Основанные на свойствах линейных цепей

Для анализа и расчета разветвленных электрических цепей постоянного тока в п.1 рассмотрен ряд методов, позволяющих уменьшить порядок системы алгебраических уравнений по сравнению с методом непосредственного использования законов Кирхгофа. К ним относятся методы контурных токов, узловых потенциалов, двух узлов, эквивалентного генератора. Окончательные расчетные формулы этих методов получают в результате использования первого и второго законов Кирхгофа.

Указанные законы в комплексной форме справедливы для цепей синусоидального тока (2.27)-(2.28). Поэтому в разветвленной электрической цепи, не имеющей элементов со взаимоиндуктивной связью, все расчетные уравнения для перечисленных методов (контурных токов, узловых потенциалов, двух узлов, эквивалентного генератора) справедливы для цепей синусоидального тока при условиях замены постоянных ЭДС, напряжений и токов (E, U, I) комплексами их действующих значений ( , ), проводимости и сопротивления (g, R) – комплексными проводимостями и сопротивлениями (Y, Z). При этом алгебраическая система уравнений заменяется системой комплексных уравнений.

Расчет электрических цепей синусоидального тока при наличии в них элементов со взаимоиндуктивной связью имеет ряд особенностей и рассмотрен отдельно в п.2.7.

Анализ линейных цепей не обязательно должен осуществляться с помощью таких общих методов расчета, как метод контурных токов или узловых потенциалов. Ниже будут рассмотрены методы, основанные на свойствах линейных электрических цепей и позволяющие при определенных постановках задач решить их более экономично.

Метод наложения. Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является особенно эффективным, когда требуется вычислить токи для различных значений ЭДС и токов источников при условии неизменности сопротивлений схемы.

Данный метод основан на принципе наложения (суперпозиции), который формулируется следующим образом: ток в k– ветви линейной электрической цепи равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым из источников в отдельности.

Аналитически принцип наложения для цепи, содержащей n источников ЭДС и m источников тока, выражается соотношением

 

,

 

где - комплекс входной проводимостиk – й ветви, численно равный отношению тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях; - комплекс взаимной проводимостиk – й и i – й ветвей, численно равный отношению тока в k – й ветви и ЭДС в i – й ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях, - коэффициент передачи тока, являющийся в отличие от проводимостей безразмерной величиной.

Доказательство принципа наложения можно осуществить на основе метода контурных токов. Решение системы уравнений, составленных по методу контурных токов, относительно любого контурного тока, например , имеет вид:

,

 

где - определитель системы уравнений, составленных по методу контурных токов; - алгебраическое дополнение определителя.

Каждая из ЭДС представляет собой алгебраическую сумму ЭДС в ветвях i –го контура. Если теперь все контурные ЭДС заменить алгебраическими суммами ЭДС в соответствующих ветвях, то после группировки слагаемых получится выражение для контурного тока в виде алгебраической суммы составляющих токов, вызванных каждой из ЭДС ветвей в отдельности. Поскольку систему независимых контуров всегда можно выбрать так, что рассматриваемая ветвь войдет только в один контур, то принцип наложения справедлив для токов любых ветвей.

Таким образом, при определении токов ветвей при помощи методаналоженияследует поочередно оставлять в схеме по одному источнику, заменяя остальные их внутренними сопротивлениями, и рассчитать составляющие искомых токов в этих схемах. После этого полученные результаты для соответствующих ветвей суммируются – это и будут искомые токи в ветвях исходной цепи.

Принцип взаимности. Принцип взаимности формулируется следующим образом: для любой линейной цепи ток в k- ветви, вызванный источником ЭДС , находящемся в m- ветви, , равен току в m- ветви, вызванному источником ЭДС ( численно равной ЭДС ), находящимся в k- ветви,

Из принципа взаимности следует равенство взаимных проводимостей .

Согласно принципу взаимности, если ЭДС , действуя в некоторой ветви схемы, не содержащей других источников, вызывает в другой ветви ток (рис. 2.19, а), то принесенная в эту ветвь ЭДС = вызовет в первой ветви такой же ток (рис. 2.19, б).

а) б)

Рис.2.19

Принцип взаимности в сочетании с принципом наложения дает возможность существенно снизить трудоемкость расчета сложной цепи, в которой действует несколько источников ЭДС, особенно в том случае, если требуется определить ток в одной ветви этой цепи.

Принцип компенсации. Принцип компенсации основан на теореме о компенсации, которая гласит: в любой электрической цепи без изменения токов в ее ветвях сопротивление в произвольной ветви можно заменить источником с ЭДС, численно равной падению напряжения на этом сопротивлении и действующей навстречу току в этой ветви.

Для доказательства теоремы выделим из схемы произвольную ветвь с зажимами a,b и сопротивлением Z, по которой протекает ток , а всю остальную часть схемы условно обозначим некоторым активным двухполюсником А
(рис. 2.20, а). При включении в ветвь a,b двух одинаковых и действующих навстречу друг другу источников ЭДС с (рис. 2.20, б) режим работы цепи не изменится. Для этой цепи

что позволяет гальванически соединить точки а и c, то есть перейти к цепи на рис. 2.20, в.

а) б) в)

 

Рис. 2.20

 

Второй вариант этой теоремы, согласно которому сопротивление в произвольной ветви можно заменить источником тока, ток которого численно равен току на этом сопротивлении и имеет то же направление, имеет аналогичное доказательство.

Линейные соотношения в линейных электрических цепях. При изменении в линейной электрической цепи ЭДС (тока) одного из источников или сопротивления в какой-либо ветви токи в любой паре ветвей m и n будут связаны между собой линейным соотношением

 

, (2.43)

 

где A и B – некоторые в общем случае комплексные константы.

Действительно, согласно методу контурных токов, при изменении только одной ЭДС в k –ветви выражение для тока в m –ветви можно записать в компактном виде:

; (2.44)

 

а для тока в n – й ветви . (2.45)

Здесь и - составляющие токов соответственно в m и n -ветвях, обусловленные всеми остальными источниками, кроме .

Умножив левую и правую части (2.45) на , вычтем полученное соотношение из уравнения (2.44). В результате получим линейное соотношение, аналогичное (2.43):

 

.

 

Из теоремы компенсации известно, что любое сопротивление можно заменить источником ЭДС. Таким образом, линейное соотношение между двумя любыми токами (2.43) имеет место не только при изменении ЭДС, но и сопротивления в m –ветви.