Гармонические колебания. Источники грамонических колебаний. Способы представления гармонических колебаний. Векторные диаграммы.

 

Переменный ток, напряжение. Периодические токи и напряжения. Мгновенные значения тока, напряжения и э.д.с. Наибольшее распространение в электрических цепях получили синусоидальные или гармонические токи и напряжения. Ток, изменяющийся по закону синуса называется синусоидальным или гармоническим. Мгновенное значение синусоидального тока, напряжения, э.д.с.:

где:

,, , максимальное значение или амплитуда тока, напряжения, э.д.с.;

, - фаза тока, напряжения, э.д.с.;

, , - начальная фаза тока, напряжения. э.д.с.;

- угловая частота.

Период T, частота f связаны соотношением:

Важными параметрами синусоидальных колебаний являются действующее и среднее значения. Действующим значением тока I называется среднеквадратичное значение электрического тока за период:

Аналогично для напряжения и э.д.с.:

Среднее значение гармонического тока за период равно нулю, поэтому пользуются понятием среднего полупериодного значения, соответствующего только положительной полуволне:

Генератор переменной э.д.с. Устройство и принцип действия.

Синусоидальные колебания (токи, напряжения, э.д.с.) можно представить различными способами: функциями времени в -области (временные диаграммы), векторами, комплексными числами.

Расчет электрических цепей с синусоидальными источниками энергии облегчается, если синусоидально изменяющиеся токи, напряжения, э.д.с. изображать векторами или комплексными числами. Эти представления лежат в основе символического метода расчета электрических цепей – метода комплексных амплитуд. Векторное представление синусоидальных функций основано на том, что каждой синусоидальной функции в соответствии ставится вращающийся вектор на комплексной плоскости. Этот вектор на комплексной плоскости является геометрическим изображением комплексного числа, поэтому синусоидальным функциям соответствуют комплексные числа.

Мгновенному значению напряжения в любой момент времени соответствует комплексное число, которое называется комплексным мгновенным напряжением. Оно изображается вектором на комплексной плоскости, длина которого равна амплитуде и который образует с вещественной осью угол

В начальный момент времени , получается начальное положение вектора, который образует с вещественной осью угол . Такой вектор обозначается и называется комплексной амплитудой. Модулем комплексной амплитуды является вещественная амплитуда синусоидального напряжения, а аргументом – начальная фаза, т.е. комплексная амплитуда включает оба параметра синусоиды: амплитуду и фазу. Это очень важное свойство комплексной амплитуды. Вектор неподвижен. Множитель является оператором вращения.
Из приведенных выражений следует, что напряжение можно рассматривать как проекцию вращающегося вектора на ось мнимых чисел: , а напряжение как проекцию вектора на ось вещественных чисел:

Вместо комплексных амплитуд часто рассматривают комплексные действующие величины:

.

Переход от синусоидальных функций к комплексным действующим значениям позволяет упростить действия с синусоидальными функциями: сложение и вычитание, дифференцирование и интегрирование: - дифференцирование соответствует умножению на , а операция интегрирования соответствует делению на . Комплексное действующее значение можно представить как:

,

показательная форма комплекса напряжения,

- алгебраическая форма комплекса напряжения.

Используя формулу Эйлера, показательная форма преобразована в алгебраическую форму комплекса напряжения. Переход из алгебраической формы в показательную форму:

Умножение вектора на j и на –j.Пустьимеетсявектор . Умножение его на jдает вектор, по модулю равный U, но повернутый по отношению к исходному вектору на угол в сторону опережения (против часовой стрелки). Умножение вектора на –j поворачивает вектор на угол в сторону отставания (по часовой стрелки).

Сложение гармонических функций. При анализе электрических цепей синусоидального тока приходится сталкиваться с суммированием синусоидальных функций времени с одинаковой частотой, но с различными начальными фазами. Непосредственное сложение в t- области связано с большими трудностями тригонометрического характера. Значительно проще задача решается графически при помощи векторной диаграммы или аналитически - путем суммирования комплексных чисел.

Основная литература: 1[66 – 71]; 2[61 - 68].

Дополнительная литература: 9 [106 - 115].

Контрольные вопросы:

1. Параметры синусоидального напряжения и тока?

2. Каковы преимущества синусоидального напряжения?

3. Максимальное, действующее, среднее значение синусоидального напряжения, тока?

4. Как можно представить синусоидальную функцию времени?

5. Показательная форма комплексной амплитуды напряжения.

6. Алгебраическая форма комплексной амплитуды напряжения.

7. Найти графически сумму двух синусоидальных токов. Определить действующее значение и начальную фазу.

Лекция 5. Гармонические колебания в цепи с резистивным, индуктивным и емкостным элементом. Символический метод. Анализ разветвленных цепей при гармонических воздействиях. Пассивный двухполюсник. Схемы замещения духполюсника при заданной частоте. Активная, реактивная и полная мощности. Резистивный элемент в цепи синусоидального тока. Активная мощность.

 

Пусть к резистивному элементу приложено синусоидальное напряжение

Ток в цепи определяется законом Ома:

- амплитуда тока, - начальная фаза тока,

Амплитуда тока определяется законом Ома, сдвиг фаз равен нулю, т.е. ток и напряжение на резистивном элементе совпадают по фазе.

Мгновенная мощность в резистивном элементе:

Мгновенная мощность пульсирует от нулевого значения до максимума с двойной частотой и принимает только положительные значения.

Среднее значение мощности за период называется активной мощностью:

В комплексной форме:

 

Пусть через индуктивный элемент протекает синусоидальный ток: ,тогда напряжение:

- амплитуда напряжения,

-индуктивное сопротивление,

- индуктивная проводимость,

- начальная фаза напряжения. Из этих выражений видно, что амплитуда напряжения и тока связаны законом Ома. На индуктивном элементе напряжение по фазе опережает ток на угол или 90 градусов. Сдвиг фаз между напряжением и током т.е., ток отстает по фазе от напряжения на угол .

Мгновенная мощность: , изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой. Среднее значение мощности за период равно нулю: Реактивная мощность индуктивности. Измеряется вольт ампер реактивных .

Комплексной форме:

Схема замещения реальной катушки представляет собой последовательное соединение активного сопротивления и индуктивности катушки. Схема замещения индуктивной катушки. Комплексное сопротивление. Векторная диаграмма. Активная и реактивная мощности реальной катушки индуктивности.

Идеализированный емкостной элемент в цепи синусоидального тока. Реактивная мощность.

Пусть к обкладкам конденсатора приложено синусоидальное напряжение ,

тогда ток определяется где - амплитуда тока, - емкостное сопротивление, - емкостная проводимость, - начальная фаза тока, - сдвиг фаз между напряжением и током. Ток на конденсаторе опережает по фазе напряжение на угол . Мгновенная мощность в емкостном элементе изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой и амплитудой : .

Активная мощность:

Реактивная мощность:

В комплексной форме:

где - комплексное сопротивление емкостного элемента,

- комплексная проводимость емкостного элемента, - емкостная проводимость

Основная литература: 1[71 - 73], 2[84 - 85].

Контрольные вопросы:

1. Соотношения между амплитудами и начальными фазами синусоидального тока и напряжения на зажимах индуктивного элемента.

2. Реактивная мощность индуктивного элемента.

3. Комплексное сопротивление индуктивного элемента.

4. Схема замещения реальной катушки индуктивного элемента.

5. Комплексное сопротивление емкостного элемента.

6. Векторная диаграмма емкостного элемента.