Параллельное соединение индуктивно- связанных элементов. Согласное включение.

Согласно законам Кирхгофа:

В комплексной форме:

Решение системы уравнений:

 

 

- входное комплексное сопротивление при согласном включении индуктивно-связанных катушек.

Если , тогда

2. Встречное включение катушек. Одноименные зажимы присоединены к разным узлам.

Согласно законам Кирхгофа имеем:

 

Решение системы уравнений, позволяет определить токи:

 

- входное комплексное сопротивление при встречном включении индуктивно-связанных катушек.

Оба случая можно объединить:

 

, знак плюс соответствует встречному включению катушек, знак «минус» соответствует согласному включению катушек.

Анализ электрических цепей с индуктивно- связанными элементами. При расчете электрических цепей с индуктивно-связанными элементами обычно используют законы Кирхгофа и метод контурных токов. Остальные методы не пригодны. Не пригодны преобразования треугольника в звезду.

Рассмотрим применение законов Кирхгофа.

 

Направление обхода контура выберем по часовой стрелке. Запишем уравнения для мгновенных значений:

Слагаемое входит в уравнение со знаком плюс, так как ток и ток входят в одноименные зажимы магнитносвязанных катушек, т.е. имеет место согласное включение. Падение напряжения на первой катушке

В комплексной форме:

Имеем систему уравнений из трех уравнений с тремя неизвестными. Решение которой, позволяет найти токи в ветвях электрической цепи.

 

 

Основная литература: 1[73 - 76]; 2[71 – 74, 76 - 82]; 1 [105 – 112, 82 - 88, 113-119]; 2[81 -86, 92 - 100]; 2 [105 – 122, 127 - 129].

Дополнительная литература: 9[119 -123, 127 - 128]; 9 [133 -144]; 9 [175 - 189]; 9 [189 - 202].

Контрольные вопросы:

1. Соотношения между амплитудами и начальными фазами синусоидальных токов и напряжений при последовательном соединении R, L, C элементов.

2. Векторная диаграмма при емкостном, индуктивном характере цепи.

3. Комплексное сопротивление цепи. Полное сопротивление. Реактивное сопротивление.

4. Комплексная проводимость при параллельном соединении R, L, C элементов.

5. Цель введения метода комплексных амплитуд (символического) метода.

6. Особенности методов расчета цепей синусоидального тока.

7. Последовательность расчета методом комплексных амплитуд.

8. Активная и реактивная мощности в цепи синусоидального тока.

9. Комплексная, полная мощности в цепи синусоидального тока. Треугольник мощностей.

10. Коэффициент мощности и пути его повышения.

11. Условия возникновения резонанса напряжений.

11. Векторная диаграмма цепи в момент резонанса.

12. Добротность контура. Применение явления резонанса.

13. Условия возникновения резонанса тока.

14. Полоса пропускания контура и ее связь с добротностью контура.

15. Входное эквивалентное комплексное сопротивление при последовательном включении индуктивно- связанных элементов.

15. Входное эквивалентное комплексное сопротивление при параллельном включении индуктивно- связанных элементов.

16. Векторная диаграмма.

17. Применение законов Кирхгофа для расчета электрических цепей с индуктивно-связанными элементами.

18. Применение метода контурных токов для расчета электрических цепей с индуктивно- связанными элементами.

Лекция 8. Трехфазные цепи. Многофазные цепи. Понятие о трехфазных источниках э.д.с. и тока. Основные положения и соотношения. Методы анализа трехфазных цепей в симметричных несимметричных режимах. Измерение мощности в трехфазных цепях.

 

Трехфазная цепь является совокупностью трех электрических цепей, в которых действуют синусоидальные ЭДС одинаковой частоты, сдвинутые относительно друг друга по фазе на 120^o, создаваемые общим источником. Участок трехфазной системы, по которому протекает одинаковый ток, называется фазой.

Трехфазная цепь состоит из трехфазного генератора, соединительных проводов и приемников или нагрузки, которые могут быть однофазными или трехфазными.

Трехфазный генератор представляет собой синхронную машину. На статоре генератора размещена обмотка, состоящая из трех частей или фаз, пространственно смещенных относительно друг друга на 120^o. В фазах генератора индуктируется симметричная трехфазная система ЭДС, в которой электродвижущие силы одинаковы по амплитуде и различаются по фазе на 120^o. Запишем мгновенные значения и комплексы действующих значений ЭДС.

 

 

 

Сумма электродвижущих сил симметричной трехфазной системы в любой момент времени равна нулю.

Соответственно

На схемах трехфазных цепей начала фаз обозначают первыми буквами латинского алфавита (А, В, С), а концы - последними буквами (X, Y, Z). Направления ЭДС указывают от конца фазы обмотки генератора к ее началу.
Каждая фаза нагрузки соединяется с фазой генератора двумя проводами: прямым и обратным. Получается несвязанная трехфазная система, в которой имеется шесть соединительных проводов. Чтобы уменьшить количество соединительных проводов, используют трехфазные цепи, соединенные звездой или треугольником.
Соединение в звезду.

Если концы всех фаз генератора соединить в общий узел, а начала фаз соединить с нагрузкой, образующей трехлучевую звезду сопротивлений, получится трехфазная цепь, соединенная звездой. При этом три обратных провода сливаются в один, называемый нулевым или нейтральным. Трехфазная цепь, соединенная звездой, изображена на рис. 8. 1.

Рис. 8.1

Провода, идущие от источника к нагрузке называют линейными проводами, провод, соединяющий нейтральные точки источника N_и приемника N' называют нейтральным (нулевым) проводом.
Напряжения между началами фаз или между линейными проводами называют линейными напряжениями. Напряжения между началом и концом фазы или между линейным и нейтральным проводами называются фазными напряжениями.
Токи в фазах приемника или источника называют фазными токами, токи в линейных проводах - линейными токами. Так как линейные провода соединены последовательно с фазами источника и приемника, линейные токи при соединении звездой являются одновременно фазными токами.

I_л = I_ф

 

Z_N - сопротивление нейтрального провода.

Линейные напряжения равны геометрическим разностям соответствующих фазных напряжений

(8.1)

На рис. 8.2 изображена векторная диаграмма фазных и линейных напряжений симметричного источника.

Рис. 8.2

Из векторной диаграммы видно, что

При симметричной системе ЭДС источника линейное напряжение больше фазного
в √3 раз.

U_л = √3 U_ф

 

Соединение в треугольник.

Если конец каждой фазы обмотки генератора соединить с началом следующей фазы, образуется соединение в треугольник. К точкам соединений обмоток подключают три линейных провода, ведущие к нагрузке.
На рис. 8.3 изображена трехфазная цепь, соединенная треугольником. Как видно
из рис. 8.3, в трехфазной цепи, соединенной треугольником, фазные и линейные напряжения одинаковы.

U_л = U_ф

I_A, I_B, I_C - линейные токи;

I_ab, I_bc, I_ca- фазные токи.

Линейные и фазные токи нагрузки связаны между собой первым законом Кирхгофа для узлов а, b, с.

 

Рис. 8.3

Линейный ток равен геометрической разности соответствующих фазных токов.
На рис. 8.4 изображена векторная диаграмма трехфазной цепи, соединенной треугольником при симметричной нагрузке. Нагрузка является симметричной, если сопротивления фаз одинаковы. Векторы фазных токов совпадают по направлению с векторами соответствующих фазных напряжений, так как нагрузка состоит из активных сопротивлений.

Рис. 8.4

Из векторной диаграммы видно, что

,

I_л = √3 I_ф при симметричной нагрузке.

Трехфазные цепи, соединенные звездой, получили большее распространение, чем трехфазные цепи, соединенные треугольником. Это объясняется тем, что, во-первых, в цепи, соединенной звездой, можно получить два напряжения: линейное и фазное. Во-вторых, если фазы обмотки электрической машины, соединенной треугольником, находятся в неодинаковых условиях, в обмотке появляются дополнительные токи, нагружающие ее. Такие токи отсутствуют в фазах электрической машины, соединенных по схеме "звезда". Поэтому на практике избегают соединять обмотки трехфазных электрических машин в треугольник.

 

Расчет трехфазной цепи, соединенной звездой

Трехфазную цепь, соединенную звездой, удобнее всего рассчитать методом двух узлов.
На рис. 8.5 изображена трехфазная цепь при соединении звездой. В общем случае сопротивления фаз нагрузки неодинаковы (Z_A ≠ Z_B ≠ Z_C)

 

 

 

 

Рис.8.5

 

Нейтральный провод имеет конечное сопротивление Z_N.
В схеме между нейтральными точками источника и нагрузки возникает узловое напряжение или напряжение смещения нейтрали.
Это напряжение определяется по формуле (8.2).

(8.2)

Фазные токи определяются по формулам (в соответствии с законом Ома для активной ветви):

(8.3)

 

Ток в нейтральном проводе

(8.4)

 

 

Частные случаи.

1. Симметричная нагрузка. Сопротивления фаз нагрузки одинаковы и равны некоторому активному сопротивлению Z_A = Z_B = Z_C = R.
Узловое напряжение

 

,

потому что трехфазная система ЭДС симметрична,

 

.

Напряжения фаз нагрузки и генератора одинаковы:

 

 

Фазные токи одинаковы по величине и совпадают по фазе со своими фазными напряжениями. Ток в нейтральном проводе отсутствует

В трехфазной системе, соединенной звездой, при симметричной нагрузке нейтральный провод не нужен.

На рис. 8.6 изображена векторная диаграмма трехфазной цепи для симметричной нагрузки.

2. Нагрузка несимметричная, R_A< R_B = R_C, но сопротивление нейтрального провода равно нулю: Z_N = 0. Напряжение смещения нейтрали

 

 

рис. 8.6

Фазные напряжения нагрузки и генератора одинаковы

Фазные токи определяются по формулам

Вектор тока в нейтральном проводе равен геометрической сумме векторов фазных токов.

 

 

Рис. 8.7

На рис. 8.7 приведена векторная диаграмма трехфазной цепи, соединенной звездой, с нейтральным проводом, имеющим нулевое сопротивление, нагрузкой которой являются неодинаковые по величине активные сопротивления.

3. Нагрузка несимметричная, R_A< R_B = R_C, нейтральный провод отсутствует,

В схеме появляется напряжение смещения нейтрали, вычисляемое по формуле:

 

Система фазных напряжений генератора остается симметричной. Это объясняется тем, что источник трехфазных ЭДС имеет практически бесконечно большую мощность. Несимметрия нагрузки не влияет на систему напряжений генератора.
Из-за напряжения смещения нейтрали фазные напряжения нагрузки становятся неодинаковыми.
Фазные напряжения генератора и нагрузки отличаются друг от друга. При отсутствии нейтрального провода геометрическая сумма фазных токов равна нулю.

 

 

 

Рис. 8.8

 

 

На рис. 8.8 изображена векторная диаграмма трехфазной цепи с несимметричной нагрузкой и оборванным нейтральным проводом. Векторы фазных токов совпадают по направлению с векторами соответствующих фазных напряжений нагрузки. Нейтральный провод с нулевым сопротивлением в схеме с несимметричной нагрузкой выравнивает несимметрию фазных напряжений нагрузки, т.е. с включением данного нейтрального провода фазные напряжения нагрузки становятся одинаковыми.

 

Мощность в трехфазных цепях.

Трехфазная цепь является обычной цепью синусоидального тока с несколькими источниками.
Активная мощность трехфазной цепи равна сумме активных мощностей фаз

 

(8.5)

Формула (8.5) используется для расчета активной мощности в трехфазной цепи при несимметричной нагрузке.
При симметричной нагрузке:

 

 

При соединении в треугольник симметричной нагрузки

При соединении в звезду

.

В обоих случаях

.

 

Контрольные вопросы:

 

1. Что представляет собой трехфазная цепь?
2. Составные части трехфазной цепи.

3. Запишите мгновенные значения и комплексы действующих значений ЭДС в трехфазной цепи.

4. В чем отличие симметричной и несимметричной трехфазных систем?

5. Каковы особенности трехфазной цепи при соединении концов всех фаз генератора в звезду?

6. Каковы особенности трехфазной цепи при соединении фаз генератора в треугольник?

7. Каковы особенности трехфазной цепи при соединении потребителей энергии в звезду?

8. Роль нейтрального провода.

9. Каковы особенности трехфазной цепи при соединении потребителей энергии в треугольник?

10. Порядок расчета трехфазной цепи, соединенной звездой при симметричной и несимметричной нагрузках.

11. Порядок расчета трехфазной цепи, соединенной треугольником при симметричной и несимметричной нагрузках.

12. Как определяется мощность трехфазной цепи.

Лекция 9. Разложение периодической негармонической функции в ряд Фурье. Комплексная форма ряда Фурье. Спектры периодических негармонических сигналов. Расчет электрических цепей с периодическими негармоническими воздействиями.

Задача анализа ЭЦ с несинусодальными периодическими э.д.с. упрощается, если эту э.д.с. разложить в тригонометрический ряд Фурье:

где: - частота основной гармоники , – номер гармоники – основная гармоника;

– постоянная составляющая, нулевая гармоника;

– коэффициенты ряда (амплитуды гармоник);

– период несинусоидальной периодической функции.

Среднее значение функции за период представляет собой постоянную составляющую ряда Фурье:

- постоянная составляющая,

– коэффициенты косинусной составляющей ряда Фурье,

– коэффициенты синусной составляющей ряда Фурье.

Если ввести независимую переменную , то ряд Фурье можно представить в следующей форме:

,

, ; ,

_– начальная фаза к-ой гармоники, – амплитуда к-ой гармоники, находится с учетом знака и .

Ряд Фурье теоретически содержит бесконечное число членов, но на практике обычно необходимо ограничиться конечным числом членов ряда Фурье. Максимальную амплитуду имеет основная гармоника, с увеличением номера гармоники их амплитуда уменьшается. Ряд Фурье в комплексной форме:

, где - комплексный коэфициент ряда Фурье.

- коэффициенты ряда Фурье.

 

- комплексный частотный спектр . Составляющие - называется амплитудным спектром, а - фазовым спектром. Изображают графически в виде пропорциональных их значениям отрезков вертикальных линий в точках . Периодические функции времени имеют дискретный или линейчатый спектр.

Основные величины, характеризующие периодическую несинусоидальную функцию.

Периодически изменяющаяся неинусоидальная величина характеризуется тремя величинами:

1) максимальным значением за период;

2) действующим значением (среднеквадратичным значением за период);

3) средним по модулю значением.

Если несинусоидальная периодический изменяющаяся величина разложена в тригонометрический ряд Фурье

,

то действующее значение:

Действующее значение периодической несиусоидальной функции равно корню квадратному из суммы квадратов действующих значений гармоник и квадрата постоянной слагающей.

Среднее значение по модулю определяется:

Иногда для характеристики формы кривых токов (напряжений) пользуются следующими коэффициентами:

1. коэффициент формы – определяется как отношение действующего значения функции к среднему по модулю значению:

,

2. коэффициент амплитуды – отношение максимального значения функции к её действующему значению:

,

3. коэффициент искажения – отношение действующего значения основной гармоники к действующему значению

.

Анализ электрических цепей с несинусоидальными периодическими э.д.с. и токами.

Если в линейной цепи действует источник несинусоидальной периодической э.д.с. или тока, то расчет такой цепи необходимо производить методом наложения в следующем порядке:

1. Заданную несинусоидальную периодическую э.д.с. раскладывают в ряд Фурье:

Источник несинусоидальной э.д.с. и тока можно рассматривать как последовательное соединение источника постоянного напряжения и источников синусоидального напряжения с различными частотами:

 

2. Применяя принцип наложения для каждой гармоники э.д.с. в отдельности, производим расчет токов и напряжений любой ветви. Для этого каждую гармонику э.д.с. записывают в комплексной форме:

Для каждой гармоники э.д.с. цепь следует представить в виде эквивалентной схемы. Расчет токов и напряжений для каждой гармоники проводят любым методом. В каждой схеме токи и напряжения имеют ту же частоту что и активные элементы (источник э.д.с. и тока).

3. Мгновенное значение негармоничного тока получают, суммируя мгновенные значения всех гармонических составляющих токов

 

 

При решении задачи необходимо учитывать, что для различных частот индуктивные и емкостные сопротивления неодинаковы. Индуктивное сопротивление для -й гармоники в раз больше, а емкостное в раз меньше, чем для первой гармоники:

Мощность в цепи с периодическими несинусоидальными токами

Активная мощность периодического тока произвольной формы определяется как средняя мощность за период: .

Выразим мгновенные значения напряжения и тока в виде тригонометрического ряда и с учетом свойства ортогональности тригонометрических функций получим:

Активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей всех гармоник. Полная мощность - определяется как произведение действующих значений тока и напряжения:

.

Реактивная мощность определяется как сумма реактивных мощностей всех гармоник:

.

Для несинусоидальных токов в отличие от синусоидальных:

.

Мощность искажения:

Если сопротивление цепи активное, то кривые напряжения и тока подобны, при этом

Основная литература: 1 [131 – 143]; 2 [200 – 207, 211 - 218].

Дополнительная литература: 9 [297 - 323].

Контрольные вопросы:

1. Разложение в ряд Фурье четной периодической функции.

2. Основные параметры, характеризующие несинусоидальную периодическую функцию.

3. Порядок расчета электрических цепей с несинусоидальными напряжениями и токами.

4. Активная, реактивная и полная мощности.

5. Мощность искажения.

Лекция 10. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Понятие о переходных процессах. Сущность переходного процесса. Классический метод расчета переходных процессов. Переходные процессы в цепях первого порядка. Переходные процессы в цепях второго порядка. Переходные процессы в сложных разветвленных цепях.

Переходным процессом называется процесс перехода от одного энергетического состояния электрической цепи к другому, чем-либо отличающегося от предыдущего. Переходные процессы возникают под действием коммутации. В основе методов расчета переходных процессов лежат законы коммутации.

Первый закон коммутации:ток в индуктивности в начальный момент непосредственно после коммутации равен току в индуктивности непосредственно до коммутации и плавно изменяется с этого момента , т.е. ток в индуктивности скачком не изменяется.

Второй закон коммутации: напряжение на конденсаторе в начальный момент непосредственно после коммутации равен напряжению на конденсаторе непосредственно до коммутации и плавно изменяется с этого момента: , т.е. напряжение на конденсаторе скачком не изменяется.

Переходной процесс в цепях первого порядка. Свободный, принужденный процессы.

Включение цепи к источнику постоянной э.д.с.

Пусть цепь, состоящая из последовательного соединения , в момент подключается к источнику постоянной э.д.с. . Уравнения равновесия цепи составляется после коммутации. Уравнение имеет следующий вид:

Уравнение относится к линейным неоднородным дифференциальным уравнениям первого порядка, решение которого дает ток переходного процесса. Решение ищется в виде:

- общее решение однородного дифференциального уравнения: - частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Общее решение однородного дифференциального уравнения называется свободной составляющей тока - , а частное решение неоднородного дифференциального уравнения называется принужденной составляющей тока - . С учетом этого: .

Свободная составляющая тока - .

где - постоянная времени цепи, определяется только параметрами цепи.

A – постоянная интегрирования.

Принужденная составляющая тока, обусловлена действием источника постоянной э.д.с.:

Ток переходного процесса определяется следующим соотношением:

Для нахождения постоянной интегрирования А необходимо учесть начальные условия для тока и первый закон коммутации:

Тогда можно записать закон изменения тока в цепи:

Напряжение на индуктивности и резисторе:

Анализ приведенных графиков показывает, что ток в цепи не устанавливается мгновенно и что требуется время до наступления установившегося значения . На практике принято считать, переходной процесс законченным при , при этом ток достигает 95% от своего установившегося значения, за время ток достигает 99% своего установившегося значения.

Включение цепи к источнику постоянной э.д.с. Пусть в момент времени , цепь из последовательно соединенных элементов подключается к источнику постоянной э.д.с. Уравнение равновесия необходимо составить относительно .

Решение ищется в виде .

Свободная составляющая: , где - постоянная времени цепи, А – постоянная интегрирования.

Принужденная составляющая С учетом этого: .

Нахождение постоянной интегрирования А. Постоянная интегрирования находится из начальных условий с учетом второго закона коммутации.

С учетом этого, напряжение не конденсаторе:

Включение цепи RLC к источнику постоянной э.д.с.

Переходной процесс в цепях второго порядка. Методика расчета переходных процессов в цепях выше первого порядка.

При наличии двух независимых накопителей энергии переходные процессы в них описываются уравнениями второго порядка. Простейший пример такой цепи – последовательное соединение RLC.

Уравнение равновесия цепи по второму закону Кирхгофа после коммутации для

 

 

Имеем неоднородное дифференциальное уравнение второй степени относительно , его решение ищется в виде суммы: Свободная составляющая определяется решением однородного дифференциального уравнения второго порядка. Характеристическое уравнение имеет следующий вид:

Введем следующие обозначения: - коэффициент затухание контура,

резонансная частота контура, частота собственных колебаний контура. С учетом этих обозначений имеем:

От вида корней и зависит характер свободного процесса. Возможны три случая:

1. корни характеристического уравнения вещественные и отрицательные: , где

- характеристическое сопротивление контура,

- добротность контура, - процесс апериодический.

Свободный процесс в цепи называется апериодический, свободная составляющая и ищется в следующем виде:

 

2. Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные:

 

Свободный процесс в цепи называется колебательным и свободная составляющая ищется в виде:

3. Корни характеристического уравнения вещественные и равные: , .

Свободный процесс в цепи называется критическим, свободная составляющая ищется в виде:

Апериодический процесс в RLC- цепи. Корни характеристического уравнения вещественные и отрицательные:

Постоянные интегрирования и Постоянные интегрирования находятся из начальных условий с учетом законов коммутации.

Рассмотрим ненулевые начальные условия:

 

Свободная составляющая:

Напряжение и ток переходного процесса на конденсаторе:

.

Если начальные условия нулевые, то

Колебательный процесс в RLC цепи.Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные:

 

 

C учетом этих преобразований имеем:

 

 

 

3. Критический режим

 

постоянные интегрирования.

Напряжение на конденсаторе:

Ток:

Основная литература: 1[ 143-163 ], 2[234-256].

Дополнительная литература: 9 [327 – 331, 334 -336, 340 – 342, 344 - 359].

Контрольные вопросы:

1. Законы коммутации.

2. Физический и математический смысл свободной составляющей.

3. Физический и математический смысл принужденной составляющей.

4. Постоянная времени цепи.

5. Как определить порядок цепи?

6. Какой процесс называется колебательным?