Лекция 11. Расчет переходных процессов при воздействии э.д.с. произвольной формы.

 

В операторном методе расчета отпадает необходимость определения постоянных интегрирования по начальным условиям, т.к. начальные условия учитываются при составлении алгебраических уравнений для изображений искомых величин. Этим и объясняется широкое применение этого метода.

Преобразование Лапласа. Сущность операторного метода расчета переходных процессов состоит в том, что функцию вещественной переменной , называемую оригиналом, заменяют функцией комплексной переменной , называемой изображением. Комплексное число называется оператором.

Операторное изображение и оригинал связаны с помощью прямого преобразования Лапласа:

Функция должна удовлетворять условиям Дирихле. Практически все функции, встречающиеся в теории электрических цепей, удовлетворяют условиям Дирихле.

Переход от изображения к оригиналу может осуществляться при помощи обратного преобразования Лапласа:

где - вещественная часть оператора .

Таким образом, в результате преобразований получается пара однозначных соответствий:

Для многих функций такие соответствия найдены и сведены в таблицы.

При применении операторного метода система интегро-дифференциальных уравнений относительно оригиналов заменяется системой алгебраических уравнений относительно их изображений . Таким образом, производится алгебраизация исходной системы дифференциальных уравнений. Отсюда вытекает и очевидное преимущество операторного метода.

В результате решения полученной системы алгебраических уравнений находят изображения искомых электрических величин – токов и напряжений переходного процесса. Затем при помощи обратного преобразования или специальных таблиц соответствия оригиналов и их изображений находятся оригиналы , т.е. искомые функции времени.

Рассмотрим наиболее важные свойства преобразования Лапласа, представляющих интерес для анализа электрических цепей.

Применение преобразования Лапласа к решению линейных интегро-дифференциальных уравнений основано на свойстве линейности и преобразованиях операций дифференцирования и интегрирования во временной области. Свойство линейности записывается следующим образом:

где а – постоянная,

 

 

т.е. при умножении оригинала на постоянную величину, изображение также умножается на эту величину, а изображение суммы равно сумме изображений.

Операциям дифференцирования и интегрирования оригиналов (в t-области) соответствуют более простые операции умножения и деления их изображений (в p – области):

 

 

где - начальное значение функции, при

Свойства преобразования Лапласа позволили в теории цепей ввести понятие операторных функций (сопротивления и проводимости) и операторных передаточных функций цепи. При этом оказалось возможным составлять схему замещения электрической цепи в операторной форме, а по ней сразу составлять уравнения для изображений, минуя составление интегро-дифференциальных уравнений для оригиналов.

Операторные уравнения для элементов электрической цепи получают из соответствующих уравнений, связывающих мгновенные значения напряжений и токов.

Закон Ома и Кирхгофа в операторной форме.

Запишем закон Ома для мгновенных значений после коммутации:

Перейдем от закона Ома, записанного для мгновенных значений к его выражению в операторной форме.

закон Ома в операторной форме.

-операторное сопротивление участка цепи,

- представляет собой внутреннюю э.д.с., обусловленную запасом энергии в магнитном поле индуктивности, вследствие протекания тока непосредственно до коммутации,

- представляет собой внутреннюю э.д.с., обусловленную запасом энергии в электрическом поле конденсатора, вследствие наличие напряжения , непосредственно до коммутации.

Если ,

- проводимость в операторной форме.

Законы Кирхгофа: Сумма изображений токов в узле электрической цепи равно нулю.

Для любого замкнутого контура, состоящего из ветвей имеем:

 

 

Закон Кирхгофа при нулевых начальных условиях: .

Эквивалентные операторные схемы замещения для элементов электрической цепи.

Наиболее рациональный путь применения преобразования Лапласа для анализа цепи состоит в непосредственном составлении алгебраических уравнений для изображений по операторной или эквивалентной схеме замещения в частотной области. На этой схеме вместо напряжений и токов указаны их изображения, а элементы представляются операторными схемами замещения.

Рассмотрим операторные схемы замещения элементов электрической цепи.

1. Резистивный элемент.

Резистор с сопротивлением R характеризуется уравнением переходя к изображению, получим операторное уравнение:

где или

Резистор характеризуется операторным сопротивлением R или проводимостью G.

 

2. Индуктивный элемент.

Напряжение и ток в индуктивности связаны соотношением переходя к изображениям, получим операторные уравнения:

, или

где - значение тока в момент времени

Этим выражениям соответствуют операторные эквивалентные схемы индуктивности. Индуктивность характеризуется операторным сопротивлением (проводимостью ), а начальное значение тока учитывается в виде последовательного источника э.д.с. или параллельного источника тока

Начальный ток в индуктивности учитывается в виде дополнительных источников: источника напряжения , соединенного последовательно с индуктивным элементом и имеющую полярность, совпадающую с направлением начального тока и источника тока , соединенного параллельно индуктивной проводимости и направленного одинаково с начальным током.

3. Емкостной элемент.

Напряжение и ток на емкости связаны соотношением Для изображений получаем:

где - начальное значение напряжения, в момент t=0.

Операторные схемы замещения для емкости:

Начальный заряд на конденсаторе учитывается в виде дополнительных источников: источника тока с током , соединенного параллельного емкостной проводимости и направленного в сторону обкладки, имеющей положительный заряд и источника напряжения с напряжением , соединенного последовательно с емкостным сопротивлением и имеющую полярность, совпадающую с полярностью начального заряда.

Источникам э.д.с. е(t) и тока j(t) соответствуют источники с операторным напряжением и током .

Общая методика анализа переходных процессов операторным методом. Операторный метод анализа переходных процессов можно свести к следующему:

1) составление операторной схемы замещения с учетом начальных условий и по ней составление алгебраических уравнений для изображений по тому или иному методу расчета;

2) решение их относительно изображений искомых реакций;

3) нахождение оригиналов искомых функций по их найденным изображениям.

Расчет сложных электрических цепей операторным методом не всегда можно свести к известным табличным формулам. Использование же обратного преобразования Лапласа для отыскания оригинала по известному изображению может оказаться трудной задачей. В таких случаях используется теорема разложения. Теорема разложения позволяет находить оригиналы по известному изображению.

В теории цепей очень часто операторное изображение искомой функции (тока или напряжения) имеет вид рациональной дроби:

,

где и - многочлены различных степеней p. Причем и числитель и знаменатель не имеют общих корней.

Полюса функции определяются корнями уравнения Нули функции определяются корнями уравнения

1. Пусть все корни уравнения простые.

Тогда переход от изображения к функции времени производят с помощью формулы:

 

где - корни уравнения

- производная многочлена в точках .

Таким образом,

÷ .

 

Эта формула называется теоремой разложения.

В частном случае, когда в составе знаменателя есть множитель , т.е. знаменатель имеет один нулевой корень , а в составе уже нет нулевого корня и уравнение имеет различных и не равных нулю корней , то формула разложения примет следующий вид:

÷

 

Выделенный постоянный член представляет собой принужденную составляющую тока или напряжения.

Если имеет комплексные сопряженные корни, , то

 

÷

 

Если есть еще и нулевой корень, то