1.8.3) сумму реакций на каждый мгновенный импульс, то есть представляет собой сумму импульсных переходных функций , где m – момент приложения «δ» – импульса

Рисунок 1.8.3

 

 

                                                             (1.8.8)

Выражение (1.8.8) описывает значения выходной величины импульсной системы в дискретные моменты времени.

Если  заменить в (1.8.8), то можно записать выражение выходной величины:

                                 (1.8.9)

Изменяя смещение e в выражении (1.8.9) можно получить значение выходной величины разомкнутой импульсной системы в различные моменты времени.

При ε = 0 эти значения определяются дискретами решетчатой функции в моменты времени m. При 0 ≤ ε ≤ 1 можно получить промежуточные значения выходной величины (между дискретами).

 Изображения входной и выходной величины разомкнутой ИС имеют вид:

ПФ разомкнутой ИС находится как отношение изображений выходной и входной величин при нулевых начальных условиях:

ПФ импульсной системы может быть определена через ПФ непрерывной части с помощью – преобразования. Вначале находится ПФ непрерывной части

Аналогично непрерывным линейным системам имеет место следующее соотношение между ПФ и импульсной переходной функцией.

                                                                                  (1.8.16)

                                                                                                                  (1.8.17)

Пример: Определение дискретной ПФ импульсного фильтра:

В импульсной системе с простейшим ИЭ, ПФ непрерывной части имеет вид:

 

Найдем ПФ импульсного фильтра:

В общем случае ПФ разомкнутой ИС имеет вид

,

где

В соответствии со свойствами  – преобразования ПФ  будет периодической функцией с периодом  вдоль мнимой оси плоскости комплексной переменной  с периодом . Поэтому ПФ полностью определяется в основной полосе частот, шириной .

.

Переходя к z – форме с помощью подстановки , получим:

Переход к z – преобразованию позволяет в выражении дискретной ПФ устранить трансцендентность, при этом основная полоса шириной на плоскости q  отображается на всю плоскость z, а отрезок мнимой оси отображается в окружность единичного радиуса . При этом левая часть полосы отображается внутрь единичного круга.