Расчет цепей с индуктивно связанными элементами

Электрические цепи могут содержать катушки, индуктивно связанные друг с другом. В том случае, когда изменение тока в одной из катушек цепи приводит к появлению ЭДС в другой катушке цепи, говорят, что эти катушки индуктивно связаны, а возникающую ЭДС называют ЭДС взаимной индукции. Степень индуктивной связи катушек характеризуется коэффициентом связи:

,

где М – взаимная индуктивность катушек (размерность – Гн);
и -собственные индуктивности этих катушек.

Следует отметить, что коэффициент связи всегда к <1.

Пусть имеем две индуктивно связанные катушки с ферромагнитным сердечником (рис.2.25). На рис. 2.25 схематично показана картина магнитного поля при наличии тока i ₁ в первой катушке. Витки первой катушки сцеплены с магнитным потоком самоиндукции Ф₁₁, а витки второй катушки – с магнитным потоком взаимной индукции Ф₂₁, который отличается от Ф₁₁ (Ф₂₁< Ф₁₁) за счет наличия потоков рассеяния, сцепленных только с первой катушкой.

 

 

Рис. 2.25

 

Собственная и взаимная индуктивности равны:

 

; .

Если теперь наоборот пропустить ток i₂ по второй катушке, то соответственно получим:

; .

 

Взаимоиндуктивности катушек равны M ₁₂ =M ₂₁ =M.

Рассмотрим цепь переменного тока (рис. 2.26), в которую последовательно включены две катушки индуктивности и , индуктивно связанные друг с другом, и активное сопротивление R.

 

 

Рис.2.26

 

При изменении тока i в цепи в катушках индуцируются ЭДС само- и взаимоиндукции. При этом ЭДС взаимной индукции должна по закону Ленца иметь такое направление, чтобы препятствовать изменению потока взаимной индукции. Тогда, если в цепи протекает гармонически изменяющийся ток , то в первой и второй катушках индуцируются ЭДС самоиндукции и взаимной индукции:

 

;

 

.

 

Катушки можно включить так, что ЭДС самоиндукции будет суммироваться с ЭДС взаимоиндукции; при переключении одной из катушек ЭДС взаимоиндукции будет вычитаться из ЭДС самоиндукции. Один из зажимов каждой катушки на схеме помечают, например, точкой или звездочкой. Этот знак означает, что при увеличении, например, тока в первой катушке, протекающего от точки, во второй катушке индуцируется ЭДС взаимоиндукции, действующая от другого конца к точке. Различают согласное и встречное включения катушек. При согласном включении токи в катушках одинаково ориентированы по отношению к их одноименным зажимам. При этом ЭДС само- и взаимоиндукции складываются – случай, показанный на рис. 2.26. При встречном включении катушек токи ориентированы относительно одноименных зажимов различно. В этом случае ЭДС само- и взаимоиндукции вычитаются. Таким образом, тип включения катушек (согласное или встречное) определяется совместно со способом намотки катушек и направлением токов в них.

Перейдем к комплексной форме записи уравнений:

;

,

где - сопротивление взаимоиндукции (Ом).

Ток в цепи при согласном включении катушек:

.

Ток в цепи при встречном включении катушек:

.

В качестве примера расчета цепей с индуктивно связанными элементами составим уравнения по методу контурных токов для цепи (рис. 2.27):

;

.

Рис.2.27

Воздушный (линейный) трансформатор. Одним из важнейших элементов электрических цепей является трансформатор, служащий для преобразования величин переменных токов и напряжений и электрического разделения цепей. Передача энергии из одной цепи в другую производится в трансформаторе благодаря явлению взаимоиндукции.

В простейшем случае трансформатор состоит из двух гальванически несвязанных и неподвижных катушек без ферромагнитного сердечника. Такой трансформатор называется воздушным или линейным. Трансформаторы с ферромагнитным сердечником являются нелинейными элементами, т.е. описываются системой нелинейных уравнений и рассматриваются во второй части комплекса.

На рис. 2.28 представлена схема замещения трансформатора, первичная обмотка которого включена на переменное напряжение U ₁, а от вторичной обмотки получает питание приемник с сопротивлением .

 

 

Рис. 2.28

 

В первичной цепи под действием напряжения источника возникает переменный ток, во вторичной цепи за счет магнитной связи катушек индуцируется ЭДС взаимоиндукции, вызывающая протекание тока в нагрузке.

По второму закону Кирхгофа для первичной и вторичной цепей трансформатора можно записать уравнения в комплексной форме:

;

, (2.48)

где - напряжение нагрузки.

Решим уравнения (2.48) относительно , предварительно подставив и обозначив и :

 

,

 

где ; - вносимые активное и реактивное сопротивления.

Вносимые сопротивления представляют собой такие сопротивления, которые следует включить последовательно с сопротивлениями первичной обмотки, чтобы учесть влияние нагрузки вторичной цепи трансформатора на ток в его первичной цепи.