Частотные характеристики импульсных систем

Частотные характеристики ИС определяются аналогично частотным характеристикам непрерывных систем. Но если в непрерывных линейных системах имеем

то здесь вводятся величины

Амплитудно – фазовая частотная характеристика определяется в виде:

Аналогично линейным системам частотные характеристики ИС можно найти с помощью дискретного преобразования Фурье импульсной переходной функции системы.

                                                                (1.10.5)

k [ n, ε ] – импульсная переходная функция;

Используя  – преобразование частотные характеристики импульсной системы можно получить по частотным характеристикам непрерывной системы.

                                     (1.10.6)

ε – смещение решетчатой функции

Частотные характеристики ИС обладают следующими свойствами:

1) Частотные характеристики зависят не только от , но и от смещения e: Зависимость от ε приводит к появлению семейства частотных характеристик. Для решения задачи устойчивости системы часто бывает достаточно одной характеристики при ε = 0.

2) В соответствии с периодичностью ПФ ИС частотные характеристики также будут периодичны с периодом и полностью определяются в полосе частот .

3) В крайних точках интервала АФХ принимает, согласно (1.10.5), вещественные значения.

4) При возрастании частоты квантования , или при убывании периода Т, частотные характеристики ИС стремятся к частотным характеристикам непрерывных систем. При этом интервал который для реальной частоты     имеет вид  растягивается на всю мнимую ось jω при .

В простых случаях ЧХ ИС могут быть построены непосредственно по выражениям , а в сложных – приближенными численными или графическими методами.

В качестве примера рассмотрим построение АФЧХ импульсного фильтра с ПФ для этого случая ПФ ИС была получена ранее:

Уравнением  () описывается единичная окружность. Поэтому и функция - как дробно-рациональная функция от z отобразится также в окружность или прямую. При изменении частоты в интервале  получаем полуокружность, причём в крайних точках , согласно (1.10.5) имеем:

Абсцисса центра окружности (рисунок 1.10.1).

 

β₁ > β₂> β₃

Рисунок 1.10.1

 

С уменьшением величины β=Т/Т₁ радиус окружности увеличивается. При β = 0 окружность вырождается в прямую линию, параллельную мнимой оси.

 В более сложных случаях можно использовать следующие два способа для построения ЧХ ИС.

I. Используется выражение (1.10.3), учитывая, что

С учетом этого и используя - преобразование, получим:

При ε = 0

                                                 (1.10.9)

Если представить частотную ПФ непрерывной части в алгебраической форме:

При вычислениях ограничиваются конечным числом слагаемых. Для того чтобы, пользуясь выражением (1.10.9), построить частотную характеристику импульсной системы, нужно построить ряд характеристик непрерывной системы, смещенных относительно друг друга вдоль оси w на частоту повторения w₀ и просуммировать ординаты всех смещенных характеристик, умноженные на 1/Т.

На основе 1.10.11 и 1.10.12 можно найти амплитудную и фазвую частотные характеристики ИС.

 

                                 (1.10.13)

                                                                

 

На рисунке 1.10.2 построена амплитудная частотная характеристика modW _пн (j w) приведенной непрерывной части. Полосу частот – w _пн < w < w _пн, за пределами которой ординатами частотной характеристики приведенной непрерывной части можно пренебречь, назовем полосой пропускания.

Рисунок 1.10.2

 

Рисунок 1.10.3

 На рисунке 1.10.3 приведена амплитудная частотная характеристика дискретной ПФ  при условии .Из  рисунка 1.10.3 видно, что в полосе частот от – w₀ до + w₀ частотные характеристики импульсной и непрерывной системы отличаются за счет того, что происходит наложение смещенных характеристик друг на друга. Физически такое искажение частотной характеристики непрерывной части означает определенную потерю информации при передаче импульсным элементом значений непрерывного сигнала. Если увеличить частоту w₀ работы импульсного элемента до значения w₀ > 2w_пн,  то частотные характеристики непрерывной системы и импульсной в полосе пропускания совпадут. 

2. Второй способ основан на использовании выражения 1.10.6 при e=0

Поскольку в физически реализуемых системах выполняется условие

, то возьмём только три слагаемых; r = -1, r = 0, r = 1, тогда

                                  (1.10.14)

  Будем считать, что задана АФХ  приведенной непрерывной части ИС (рис. 1.10.4). Обозначим на ней безразмерные значения частот . Возьмём одно какое –либо значение . Вектор 1 обозначает . К нему согласно (1.10.14) нужно добавить вектор , но . Поэтому этот вектор найдём по комплексно сопряженному вектору , взяв точку . Там же показан третий вектор .

22

Рис. 1.10.4

 

Сложив геометрически эти три вектора, получим согласно (1.10.14) одну точку искомой характеристики . Проделав то же самое для ряда точек , найдём всю характеристику .

Для замкнутой ИС в соответствии с формулой

, при ε = 0 получаем частотную характеристику

. 

Представив её в алгебраическом виде , или в виде , можно по формулам и номограммам непрерывных систем найти ВЧХ , МЧХ , АЧХ и ФЧХ  замкнутой ИС.

                                                                                                                                                                                                                                                

Построение ЛЧХ

Если ПФ ИС задана в D-форме, то для построения ЛЧХ нужно выполнить две операции:

1. Перейти от трансцендентной формы к дробно-рациональной, то есть произвести замену e^q = z и   W *(q) = W *(z).

Однако, при этом особый отрезок L на q -плоскости переходит в окружность единичного радиуса на плоскости z.

2. Для построения ЛЧХ необходимо эту окружность преобразовать в мнимую ось и при этом частота будет изменяться от -∞ до +∞. Для этих целей используется так называемое билинейное или W-преобразование.

Для практики удобнее использовать модифицированное w-преобразование:

  Методика построения ЛЧХ:

1. ПФ непрерывной части представляют в виде суммы простых слагаемых.

2. Для каждого слагаемого по таблицам операционных соответствий находят z-изображение.

3. Путем суммирования всех слагаемых находят z -передаточную функцию импульсной системы.

W *(z) = TZ { W (s)}

4. Путем подстановки (1.11.1) переходят к ПФ в форме W*(w).

     5. Заменяя w= , строят  ЛЧХ по выражениям 1.11.3 и 1.11.4.

Пример: ПФ приведенной НЧ имеет вид:

Необходимо построить ЛЧХ импульсной системы с периодом квантования Т.

1) Разложим W (S) на простые слагаемые (1.11.1):

                                                                         (1.11.1)

2) С помощью таблиц Z - преобразований находим операционные соответствия

3) Найдем ПФ

4) Найдем ПФ

5) ЛЧХ ИС описывается следующими выражениями (1.11.2) и (1.11.3)

                                    (1.11.2)

                              (1.11.3)

где  – эквивалентная постоянная времени.

Рисунок 1.11.1

 

Kак видно из ЛАХ (рисунок 1.11.1) в облаcти частот ω*<<2/Т ЛАХ  непрерывной части L (ω) и импульсной системы L *(ω*) практически совпадают.

Аналогичный вывод можно сделать из теоремы Котельникова-Шеннона. Теорема: чтобы регенерировать (восстановить) непрерывный сигнал из входного дискретного частота квантования ω₀ должна быть больше удвоенного значения максимальной частоты ω _m или равна ему. . Для систем автоматического управления с единичной ОС величину ω _m ограничивают полосой пропускания, при этом .

Таким образом

                                             (1.11.4)

     При выполнении последнего условия, то есть когда частота среза меньше 2/Т импульсную систему можно считать непрерывной. Поскольку в рассмотренном примере частоты сопряжения множителей  лежат далеко за частотой среза, то они практически на свойства системы влияние не оказывают. В сложных случаях для построения ЛЧХ используют приближенный метод.

Приближенный метод

Приближенный метод построения ЛЧХ основан на следующих допущениях:

1.) Частота среза системы принадлежит НЧ области, т.е. ω_с<2/Т, где Т – период следования импульса.

2.)       ПФ приведенной непрерывной части описывается только звеньями первого порядка

                                                                                                      (1.12.1)

Кν – добротность, ν – порядок астатизма.

3.) Звенья знаменателя с постоянными времени Т₁…Т _n можно разделить на две группы:

T_i > Т /2, i=1,q

Т _i < Т /2, i= q+1, n

Звенья передаточной функции непрерывной части разделяются на низкочастотные и высокочастотные, в зависимости от того где находятся частоты сопряжения. При ω _i <2/ T – низкочастотная (НЧ) область, при ω _i >2/Т – высокочастотная (ВЧ) область.

4.) Звенья числителя формируют НЧ область

5.) Пересечение асимптот ЛАХ с вертикальной прямой  возможно при наклонах «-20дБ/дек» и «-40дб/дек».

Рассмотрим эти случаи отдельно.

Случай 1. Пересечение  вертикальной прямой  с первой асимптотой ВЧ области ЛАХ при наклоне «-20дБ/дек».

ПФ ВЧ области запишем в виде:

 ,                                               (1.12.2)

где ω_ов – базовая частота. Определяется как частота пересечения первой асимптоты ВЧ области с осью частот (рисунок 1.12.1).

 

Рисунок 1.12.1

 

 Рассмотрим вначале простой случай: (1.12.3)

ЛАХ ВЧ области имеет вид (рисунок 1.12.2)

Рисунок 1.12.2 

 

Построим ЛАХ импульсной системы, соответствующей выражению (1.12.3). Разложим выражение (1.12.3) на простые слагаемые:

                                                      (1.12.4)

Затем используя таблицу Z-преобразований, запишем

                                              (1.12.5)

Используя W-преобразование , получим:

                                                              (1.12.6)

 - эквивалентная постоянная времени, гиперболический котангенс определяется выражением: , при , , .

ПФ импульсной системы в ВЧ области принимает вид:

.                                                                   (1.12.7)                                                                                                                           

Тогда импульсной системе соответствует ЛАХ , а непрерывной -  (рисунок 1.12.3).

Рисунок 1.12.3  

 

Для ПФ (1.12.6) выражения ЛЧХ имеют вид:

                      (1.12.8)

                   (1.12.9)

 

Рисунок 1.12.4

 

 

 В более сложном случае (1.12.2), ПФ ВЧ области представляют в приближенном виде:

,                                                                     (1.12.10)

наибольшая постоянная времени,

 

                   (1.12.11)                 

Если , то можно ограничиться первым членом разложения ПФ звена запаздывания в ряд Тейлора:

 .                                           

ПФ дополнительного множителя имеет вид

                                                                  (1.12.12)

При τ₀ =0, , при τ₀ = Т,                

Применим w-преобразование к выражению (1.12.12).

                                                                      (1.2.13)                           

ПФ ВЧ области импульсной системы в этом случае имеет вид:

(1.12.14)

Для ПФ (1.12.14) выражения ЛЧХ имеют вид:

                           (1.12.15)

                         (1.12.16)

Стыковку ЛАХ НЧ и ВЧ областей проводят на вертикальной прямой  (рис.1.12.5).

Рисунок 1.12.5

 

Случай 2. Пересечение с вертикальной прямой  первой асимптоты ВЧ области ЛАХ при наклоне «-40дБ/дек».

ПФ ВЧ области запишем в виде:

,                                                (1.12.17)

Рассмотрим вначале простой случай:                     (1.12.18)

                                                               (1.12.19)

                                                           (1.12.20)

ЛАХ ВЧ области импульсной системы:

 

 

Рисунок 1.12.6  

 

Для ПФ (1.12.20) выражения ЛЧХ имеют вид:

                           (1.12.21)

                                      (1.12.22)

В более сложном случае, ПФ ВЧ области представляют в виде:

                                                                                (1.12.23)

    (1.12.24)

Для ПФ (1.12.24) выражения ЛЧХ имеют вид:

(1.12.25)

                                                (1.12.26)

ЛАХ ВЧ области импульсной системы:

 

 

Рисунок 1.12.7