Лекция 7. Резонансные явления в линейных электрических цепях. Частотные характеристики пассивных двухполюсников. Практическое значение резонанса в электрических цепях. Явление взаимной индукции

 

Рассмотрим изменение тока и напряжений на элементах цепи при синусоидальном входном воздействии

 

Согласно, второго закона Кирхгофа

Запишем это уравнение в комплексной форме:

 

 

Мгновенное значение тока:

Напряжение на элементах:

Токи и напряжения на различных участках электрической цепи синусоидального тока по фазе не совпадают. Наглядное представление о фазовом расположении различных векторов дает векторная диаграмма. На векторной диаграмме закон Кирхгофа выполняется в векторной форме:

Различают три режима в цепи, в зависимости от параметров цепи индуктивный, емкостный, активный.

Рассмотрим параллельное соединение R, L,C элементов при синусоидальном воздействии

Согласно, первому закону Кирхгофа ток в неразветвленной части цепи

Напряжение на всех элементах

Перейдем к уравнению в комплексной форме:

где:

Токи в элементах:

мгновенные значения токов:

.

В цепи в зависимости от параметров различают индуктивный характер, емкостный характер,

активный характер.

Рассмотрим произвольный двухполюсник при действии источника синусоидального напряжения:

Мгновенная мощность:

мгновенная мощность, поступающая в цепь, состоит из двух слагаемых – постоянной составляющей и синусоидальной составляющей, имеющую удвоенную частоту по сравнению с частотой напряжения и тока.

Среднее значение мощности за период называется активной мощностью:

Амплитуда синусной составляющей мгновенной мощности численно равна полной мощности:

называется коэффициентом мощности и является важной характеристикой электрических машин и линий передач. Чем выше тем меньше потерь в линии и выше степень использования электрических машин и аппаратов. Максимальное значение т.е. цепь носит чисто активный характер и сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю.

Реактивная мощность Полную мощность рассматривают как модуль комплексной мощности:

- ток сопряженный току , отличается противоположным знаком перед мнимой частью и перед аргументом.

В электрической цепи содержащей источники гармонических э.д.с. и токов для мгновенных мощностей выполняется соотношение, т.е. справедлива теорема Теледжена: сумма мгновенных мощностей всех ветвей электрической цепи равна нулю:

В комплексной форме можно записать - сумма комплексных мощностей потребляемых всеми ветвями электрической цепи равна нулю.

 

- баланс мощностей в комплексной форме.

- сумма комплексных мощностей, генерируемых источником э.д.с. и тока.

- сумма комплексных мощностей, потребляемая потребителями.

для выполнения этого условия необходимо выполнения двух условий:

,

т.е. активная мощность, рассеиваемая в сопротивлениях равна активной мощности источников энергии, реактивная мощность в реактивных элементах равна реактивной мощности источников энергии. Реактивная мощность индуктивностей учитывается со знаком плюс, а емкостей со знаком минус. Активная потребляемая мощность измеряется ваттметром.

Методы анализа электрических цепей синусоидального тока.

Все методы расчета цепей постоянного тока получены на основе законов Кирхгофа. Если повторить все рассуждения и выводы, взяв за основу уравнения Кирхгофа в комплексной форме, то для цепей синусоидального тока можно обосновать все методы, которые получены для цепей постоянного тока.

С учетом этого, все методы расчета электрических цепей постоянного тока (метод эквивалентного преобразования электрических цепей, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод наложения, метод активного двухполюсника), эквивалентные преобразования электрических цепей справедливы и для цепей синусоидального тока. Соответствующие соотношения записываются в комплексной форме, т.е. рассматривается символический метод расчета. Несмотря на общность методов расчета цепей синусоидального и постоянного токов, расчеты цепей синусоидального тока значительно сложнее.

Например, написать уравнения по методу контурных токов для приведенной схемы электрической цепи.

Составим уравнения по методу контурных токов, направив их по часовой стрелке:

 

 

Топографическая диаграмма. Совокупность точек на комплексной плоскости, изображающих собой комплексные потенциалы одноименных точек электрической схемы, называется топографической диаграммой. При построении топографической диаграммы потенциал одной из точек схемы принять равным нулю. На диаграмме эта точка помещается в начало координат. Тогда положение остальных точек схемы на диаграмме будет вполне определенным. Рассмотрим построение потенциальной диаграммы. Построить потенциальную диаграмму для цепи, изображенной на рисунке, если

Примем потенциал точки а равным нулю

Потенциалы точек a,b,c,d,e отложены на комплексной плоскости. Топографическая диаграмма показана на рисунке.

Последовательное соединение элементов называется последовательным колебательным контуром, в нем возможен резонанс напряжения. Резонансомнапряжения называется такой режим в колебательном контуре, при котором частота источника э.д.с. равна частоте собственных колебаний контура .

Входное напряжение

При резонансе напряжения, входное сопротивление становится чисто резистивным, реактивное входное сопротивление равно нулю ,

Резонансная частота контура определяется из соотношения , т.е. . Так как Полное сопротивление минимально, тогда ток в цепи и активная мощность в режиме резонанса максимальны

Напряжения на реактивных элементах равны по величине и противоположны по направлению. Реактивные мощности тоже равны

- характеристическое или волновое сопротивление контура.

Отношение напряжений на реактивных элементах к приложенному напряжению, или отношение реактивных мощностей к активной мощности в режиме резонанса называется добротностью контура

- добротность контура.

Добротность контура указывает во сколько раз напряжение на индуктивности и емкости при резонансе больше, чем напряжение приложенное к цепи. Векторная диаграмма в момент резонанса.

Параллельное соединение элементов называется параллельным колебательным контуром, в нем возможен резонанс токов. Резонанс токов наступает, когда входная проводимость реактивная равна нулю.

Напряжение на зажимах цепи

Ток в неразветвленной части: где - входная комплексная проводимость.

, где - входная реактивная проводимость.

При резонансе токов - резонансная частота контура.

При резонансе ток через индуктивный элемент равен по модулю току через емкостной элемент и находится в противофазе и могут превышать входной ток.

Добротность параллельного контура, показывает во сколько раз ток в реактивных элементах при резонансе больше тока на входе контура.

- добротность параллельного контура, показывает во сколько раз ток в реактивных элементах при резонансе больше тока на входе контура.

Частотные характеристики параллельного колебательного контура.

Частотные характеристики резонансных контуров.

Зависимость параметров цепи от частоты называются частотными характеристиками. Зависимость действующих или амплитудных значений тока и напряжений от частоты называется резонансными кривыми.

- частотные характеристики цепи.

Зависимость тока, напряжения на катушке, напряжения на конденсаторе от частоты:

- резонансные кривые.

 

Для удобства сравнения резонансных кривых друг с другом будем рассматривать зависимости: , где ток при резонансе, - резонансная частота.

 

 

 

Чем больше , тем острее резонансная кривая, тем лучше избирательные свойства цепи.

Электрические цепи с взаимной индукцией. Явление наведения Э.Д.С. в каком-либо контуре при изменении тока в другом называется явлением взаимоиндукции. Наведенная э.д.с. называется э.д.с. взаимной индукции. Когда изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению э.д.с. в другом элементе цепи, говорят, что эти два элемента индуктивно связаны. Магнитную связь обеих ветвей характеризуют коэффициентом взаимной индуктивности

Физическим прообразом может служить устройство из двух близко расположенных катушек или катушек на общем сердечнике. В общем случае любое число катушек имеет индуктивную связь. Степень индуктивной связи характеризуется коэффициентом связи К, где и индуктивность элементов цепи, - взаимная индуктивность.

При протекании тока под действием напряжения в катушке с индуктивностью согласно закону электромагнитной индукции создается магнитный поток самоиндукции , сцепленный с витками первой катушки, и магнитный поток взаимной индукции , сцепленный с витками второй катушки с индуктивностью и в последней наводится э.д.с. взаимной индукции, которая определяется законом электромагнитной индукции:

, где - коэффициент взаимной индукции катушек и .

На разомкнутых выводах второй катушки появляется напряжение взаимной индукции: . Пусть ток протекает по второй катушке под действием напряжения .

Под действием тока , протекающего через , в катушке будет наводится э.д.с. взаимной индукции На разомкнутых выводах первой катушки появляется напряжение взаимной индукции: . По первой катушке течет ток , а по второй течет ток .

Тогда напряжение на выводах катушек будет:

- напряжение самоиндукции первой и второй катушек,

- напряжение взаимной индукции,

- взаимная индуктивность, величина алгебраическая, если , напряжения взаимной индукции складываются с напряжением самоиндукции, если , напряжение взаимной индукции и самоиндукции вычитаются.

Приведенные уравнения можно записать в комплексной форме:

- комплексное сопротивление взаимной индукции,

- сопротивление взаимной индукции.

Если катушки включаются таким образом, что потоки самоиндукции и потоки взаимной индукции складываются, то такое включение катушек называется согласным. Если же потоки самоиндукции и взаимной индукции вычитаются, то такое включение катушек называется встречным. Для удобства изображения электрические цепи с взаимной индуктивностью вводят понятия одноименных зажимов.

Одноименными зажимами принято называть узлы относительно которых одинаково ориентированные токи создают складывающие потоки самоиндукции и взаимной индукции.

Согласное включение Встречное включение

 

Чтобы определить, как ориентированы между собой катушки, необходимо определить как ориентированы токи относительно одноименных зажимов. При одинаковой ориентации относительно одноименных зажимов – согласное включение, при разной ориентации – встречное включение.

Определение взаимоиндукции опытным путем. Первый способ: Проделаем два опыта. Включаем катушки последовательно и согласно. Измерим ток и напряжение на входе и активную мощность цепи. Включим катушки последовательно и встречно. Измерим ток, напряжение. По результатам измерений определим:

Второй способ. Включим первую катушку к источнику синусоидальной э.д.с. через амперметр и измерим , а к зажимам второй подключим вольтметр с большим внутренним сопротивлением и измерим напряжение . Взаимоиндукция:

Согласное включение катушек: ток в элементах направлен одинаково относительно одноименных зажимов.

В комплексной форме:

где - входное комплексное сопротивление всей цепи при согласном включении двух катушек,

- реактивное сопротивление взаимной индукции,

- реактивное сопротивление при согласном включении двух катушек. Ток в цепи:

 

Встречное включение катушек. Ток в элементах направлен противоположно относительно одноименных зажимов.

В комплексной форме:

Ток в цепи:

Можно объединить обе формулы в одну:

где знак плюс соответствует согласному включению катушек, а минус соответствует встречному включению катушек.